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苏科版九年级下册6.6 图形的位似课后练习题
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这是一份苏科版九年级下册6.6 图形的位似课后练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题请把答案直接填写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.6图形的位似 培优训练
一、选择题
1．（2020•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
2．（2019秋•建湖县期末）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣1.5，1） B．（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1）
C．（﹣6，4） D．（﹣6，4）或（6，﹣4）
3．（2020•扬中市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣9，18） D．（﹣9，18）或（9，﹣18）
4．（2020春•垦利区期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
5．（2020•任城区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
6．（2020•潍坊三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
7．（2019秋•泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
8．（2019•邗江区一模）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，则它们的位似比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．3：1 D．1：81
9．（2018秋•广陵区校级期末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2019春•招远市期末）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 ．
12．（2019秋•东台市期末）如图，根据所给信息，可知的值为 ．
13．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 ．
14．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
15．（2020•博兴县一模）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在点O另一侧缩小，则点E的对应点E′的坐标为 ．
16．（2018秋•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ ．
17．（2019•青羊区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且，则 ．
18．（2019春•润州区期中）已知△ABC与△DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点A（﹣1，1）的对应点D的坐标为（1，2），则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•吴中区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 ．
20．（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标： ．
21．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，△ABC与△DEF位似比为 ．
22．（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
23．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
24．（2016•盐城）如果两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y＝kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y＝kx+b的表达式．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
则点A的对应点A1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故选：D．
2．（2019秋•建湖县期末）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣1.5，1） B．（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1）
C．（﹣6，4） D．（﹣6，4）或（6，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质解答．
【解析】以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2），即（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1），
故选：B．
3．（2020•扬中市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣9，18） D．（﹣9，18）或（9，﹣18）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解析】∵点A的坐标为（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3，6）或（﹣3×（），6×（）），
即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：B．
4．（2020春•垦利区期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】由在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
【解析】∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
5．（2020•任城区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（﹣9，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
6．（2020•潍坊三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解析】点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣2，4）或（﹣2×（），4×（）），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
7．（2019秋•泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
8．（2019•邗江区一模）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，则它们的位似比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．3：1 D．1：81
【分析】根据位似变换的性质得到四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【解析】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，
∴它们的位似比为1：3，
故选：B．
9．（2018秋•广陵区校级期末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知，由位似图形性质得（）2，即，据此可得答案．
【解析】∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴（）2，即，
解得：S△DEF＝2，
故选：A．
10．（2019春•招远市期末）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【解析】连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 （﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【解析】∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，
∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B'的坐标为（﹣4，6）或（4，﹣6），即（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
12．（2019秋•东台市期末）如图，根据所给信息，可知的值为 ．
【分析】直接利用位似图形的性质得出答案．
【解析】由题意可得，两三角形位似比为2，故的值为：．
故答案为：．
13．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．
【解析】点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），
∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，
∵点A的坐标为（2，4），
∴点A'的坐标为（2，4），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
14．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 12 ．
【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为：12．
15．（2020•博兴县一模）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在点O另一侧缩小，则点E的对应点E′的坐标为 （3，﹣1） ．
【分析】根据题意，可得OE＝2OE′，且点E′在第四象限，又由E的坐标，计算可得答案．
【解析】根据题意，可得OE＝2OE′，
且点E′在第四象限；
又由E的坐标为（﹣6，﹣2），
则对应点E′的坐标为（3，﹣1）．
16．（2018秋•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ 3.9 ．
【分析】根据题意求出OA、OD，根据位似变换的概念得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解析】∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴，即，
解得，DE＝3.9，
故答案为：3.9．
17．（2019•青羊区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且，则 ．
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质解答．
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB，
∴△EOF∽△AOB，
∵，
∴．
故答案为：．
