2022-2023学年甘肃省武威二十四中九年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年甘肃省武威二十四中九年级（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，主视图为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在一次中考体育模拟测试中，某班名学生参加测试满分为分，成绩统计如表，部分数据被遮盖，下列统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 中位数、众数 B. 中位数、方差 C. 平均数、众数 D. 平均数、方差

7.  如图，中，弦与半径相交于点，连接，若，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  我国民间流传着一道数学问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人：每人两多两，每人半斤少半斤注：古代斤两试问各位善算者，多少人分多少银．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平行四边形中，，动点从点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点到达点后才停止已知的面积单位：与点移动的时间单位：之间的函数关系如图所示，图中与的和为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  函数的自变量的取值范围是______ ．

13.  分式方程的解为______．

14.  点，在一次函数的图像上，当时，，则的取值范围是______．

15.  若函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为______ ．

16.  如图所示，若用半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则这个圆锥的底面半径是______．

17.  一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的个黑球，个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在、则袋中红球的个数为______ 个

18.  如图，正方形的边长为，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则          ．

 

三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中是的算术平方根．

21.  本小题分
如图，已知锐角三角形．
用尺规作的垂直平分线和的平分线；保留作图痕迹，不写作法
若与交于点，，，求的度数．

22.  本小题分

年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，

23.  本小题分
如图，的三个顶点及，，，，五个点分别位于正方形网格的格点上．

现以，，，，中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与不全等但面积相等的三角形是______填一个三角形即可
先从，两个点中任意取一个点，再从，，三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与面积相等的概率用树状图或列表法求解．

24.  本小题分
“智慧教育云平台”已成为同学们课外学习的得力助手，为了解同学们“智慧教育云平台”使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量是______ ，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为______ ；
补全条形统计图；
学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有名学生，试估计该校需要培训的学生人数；
针对这次调查结果你认为该校同学们使用“智慧教育云平台”的情况如何，谈谈你的看法？

25.  本小题分
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质．
绘制函数图象列表：下表是与的部分对应值，其中 ______ ； ______ ．

描点：根据表中的数值描点．
连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；
探究函数性质：请写出函数的两条性质： ______ ______ ；
运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式解集是______ ．

26.  本小题分
如图，是的直径，、是上两点，且为弧中点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线；
若，的半径为，求阴影部分的面积．

27.  本小题分
【问题背景】如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则、、之间的数量关系是，
【迁移应用】如图，四边形中，，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，且，求证：．

【联系拓展】如图，在中，，，点、均在边上，且猜想、、应满足的等量关系是______．

28.  本小题分
如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式；
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线与轴交于点，当时，求此时点坐标；
点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
本题主要考查了有理数，无理数的定义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解三种视图的意义是正确解答的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是同类项，无法合并，不合题意；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：．
把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据中成绩为、、的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数，即众数，
第个数据都是，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出度数是解题关键．
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出以及度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】
解：，，
，，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：每人两多两，
；
每人半斤少半斤，
．
列出的二元一次方程组为．
故选：．
根据“每人两多两，每人半斤少半斤”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，则，
，
故选：．
根据已知一个内角是另一个内角的两倍得出的度数，进而求出最小内角即可．
此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出的度数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知点从点运动到点所用的时间为，
点运动的速度为，
，
四边形为平行四边形，，
，，，
点从点运动到点所用的时间为：，
点从点运动到点所用的时间为：，
；
分别过点，作的垂线于，交的延长线于，则，如图：
 
由图可知：，
，
即：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
由勾股定理的：，
点从点运动到点所用的时间为：，
，
．
故选：．
首先由图可得点从点运动到点所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点从点运动到点所用的时间为，然后分别过点，作的垂线于，交的延长与，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点从点运动到点所用的时间为，进而得，据此可求出的值．
此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
 

12.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
，
故答案为：．
根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

15.【答案】， 

【解析】解：根据题意得，
解得：，
故，即为：，解得，，
故答案为：，．
本题考查了二次函数的性质和解一元二次方程．
首先利用二次函数的性质和对称轴为直线，求出的值，然后代入求方程的解即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据半径为，圆心角为的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：，
总的球数为：，
红球有：个．
故答案为：．
根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质构造辅助线．
连接、，根据是的垂直平分线，可得，设，则，根据勾股定理可得，可求得的值，进而求出的长．
【解答】
解：如图，连接，，

