浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期数学期中仿真模拟试卷（一）

这是一份浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期数学期中仿真模拟试卷（一），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1． 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．利用一块含30°角的透明直角三角板过点A作△ABC的边BC的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．等腰三角形一边长为6cm，一边长为5cm，则它的周长等于（ ）cm
A．16B．17C．16或17D．以上都不对
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．4，9，6C．11，3，6D．9，15，5
5．下列说法中，正确结论的个数为（ ）
（1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等；
（2）有一角为75°，且腰长相等的两个等腰三角形全等；
（3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如下图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点
B．△ABC三条边的中线的交点
C．△ABC三条高的交点
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点
7．如图，点E，点F在直线AC上，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD∥BCB．BE∥DFC．BE＝DFD．∠A＝∠C
8．如图，小逸家的房门左下角受潮了，他想检测房门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理D．直角三角形的两锐角互余
9．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC=x°，则∠1的度数是 °．（ ）
A．90-xB．xC．90-12xD．60-12x
10． 在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲B．乙
C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以
二、填空题（每空4分，共24分）
11．命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是 .
12．一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长为 cm．
13．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A=∠D=90°，AB=DE，若用“HL”判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 ．
14．如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=27°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
15．如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP=10cm，点E、F是∠AOB两边OA、OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF距离是 .
16．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D 在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE 交点O；下列说法：①AD=BE；②△MNC为等边三角形；③∠BOD=110°；④CO平分∠BOD.其中一定正确的是 （只需填写序号）.
三、解答题（共7题，共66分）
17．在如图所示的方格纸中，
⑴在△ABC中，作BC边上的高AD.
⑵作AC边上的中线BE.
⑶求△ABE的面积.
18．如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC垂足为点C，且AE=BD，AE交线段BC于点F．
（1）在图1中画出正确的图形，并证明CE=AD；
（2）当∠CFE=∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．
19．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
20．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 ；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
21．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，CD⊥AB，则CD的长为： .
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，则△ABC的高CD与AE的比是： .
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°(∠A<∠ABC)，点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F.若BC=10，求DE+DF的值.
22．在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ACD≌△CEB；
②DE＝AD＋BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
23．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.
求证：CD为△ABC的等角分割线.
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：不是轴对称图形，不合题意；
B：不是轴对称图形，不合题意；
C：不是轴对称图形，不合题意；
D：是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查轴对称图形的定义。 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形。
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：直角三角板要经过点A且垂直于BC
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的垂线性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当6为腰时，周长为：6+6+5=17
当5为腰时，周长为：5+5+6=16
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形性质及周长定理即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B：4+6>9，能组成三角形，符合题意；
C：3+6<11，不能组成三角形， 不符合题意；
D：9+5<15，不能组成三角形， 不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案。
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等.正确；
（2）有一角为75°，且腰长相等的两个等腰三角形全等.错误，75°角可能是底角，也可以是顶角；
（3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
（4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形.正确.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称的性质、三角形全等的判定、等边及等腰三角形的判定分别判断即可.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AE=CF，∴AF=CE，
A、添加AD//BC，可得到∠A=∠C，由“SAS”可以判定△ADF≌△CBE，∴A选项正确，不符合题意；
B、添加BE//DF，可得到∠BEC=∠ AFD，不能判定△ADF≌△CBE，∴B选项不正确，符合题意；
C、添加BE=DF，由“SSS”可以判定△ADF≌△CBE，∴C选项正确，不符合题意；
D、添加∠A=∠C，由“SAS”可以判定△ADF≌△CBE，∴D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
若AB2+BC2=AC2
则△ABC为直角三角形，即∠B=90°
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得逆定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接PB、PC， 如图：
∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴∠PBA=∠PAB，∠PBC=∠PCB，PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC=x°，∠PAB+∠PCB=∠PBA+∠PBC=∠B，
∴2∠B+2x°=180°，
解得，∠B=90°-x°，
∴∠DPE=180°-∠B=90°+x°，
∴∠1=180°-∠DPE=90°-x°，
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PA=PB，PB=PC，根据等腰三角形的两底角相等；三角形的内角和是180°进行列式计算，即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：甲同学的方案：a+b2=c2+12ab×4，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴甲同学的方案可以证明勾股定理；
乙同学的方案：a+b2=a2+2ab+b2，无法得到a2+b2=c2，
∴乙同学的方案不可以证明勾股定理；
故答案为：A.