18．（2019春•润州区期中）已知△ABC与△DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点A（﹣1，1）的对应点D的坐标为（1，2），则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为 （7，﹣4） ．
【分析】在平面直角坐标系中找到位似中心和位似比，据此可得答案．
【解析】如图所示，
位似中心为点P（﹣3，0），位似比为1：2，
则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为（7，﹣4），
故答案为：（7，﹣4）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•吴中区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 （﹣4，﹣2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置．
【解析】如图所示：点B的对应点B1的坐标是（﹣4，﹣2）．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
20．（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标： （﹣3，1） ．
【分析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；
（2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
【解析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
在坐标系中找出连接即可；
（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
所画图形如下所示：
它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）．
（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
故答案为：（﹣3，1）．
21．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 （2，6） ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 （3，6） ，△ABC与△DEF位似比为 ．
【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可；
（2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
【解析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）；
（2）连接CO′．CO′，
∴△ABC外接圆的半径是，
故答案为；
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6），
△ABC与△DEF位似比为，
故答案为（3，6），．
22．（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似变换的概念判断；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到，证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，即，
解得，AP＝6．
23．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
【分析】（1）易得四边形PQMN为矩形，再利用平行线分线段成比例得到，加上P′N′＝M′N′，所以PN＝MN，从而可判断四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，利用三角形面积公式先计算出AB＝2，再利用勾股定理计算出BC＝2.5，接着利用面积法求出AD，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，证明△APN∽△ABC，然后利用相似比得到，最后利用相似比求出x即可．
【解答】（1）证明：∵NM上BC，NP上MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴，
∵MN∥M′N′，
∴，
∴，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积＝1.5，
∴AB•AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC2.5，
∵BC•AD＝1.5，
∴AD，
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，解得x，
即PN的长为m．
24．（2016•盐城）如果两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y＝kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y＝kx+b的表达式．
【分析】（1）根据平行一次函数的定义可知：k＝﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）根据位似比为1：2可知：函数y＝kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y＝kx+b的表达式．
【解析】（1）由已知得：k＝﹣2，
把点（3，1）和k＝﹣2代入y＝kx+b中得：1＝﹣2×3+b，
∴b＝7；
（2）根据位似比为1：2得：函数y＝kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达式为：y＝﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达式为：y＝﹣2x﹣2；
6.6图形的位似 培优训练
一、选择题
1．（2020•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
2．（2019秋•建湖县期末）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣1.5，1） B．（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1）
C．（﹣6，4） D．（﹣6，4）或（6，﹣4）
3．（2020•扬中市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣9，18） D．（﹣9，18）或（9，﹣18）
4．（2020春•垦利区期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
5．（2020•任城区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
6．（2020•潍坊三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
7．（2019秋•泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
8．（2019•邗江区一模）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，则它们的位似比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．3：1 D．1：81
9．（2018秋•广陵区校级期末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2019春•招远市期末）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 ．
12．（2019秋•东台市期末）如图，根据所给信息，可知的值为 ．
13．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 ．
14．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
15．（2020•博兴县一模）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在点O另一侧缩小，则点E的对应点E′的坐标为 ．
16．（2018秋•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ ．
17．（2019•青羊区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且，则 ．
18．（2019春•润州区期中）已知△ABC与△DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点A（﹣1，1）的对应点D的坐标为（1，2），则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•吴中区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 ．
20．（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标： ．
21．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，△ABC与△DEF位似比为 ．
22．（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
23．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
24．（2016•盐城）如果两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y＝kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y＝kx+b的表达式．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
则点A的对应点A1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故选：D．
2．（2019秋•建湖县期末）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣1.5，1） B．（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1）
C．（﹣6，4） D．（﹣6，4）或（6，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质解答．
【解析】以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2），即（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1），
故选：B．
3．（2020•扬中市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣9，18） D．（﹣9，18）或（9，﹣18）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解析】∵点A的坐标为（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3，6）或（﹣3×（），6×（）），
即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：B．
4．（2020春•垦利区期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】由在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