是的中点，
，
垂直平分，
，
设，则，
在和中，根据勾股定理，得
，
，
即，解得，
．
故答案是：．  

19.【答案】解：原式
． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式，
，
，
．
是的算术平方根，
，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把的值代入运算即可．
 

21.【答案】解：如图所示：直线以及即为所求；
连接，
设，则，
，，
． 

【解析】分别利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出图形；
利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出的度数．
此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：，
，
在中，，
，
由题意得：，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 

23.【答案】或 

【解析】解：的面积，的面积的面积的面积，
只有或的面积也为且不与全等，
与不全等但面积相等的三角形是：或；
故答案为：或；
画树状图得出：

由树状图可知共有出现的情况有，，，，，，种等可能的结果，
其中与面积相等的有种，即，，，
所画三角形与面积相等的概率为．
根据格点之间的距离得出的面积进而得出三角形中与不全等但面积相等的三角形；
画树状图，共有种等可能的结果，其中与面积相等的有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率、三角形面积等知识；正确画出树状图是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为：，
故答案为：，；
等级的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校需要培训的学生有人．
针对这次调查结果，我认为该校同学们使用“智慧教育云平台”的情况比较好，基本熟练及以上达到．
根据等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示等级的扇形圆心角的度数；
根据中的结果，可以计算出等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数；
依据表中数据说出你自己的看法即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】    函数的图象关于直线对称  函数有最大值，最大值为   

【解析】解：把代得，
把代入得，
，；
故答案为：，；
描点，
连线，画出函数的图象如图：

函数的性质：
函数的图象关于直线对称；
当时，函数有最大值，最大值为；
故答案为：函数的图象关于直线对称；函数有最大值，最大值为；
观察图象可知，不等式解集是；
故答案为：．
将、分别代入解析式即可得、的值，再画出函数的图象；
观察图象即可得到；
根据图象求得即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键．
 

26.【答案】解：证明：连接，

，
，
为弧中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，，
在中，，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积


，
阴影部分的面积为 

【解析】连接，根据垂直定义可得，再根据等弧所对的圆周角相等可得，从而利用角平分线证明，然后利用平行线的性质求出，即可解答；
根据圆周角定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算．
 

27.【答案】 

【解析】【问题背景】证明：如图，四边形是正方形，
，，
把绕点逆时针旋转到，则，，
，
，
点、、在同一条直线上；
，
，
，
，
≌，
，
【迁移应用】证明：如图，由题意得，，，
把绕点逆时针旋转到，则，，，
，
，
点、、在同一条直线上；
，
，
，
，
≌，
，
【联系拓展】，
证明：如图，由题意得，，，
；
把绕点逆时针旋转到，则，，，，
；
，
，
，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
【问题背景】把绕点逆时针旋转至，使与重合，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
【迁移应用】把绕点逆时针旋转到，则，，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
【联系拓展】仍然用中的方法，将、、转化为同一直角三角形的三条边，即可得到所猜想的结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

28.【答案】解：把，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为；
由得，
，
当在轴正半轴，如图：

，且，
∽，
，即，
，
，
设直线解析式为，
则，
，即直线为，
由得与重合，舍去或，
，
当在轴负半轴，如图：

同理可得：∽，
，即，
而，，
，
，
，
，
设直线为，则，
解得，
直线为，
由得舍去或，
，
综上所述，点坐标为或，
设，则，
，，
，，
，
与相似，
或，
时，如图：

，
解得或或舍去，
，或，；
时，如图：

，
解得舍去或与重合，舍去或，
，，
综上所述，，或，或，． 

【解析】把，代入即得抛物线的解析式为；
由得，，当在轴正半轴，得，即，故，，设直线解析式为，用待定系数法得直线为，由可得，当在轴负半轴，同理可得
设，则，，，由，，得，故或，时，有，解得，或，；时，，解得，．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．