【分析】结合图形，利用面积间的关系证明勾股定理即可。
11．【答案】如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”.
【分析】原命题的条件为一个三角形是直角三角形，结论是两条直角边的平方和等于斜边的平方，然后将条件与结论互换可得逆命题.
12．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为4时，三边为4、4、2，满足三角形的三边关系，该三角形周长为：4+4+2=10cm；
②腰长为2cm时，三边为4、2、2，
∵2+2=4，
∴不能构成三角形，
综上三角形周长为10cm.
故答案为：10.
【分析】根据等腰三角形两腰相等及三角形的任意两边之和大于第三边分类讨论，即可求解．
13．【答案】BC=EF（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：已知∠A=∠D=90°，AB=DE，当添加添加条件BC=EF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
故答案为：BC=EF.
本题答案不唯一.
【分析】条件中已知直角相等和一条直角边相等，只需补充条件使得斜边相等即可.
14．【答案】61°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=65°，∠C=27°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=88°，
由作图可得：MN为AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=27°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=61°，
故答案为：61°.
【分析】根据三角形的内角和求出∠BAC=180°-∠B-∠C=88°，再根据线段垂直平分线求出AD=CD，最后计算求解即可。
15．【答案】5cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作P关于OA，OB的对称点E'，F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'，FF'，PE'，PF'，
∴∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，
∵∠AOB=60°，点P在∠AOB的角平分线上，
∴∠E'OA=∠AOP=30°，
∴∠E'OP=60°，
∴△E'OP是等边三角形，
同理可得△OPF'是等边三角形，
∴PE'=PF'，
∴OP⊥E'F'，
∵当△PEF的周长最小时，E'，Q，F'三点共线，
此时PQ即为P到EF的距离，
∴PQ=12OP=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
16．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=60° ，∠DCE=60°
∴∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE=120°
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴ △ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE；①正确；
②∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
在△ACN和△BCM中，
∠ACN=∠BCMCA=CB∠CAN=∠CBM
∴ △ACN≌△BCM（ASA）
∴CM=CN
∵∠MCN=60°
∴△CMN为等边三角形；②正确；
③∵∠CAD+∠CDA=60°
而∠CAD=∠CBE
∴∠CBE+∠CDA=60°
∴∠BOD=120°；③错误；
④如图：作CH⊥BE于H ，CQ⊥AD于Q；
∵△ACD≌△BCE
∴CQ=CH
∴CO平分∠BOD；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以CM=CN；加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形；
③根据三角形内角和定理可得∠CAD＋∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE＋∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD＝120°；
④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CO平分∠BOD．
17．【答案】解：⑴如图所示AD即为所求.
⑵如图所示BE即为所求.
⑶∵BC=4，AD=4，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8，
∵BE为AC边上中线，
∴S△ABE=12S△ABC=12×8=4，
即S△ABE面积为4.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作法进行作图；
（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE即可；
（3）根据中线的概念结合三角形的面积公式可得S△ABE=12S△ABC，据此计算.
18．【答案】（1）解：如图1
∵EC⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠ACE=∠BAC=90°
在Rt△ABD和Rt△ACE中
AB=CABD=AE
∴RtΔABD≌RtΔCAE(HL)
∴CE=AD.
（2）证明：如图2，
由（1）得RtΔABD≌RtΔCAE
∴∠ADB=∠E，∠ABD=∠EAC，
∵∠ADB=∠CFE，
∴∠CFE=∠E，
∵∠BAC=90°，∠ECA=90°，
∴∠BAC+∠ECA=180°，
∴AB//CE，
∴∠E=∠BAF，
∴∠BAF=∠ADB，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠DBC+∠BFA=90°，
∵∠CFE=∠BFA，∠CFE=∠E，∠E=∠BAF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明RtΔABD≌RtΔCAE，再利用全等三角形的性质可得CE=AD；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ADB=∠E，∠ABD=∠EAC，再结合∠CFE=∠BFA，∠CFE=∠E，∠E=∠BAF，利用等量代换求出∠ABD=∠DBC，，即可得到 BD平分∠ABC。
19．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵12AC×BC=12AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）解：在Rt△BDC中，BD= BC2-CD2=16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。
20．【答案】（1）中垂线；角平分线
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-50°-90°，
∵DF垂直平分AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠DAB=40°，
∴∠DAC=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=12×50°=25°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）利用作图可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
故答案为：中垂线，角平分线
【分析】（1）根据作图痕迹可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=DB，利用等边对等角，可求出∠DAB的度数，由此可得到∠DAC的度数；然后利用角平分线的定义求出∠DAE的度数.