【解析】∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
5．（2020•任城区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以或即可得到点B′的坐标．
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（﹣9，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
6．（2020•潍坊三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解析】点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣2，4）或（﹣2×（），4×（）），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
7．（2019秋•泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
8．（2019•邗江区一模）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，则它们的位似比为（ ）
A．1：9 B．1：3 C．3：1 D．1：81
【分析】根据位似变换的性质得到四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【解析】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，
∴它们的位似比为1：3，
故选：B．
9．（2018秋•广陵区校级期末）如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知，由位似图形性质得（）2，即，据此可得答案．
【解析】∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴（）2，即，
解得：S△DEF＝2，
故选：A．
10．（2019春•招远市期末）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【解析】连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 （﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【解析】∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，
∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B'的坐标为（﹣4，6）或（4，﹣6），即（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
12．（2019秋•东台市期末）如图，根据所给信息，可知的值为 ．
【分析】直接利用位似图形的性质得出答案．
【解析】由题意可得，两三角形位似比为2，故的值为：．
故答案为：．
13．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．
【解析】点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），
∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，
∵点A的坐标为（2，4），
∴点A'的坐标为（2，4），即（1，2），
故答案为：（1，2）．
14．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 12 ．
【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为：12．
15．（2020•博兴县一模）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在点O另一侧缩小，则点E的对应点E′的坐标为 （3，﹣1） ．
【分析】根据题意，可得OE＝2OE′，且点E′在第四象限，又由E的坐标，计算可得答案．
【解析】根据题意，可得OE＝2OE′，
且点E′在第四象限；
又由E的坐标为（﹣6，﹣2），
则对应点E′的坐标为（3，﹣1）．
16．（2018秋•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.3，则DE＝ 3.9 ．
【分析】根据题意求出OA、OD，根据位似变换的概念得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解析】∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴，即，
解得，DE＝3.9，
故答案为：3.9．
17．（2019•青羊区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似为点O，且，则 ．
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质解答．
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB，
∴△EOF∽△AOB，
∵，
∴．
故答案为：．
18．（2019春•润州区期中）已知△ABC与△DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点A（﹣1，1）的对应点D的坐标为（1，2），则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为 （7，﹣4） ．
【分析】在平面直角坐标系中找到位似中心和位似比，据此可得答案．
【解析】如图所示，
位似中心为点P（﹣3，0），位似比为1：2，
则B（2，﹣2）的对应点E的坐标为（7，﹣4），
故答案为：（7，﹣4）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•吴中区期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点B1的坐标是 （﹣4，﹣2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置．
【解析】如图所示：点B的对应点B1的坐标是（﹣4，﹣2）．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
20．（2019秋•锡山区期末）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
（3）写出点A的对应点A1的坐标： （﹣3，1） ．
【分析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；
（2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
【解析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．
在坐标系中找出连接即可；
（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
所画图形如下所示：
它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）．
（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
故答案为：（﹣3，1）．
21．（2019秋•扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆圆心的坐标为 （2，6） ，半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 （3，6） ，△ABC与△DEF位似比为 ．
【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可；
（2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
【解析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）；
（2）连接CO′．CO′，
∴△ABC外接圆的半径是，
故答案为；
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6），
△ABC与△DEF位似比为，
故答案为（3，6），．
22．（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似变换的概念判断；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到，证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】（1）证明∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP；
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形，
因为它们的对应点的连线不平行；
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴，又∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，即，
解得，AP＝6．
23．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
【分析】（1）易得四边形PQMN为矩形，再利用平行线分线段成比例得到，加上P′N′＝M′N′，所以PN＝MN，从而可判断四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，利用三角形面积公式先计算出AB＝2，再利用勾股定理计算出BC＝2.5，接着利用面积法求出AD，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，证明△APN∽△ABC，然后利用相似比得到，最后利用相似比求出x即可．
【解答】（1）证明：∵NM上BC，NP上MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴，
∵MN∥M′N′，
∴，
∴，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积＝1.5，
∴AB•AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC2.5，
∵BC•AD＝1.5，
∴AD，
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，解得x，
即PN的长为m．
24．（2016•盐城）如果两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y＝kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y＝kx+b的表达式．
【分析】（1）根据平行一次函数的定义可知：k＝﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）根据位似比为1：2可知：函数y＝kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y＝kx+b的表达式．
【解析】（1）由已知得：k＝﹣2，
把点（3，1）和k＝﹣2代入y＝kx+b中得：1＝﹣2×3+b，
∴b＝7；
（2）根据位似比为1：2得：函数y＝kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达式为：y＝﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达式为：y＝﹣2x﹣2；
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