浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．9
2．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列选项，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝2，b＝1C．a＝﹣3，b＝2D．a＝﹣2，b＝3
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
5．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．54°B．66°C．60°D．76°
6．（3分）如图，在长为15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（ ）
A．65B．55C．45D．35
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（ ）
A．DB＝DEB．AB＝AEC．∠EDC＝∠BACD．∠DAC＝∠C
9．（3分）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°
C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，AE交BC于E，BF交AC于F，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C，AF+BE＝AB；③若OD＝a，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（3分）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，他所应用的数学原理是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，AB＝5，AE＝2 ．
13．（3分）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝ ．
14．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38° ．
15．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 ．
16．（3分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，连结OE，EC °，OE取最小值时OE与BC满足位置关系为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程组；
（2）解方程：．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）作出∠BAC的平分线AM；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠BAC的平分线AM与BC交于点D，且BD＝3，AC＝10 ．
19．某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“你最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学（如图）．
请根据上面两个不完整的统计图回答以下4个问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生．
（2）补全条形统计图中的缺项．
（3）在扇形统计图中，选择教师传授的占 %，选择小组合作学习的占 %．
（4）根据调查结果，估算该校1800名学生中大约有 人选择小组合作学习模式．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
21．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
22．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
23．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，求出相应的x、t的值；若不存在
24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（3分）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．9
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6﹣2＝8，而小于6+2＝6，
故第三边的长度4＜x＜8，这个三角形的第三边长可以是2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
2．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
3．（3分）下列选项，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝2，b＝1C．a＝﹣3，b＝2D．a＝﹣2，b＝3
【分析】直接利用选项中数据代入求出答案．
【解答】解：当a＝3，b＝﹣2时，a8＞b2，则a＞b，故原命题是真命题；
当a＝2，b＝7时，a2＞b2，则a＞b，故原命题是真命题；
当a＝﹣5，b＝2时，a2＞b3，则a＜b，故原命题是假命题；
当a＝﹣2，b＝3时，a8＜b2，则a＜b，故原命题是真命题．
故选：C．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确代入数据是解题关键．
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．∵AB＝3，CA＝8，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝3，∠A＝60°，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，AB＝4时；
D．已知三个角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
5．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．54°B．66°C．60°D．76°
【分析】先依据全等的三角形的性质找出∠1的对应角，然后依据全等三角形对应角相等求解即可．
【解答】解：∵两个全等三角形，
∴∠1＝∠2．
又∵∠8＝180°﹣54°﹣60°＝66°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在长为15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（ ）
A．65B．55C．45D．35
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中给出的各数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴图中阴影部分的面积为15×12﹣5×8×3＝45．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝，
∴CD＝8×＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝8，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（ ）
A．DB＝DEB．AB＝AEC．∠EDC＝∠BACD．∠DAC＝∠C
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°
C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，在四边形ABCD中，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠5＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，AE交BC于E，BF交AC于F，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C，AF+BE＝AB；③若OD＝a，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得③正确；即可得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣（180°﹣∠C）＝90°+，故①正确；
②∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，连接OH，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝7b
∴S△ABC＝×AB×OM+×BC×OD＝，故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（3分）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，他所应用的数学原理是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．
12．（3分）如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，AB＝5，AE＝2 3 ．
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE＝5，AC＝AB＝5，
∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，
故答案为6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
13．（3分）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝ ±6 ．
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2＝9x2+kx+1，从而可求出k的值．
【解答】解：∵（3k±1）2＝9x2+kx+2，
∴k＝±6
故答案为：±6
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是根据（3k±1）2展开后求出k的值．本题属于基础题型
14．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38° 58° ．
【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴3α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEC＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
15．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 ．
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．
【解答】解：方法一：
∵关于x、y的二元一次方程组，
∴将解代入方程组
   可得m＝﹣1
∴关于a、b的二元一次方程组
解得：
方法二：
关于x、y的二元一次方程组，
由关于a、b的二元一次方程组
解得：
故答案为：
【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
16．（3分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，连结OE，EC 30 °，OE取最小值时OE与BC满足位置关系为 OE∥BC ．
【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据∠BCE＝90°，∠OEC＝90°，从而得到OE∥BC．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝AC，
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝30°＝∠ABD，
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠ACE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝90°，
又∵∠OEC＝90°，
∴OE∥BC，
故答案为：30；OE∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程组；
（2）解方程：．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①+②得：3x＝7，
解得：x＝，
把x＝代入①得：，
解得：y＝﹣，
所以方程组的解为；
（2），
方程两边同时乘以x﹣2，
得：x﹣3﹣3（x﹣2）＝7，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣5＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）作出∠BAC的平分线AM；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠BAC的平分线AM与BC交于点D，且BD＝3，AC＝10 15 ．
【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
（2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF＝BD＝3，即可解决问题．
【解答】解：（1）∠BAC的平分线AM如图所示；
（2）如图所示，作DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，
∴DB＝DF＝3，
∴S△DAC＝•AC•DF＝，
故答案为：15．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线．
19．某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“你最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学（如图）．
请根据上面两个不完整的统计图回答以下4个问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 500 名学生．
（2）补全条形统计图中的缺项．
（3）在扇形统计图中，选择教师传授的占 10 %，选择小组合作学习的占 30 %．
（4）根据调查结果，估算该校1800名学生中大约有 540 人选择小组合作学习模式．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数；
（2）根据统计图中的数据可以求得教授传授的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得选择教师传授和选择小组合作学习所占的比例；
（4）根据统计图中的数据可以求得该校1800名学生中选择小组合作学习模式学生数．
【解答】解：（1）由题意可得，
本次调查的学生有：300÷60%＝500（名），
故答案为：500；
（2）由题意可得，
教师传授的学生有：500﹣300﹣150＝50（名），
补全的条形统计图如图所示；
（3）由题意可得，
选择教师传授的占：＝10%，
选择小组合作学习的占：＝30%，
故答案为：10，30；
（4）由题意可得，
该校1800名学生中选择合作学习的有：1800×30%＝540（名），
故答案为：540．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BE平分∠ABC，交AC边于点E
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；
（2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
21．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量＝总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，
∴x﹣3＝26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280，
解得：a＝80．
答：购买了80条A型芯片．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
22．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
【分析】（1）欲证明CE＝BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE＝∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC＝120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，求出相应的x、t的值；若不存在
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝8BF+DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．