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浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器．下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．50°
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
6．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
10．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
二、填空题（本大题有6个小题，共24分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
12．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 ．
13．如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是 ．
14．下列结论：
①周长相等的两个等边三角形全等；
②周长相等的两个等腰三角形全等；
③面积相等的两个等边三角形全等；
④面积相等的两个等腰三角形全等；
其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝ ；若BQ＝5，则AQ＝ ．
16．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 秒后，可得到直角三角形△AMN．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤）。
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝100°时，求∠DEC的值；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器．下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，
∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．50°
【分析】先利用线段中点的定义可得OA＝OB，再利用旋转的性质可得：OB＝OB′，从而可得OA＝OB′，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
解：∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
由旋转得：OB＝OB′，
∴OA＝OB′，
∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，
∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．
【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
解：A、3+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．
解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9，
∴AC×BC＝18，
∵AC+BC＝10．
∴AB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（本大题有6个小题，共24分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 50°或80° ．
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是 12cm ．
【分析】首先根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，再根据AE的长可以计算出AB+CB，进而可得△ABD的周长．
解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，
∵AE＝4cm，
∴CE＝4cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+CB＝20﹣8＝12（cm），
∴△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝12cm，
故答案为：12cm．
【点评】此题主要考查了图形的折叠，关键是找准折叠以后重合的线段．
14．下列结论：
①周长相等的两个等边三角形全等；
②周长相等的两个等腰三角形全等；
③面积相等的两个等边三角形全等；
④面积相等的两个等腰三角形全等；
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】根据全等三角形的概念和判定定理判断即可．
解：①周长相等的两个等边三角形全等，符合题意；
②周长相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
③面积相等的两个等边三角形全等，符合题意；
④面积相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
故答案为：①③．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键．
15．如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝ 120° ；若BQ＝5，则AQ＝ 7 ．
【分析】由“SAS”可证△ABP≌△ACQ，由全等三角形的性质可得∠ABP＝∠CAQ，由外角的性质可求出∠AOB＝120°，过点A作AD⊥BC于D，求出AD和DQ的长，由勾股定理可得出答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，
∴∠AOB＝120°；
过点A作AD⊥BC于D，
∵BC＝8，△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，
∴AD＝＝＝4，
∵BQ＝5，
∴DQ＝1，
∴AQ＝＝＝7，
故答案为：120°，7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 或或或9 秒后，可得到直角三角形△AMN．
【分析】分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得．
【解答】当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图4，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在BC上运动时，
如图5，
当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则2t＝6+6+3，
解得t＝；
如图6，
当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t＝6+3＝9；
综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN．
故答案为：或或或9．
【点评】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤）。
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）如图所示，OPQ即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ACB≌Rt△BDA，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，再根据角的和差即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，
由（1）可知△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA是本题的关键．
19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
【分析】设AB＝xm，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题
解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则AE＝AB﹣0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千AB的长为4m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据线段的和差可得结论．
解：（1）∵∠ACD＝90°，∠A＝24°，
∴∠B＝66°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝＝57°．
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57°＝33°；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∵AB＝AD+BD，BD＝BC＝5，
∴AD＝13﹣5＝8．
【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
（2）设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝100°时，求∠DEC的值；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC＝4时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝40°，∠BDA＝100°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣100°＝40°；
∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣100°﹣40°＝40°．
∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）可以；当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝40°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查三角形综合题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由BD＝DE，可得∠DBC＝∠E＝∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；
（2）根据题意可得CH＝DH＝1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE＝+1，即可求GH的值；
（3）CE＝2GH，根据等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，即CE＝2GH．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC 中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1
∴1+2GH＝+1
∴GH＝
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，
∴CE＝2GH
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器．下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．50°
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
6．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
10．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
二、填空题（本大题有6个小题，共24分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
12．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 ．
13．如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是 ．
14．下列结论：
①周长相等的两个等边三角形全等；
②周长相等的两个等腰三角形全等；
③面积相等的两个等边三角形全等；
④面积相等的两个等腰三角形全等；
其中所有正确结论的序号是 ．
15．如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝ ；若BQ＝5，则AQ＝ ．
16．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 秒后，可得到直角三角形△AMN．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤）。
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝100°时，求∠DEC的值；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题有10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器．下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，
∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．50°
【分析】先利用线段中点的定义可得OA＝OB，再利用旋转的性质可得：OB＝OB′，从而可得OA＝OB′，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
解：∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
由旋转得：OB＝OB′，
∴OA＝OB′，
∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，
∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．
【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
解：A、3+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．
解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9，
∴AC×BC＝18，
∵AC+BC＝10．
∴AB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（本大题有6个小题，共24分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是 50°或80° ．
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是 12cm ．
【分析】首先根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，再根据AE的长可以计算出AB+CB，进而可得△ABD的周长．
解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，
∵AE＝4cm，
∴CE＝4cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+CB＝20﹣8＝12（cm），
∴△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝12cm，
故答案为：12cm．
【点评】此题主要考查了图形的折叠，关键是找准折叠以后重合的线段．
14．下列结论：
①周长相等的两个等边三角形全等；
②周长相等的两个等腰三角形全等；
③面积相等的两个等边三角形全等；
④面积相等的两个等腰三角形全等；
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】根据全等三角形的概念和判定定理判断即可．
解：①周长相等的两个等边三角形全等，符合题意；
②周长相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
③面积相等的两个等边三角形全等，符合题意；
④面积相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；
故答案为：①③．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键．
15．如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝ 120° ；若BQ＝5，则AQ＝ 7 ．
【分析】由“SAS”可证△ABP≌△ACQ，由全等三角形的性质可得∠ABP＝∠CAQ，由外角的性质可求出∠AOB＝120°，过点A作AD⊥BC于D，求出AD和DQ的长，由勾股定理可得出答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，
∴∠AOB＝120°；
过点A作AD⊥BC于D，
∵BC＝8，△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，
∴AD＝＝＝4，
∵BQ＝5，
∴DQ＝1，
∴AQ＝＝＝7，
故答案为：120°，7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 或或或9 秒后，可得到直角三角形△AMN．
【分析】分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得．
【解答】当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图4，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在BC上运动时，
如图5，
当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则2t＝6+6+3，
解得t＝；
如图6，
当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t＝6+3＝9；
综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN．
故答案为：或或或9．
【点评】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤）。
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）如图所示，OPQ即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ACB≌Rt△BDA，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，再根据角的和差即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，
由（1）可知△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA是本题的关键．
19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
【分析】设AB＝xm，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题
解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则AE＝AB﹣0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千AB的长为4m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．
（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据线段的和差可得结论．
解：（1）∵∠ACD＝90°，∠A＝24°，
∴∠B＝66°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝＝57°．
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57°＝33°；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∵AB＝AD+BD，BD＝BC＝5，
∴AD＝13﹣5＝8．
【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
（2）设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝100°时，求∠DEC的值；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC＝4时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠C＝40°，∠BDA＝100°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣100°＝40°；
∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣100°﹣40°＝40°．
∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝4，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）可以；当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝40°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查三角形综合题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由BD＝DE，可得∠DBC＝∠E＝∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；
（2）根据题意可得CH＝DH＝1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE＝+1，即可求GH的值；
（3）CE＝2GH，根据等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，即CE＝2GH．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC 中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1
∴1+2GH＝+1
∴GH＝
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，
∴CE＝2GH
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
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