21．【答案】（1）125
（2）1：2
（3）解：∵S△ABP=12AP⋅BC，S△ADP=12AP⋅DF，S△BDP=12BP⋅DE，
∵S△ABP=S△ADP+S△BDP，
∴S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
又∵BP=AP，
∴12AP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，
即DE+DF=BC=10.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，
∴CD=4×35=125；
故答案为：125；
（2）如图2中，∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE
∴12×4×CD=12×2×AE，
∴2CD=AE，
∴CD：AE=1：2；
故答案为：1：2；
【分析】（1）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（2）根据S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD即可求解；
（3）由S△ABP=S△ADP+S△BDP，即得S△ABP=12BP⋅DE+12AP⋅DF=12AP⋅BC，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
22．【答案】（1）证明：如图
①∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE．
（2）证明：
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴∠1＋∠2＝∠CBE＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠CBE．
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE-CD＝AD-BE．
（3）解：当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE-AD（或AD＝BE-DE，BE＝AD+DE等）．
∵∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD-CE＝BE-AD．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①利用“一线三等角”证明△ACD≌△CEB即可；
②根据全等三角形的性质可得CE＝AD，CD＝BE，再利用线段的和差及等量代换可得DE＝CE＋CD＝AD＋BE；
（2）利用“一线三等角”证明△ACD≌△CBE，可得CE＝AD，CD＝BE，再利用线段的和差及等量代换可得DE＝CE-CD＝AD-BE；
（3）先证明△ACD≌△CBE，可得AD＝CE，CD＝BE，再利用线段的和差及等量代换可得DE＝CD-CE＝BE-AD。
23．【答案】（1）解： △ABC 与 △ACD ， △ABC 与 △BCD ， △ACD 与 △BCD 是“等角三角形”；
（2）证明： ∵ 在 △ABC 中， ∠A=40° ， ∠B=60°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80° ∵CD 为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=40° ，
∴∠ACD=∠A ， ∠DCB=∠A ，
∴CD=DA ，
∵ 在 △DBC 中， ∠DCB=40° ， ∠B=60° ，
∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80° ，
∴∠BDC=∠ACB ，
∵CD=DA ， ∠BDC=∠ACB ， ∠DCB=∠A ，
∠B=∠B ，
∴CD 为 △ABC 的等角分割线；
（3）解： ∠ACB 的度数为 111° 或 84° 或 106° 或 92° .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD都是等角三角形；
（3）当 △ACD 是等腰三角形， DA=DC 时， ∠ACD=∠A=42° ，
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84° ，
当 △ACD 是等腰三角形， DA=AC 时， ∠ACD=∠ADC=69° ，
∠BCD=∠A=42° ，
∴∠ACB=69°+42°=111° ，
当 △ACD 是等腰三角形， AC=CD 时，∠A=∠ADC=42°，
∠ACD=180°-42°-42°=96°，∠BCD=∠A=42°
∴∠ACB=96°+42°=138°，而∠A+∠ACB=138°+42°=180°，所以CB与AB不可能相交，此种情况不存在；
当 △BCD 是等腰三角形， DC=BD 时， ∠ACD=∠BCD=∠B=46° ，
∴∠ACB=92° ，
当 △BCD 是等腰三角形， DB=BC 时， ∠BDC=∠BCD ，
设 ∠BDC=∠BCD=x ，
则 ∠B=180°-2x ，
则 ∠ACD=∠B=180°-2x ，
由题意得， 180°-2x+42°=x ，
解得， x=74° ，
∴∠ACD=180°-2x=32° ，
∴∠ACB=106° ，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB时，∠B=∠CDB，∠ACD=∠B，而∠CDB＞∠ACD，故此种情况不存在.
∴∠ACB 的度数为 111° 或 84° 或 106° 或 92° .
【分析】（1）推出∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠B，∠ADC＝∠BDC，从而得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°，则∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝60°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB＝80°，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．