2022-2023学年甘肃省武威市凉州区部分校联考九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省武威市凉州区部分校联考九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于函数的性质表述，正确的一项是(    )

A. 无论为何实数，的值总为正 B. 当值增大时，的值也增大
C. 它的图象关于轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内

3. 已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 疫情期间，若有人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有人染上“新冠”，平均一个人传染个人．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若分式的值为，则的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

7. 已知，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

9. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：图象经过；当时，有最小值；随的增大而增大；该函数图象关于直线对称．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：；；；，则，，，的大小关系是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

13. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为______．
14. 将抛物线向左平移个单位后，经过点，则______．
15. 若方程的两根为，，则 ______ ．
16. 若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为_____．
17. 现定义运算“”，对于任意实数、，都有，如：，若，则实数的值是______．
18. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是          ．
19. 已，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______ ．
20. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则______秒时，的面积是．

三、解答题（本题共7小题，共60分）

21. 解方程：
    配方法；
    公式法；
    ；
    ．
22. 把的图象向上平移个单位．
    求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
    画出平移后的函数图象；
    求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值．
23. 用配方法说明：的值总是大于，并求出当取何值时，代数式的值最小．
24. 已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中，
    求二次函数和一次函数解析式．
    求的面积．

25. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
    求实数的取值范围；
    若方程的两实数根，满足，求的值．
26. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？

27. 年北京冬季奥运会于月日至月日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
    据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
    已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，在每个降价幅度不超过元的情况下，每下降元，则每天可多售件．如果每天要盈利元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是分式方程，故本选项不合题意；
B.是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.未知数是最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
函数图象的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，
函数图象在第一、二象限内，当时，随的增大而增大，
故C正确，、、D错误．
故选：．
根据二次函数的性质得出函数的对称轴及其增减性即可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点在原点，对称轴是轴是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：

，
，，
，．
，即，
是三角形的最大边，
，
．
故选：．
由关系式，变形配方可求出，的值，利用三角形的三边关系及题目条件，可求出的取值范围．
本题考查了配方法的应用，以及三角形三边关系的性质，综合性较强．
 

4.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得
，
或舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故选：．
据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为人，设平均每人感染人，则列式为即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，；当时，；当时，，
所以．
故选：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出、、的值，然后比较它们的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
或，
当时，，值是．
当时，，当时分式的值是．
或．
故选A．
分式的值是的条件是：分子为，分母不为．
分式的值是的条件中特别需要注意的是分母不能是，这是经常考查的知识点．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，
原方程变形为
整理得，，
，
解得，，
，
所以的值为，
故选D．
先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，即可求得的值
本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，，方程有两个不相等的实数根，
所以，．
又方程是一元二次方程，，
且．
故选：．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得：．
方程两边同乘以得：．
故选：．
换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．
用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
 

10.【答案】 

【解析】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线只有二次项系数不同．
即，
故选：．
与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线只有二次项系数不同．
考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．
 

11.【答案】 

【解析】解：描点法画出函数的图象如图：

当时，，则图象经过，所以选项正确；
当时，，所以选项正确；
当时，随的增大而增大，所以选项错误；
由图象可知该函数图象关于直线对称，所以选项正确．
故选：．
描点法画出函数的图象，根据图象即可判断．
本题考查了二次函数的图象，根据描点法画出函数的图象是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
图中函数均以原点为顶点，轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．
此题只要熟悉二次函数的性质，就可以解答．
【解答】
解：由二次函数的性质知，
抛物线的开口大小由决定．
越大，抛物线的开口越窄；
越小，抛物线的开口越宽．
抛物线的开口方向由决定．
当时，开口向上，抛物线除顶点外都在轴上方；
当时，开口向下，抛物线除顶点外都在轴下方．
根据以上结论知：，．
另法：作直线，分别交四个函数图像与四个点，结合图像就可以判断大小。
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
一元二次方程化为一般形式后不含一次项，
且，
解得：，
故答案为：．
先根据等式的性质把方程转化成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是：、、为常数，．
 

14.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位后得到，
经过点，
，
解得：，
故答案为：．
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：方程的两根为，，
，，
，
，
故答案为：．
先利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算即可得出答案．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
先解出方程的解，根据菱形面积为两对角线乘积的一半，可求出结果．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，菱形的面积公式．菱形的面积有两种计算办法：底边该底边上的高，或两对角线乘积．本题还可以根据一元二次方程根与系数的关系得出两对角线乘积为，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解．
【解答】
解：解法一：，
即，
解得或．
所以菱形的面积为：．
故答案为：．
解法二：，
根据根据系数关系可知两根之积为，
所以菱形两对角线之积为，
所以菱形面积为，
故答案为：．  

17.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到的值．
【解答】
解：根据题中的新定义将变形得：
，
即，
因式分解得：，
解得：，，
则实数的值是或．
故答案为：或．  

18.【答案】 

【解析】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，
依题意得：，
整理得：，．
又为整数，
，
．
故答案为：．
设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其中整数代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：把，，分别代入得
，，，
所以．
故答案为．
分别计算出自变量为，和时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

20.【答案】或 

【解析】解：设运动时间为秒，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
或秒时，的面积是．
故答案为：或．
设运动时间为秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，即，
，
，；

，
整理得，
，，，
，
；
，；

，
，
．
或，
，；

，
，，，
，
；
，． 

【解析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
整理成一般式，利用公式法求解可得；
利用因式分解法求解可得；
利用公式法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

22.【答案】解：把的图象向上平移个单位后得到抛物线的解析式为：，
所以它的顶点坐标是，对称轴是直线即轴；

由，得

其函数图象如图所示：
；

如图所示：当时，． 

【解析】根据平移规律“上加下减”写出平移后的抛物线解析式；
根据抛物线解析式列函数对应值表，并作函数图象；
结合函数图象回答问题．
本题考查了二次函数图象与几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

23.【答案】解：，
的值总是大于，
当时，代数式的值最小． 

【解析】根据配方法可以说明的值总是大于，由配方后的式子可以直接看出当取何值时，代数式的值最小．
本题考查配方法的应用，解题的关键是明确配方法．
 

24.【答案】解：一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数表达式为，
过点，
，解得，
二次函数表达式为；
在中，令，得，
，
由一次函数与二次函数联立可得，
解得或
的横坐标点的横坐标． 

【解析】利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
求出点的坐标及点的坐标，利用的横坐标点的横坐标求解即可．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确求出点的坐标．
 

25.【答案】解：方程有两个实数根，，
，
解得；
由根与系数关系知：，，
，
，
又，代入得，，可化简为：．
解得不合题意，舍去或，
． 

【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解即可；
利用根与系数的关系得到，，加上，则可判断，所以，可化简为：，然后解方程求出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

26.【答案】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又这堵墙的长度为米，
，
．
答：这个车棚的长为米，宽为米． 

【解析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长度即可确定结论；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

27.【答案】解：个．
答：该工厂在四月份能生产个“冰墩墩”．
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：每个“冰墩墩”应降价元． 

【解析】利用该工厂在四月份生产“冰墩墩”的数量该工厂在二月份生产“冰墩墩”的数量，即可求出结论；
设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．