2022-2023学年广西钦州市第四中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西钦州市第四中学高二上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标.

【详解】由与关于xOy平面对称，且，

所以.

故选：C

2．如图，已知长方体的底面边长均为2，高为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则下列选项中正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C． D．三棱锥的体积为

【答案】D

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断ABC即可；根据即可判断D.

【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

因为，所以与不垂直，故C错误；

因为，所以与不垂直，

所以与平面不垂直，故A错误；

设平面的法向量，

则有，可取，

因为，所以与平面不平行，故B错误；

对于D，连接，则，，

因为平面，平面，

所以，

又平面，

所以平面，

又为的中点，所以点到平面的距离为，

，

所以，故D正确.

故选：D.

3．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可.

【详解】因为，所以，

于是有，

故选：D

4．在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据向量数乘的坐标公式，求得点的坐标，写出直线的方向向量，结合向量夹角公式，可得答案.

【详解】取的中点O，的中点，易知，，两两垂直，

以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，

所以，，，，，

则的中点，

由点F是上靠近点B的三等分点，则，设，

故，所以

解得,，

故，，

因为，

所以异面直线与所成角的余弦值是.

故选：B.

5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．向量与的夹角是60°

D．与AC所成角的余弦值为

【答案】B

【分析】记，，，，间两两夹角都是，即，然后利用空间向量法求模，向量的夹角及向量夹角的定义判断各选项．

【详解】记，，，由已知，间两两夹角都是，

即，

，

则，A错；

，

，，即，B正确；

，

是正三角形，，，所以向量与的夹角是180°－60°＝120°，C错；

，，

，

，

所以与AC所成角的余弦值为，D错．

故选：B．

6．下列命题中正确的是（    ）

A．空间任意两个向量共面

B．向量、、共面即它们所在直线共面

C．若，，则与所在直线平行

D．若，则存在唯一的实数，使

【答案】A

【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．

【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；

空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；

若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；

若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．

故选：A．

7．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由线面角的向量求法判断

【详解】由题意得，

故选：D

8．在四面体中，E为中点，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的加减法，用基底表示目标向量即可.

【详解】

如图，，

而，代入上式可得：，

故选：A.

9．在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）

A．3 B． C． D．5

【答案】A

【分析】将用表示，再结合数量积的运算律即可得出答案.

【详解】解：，

则

，

所以的长为.

故选：A.

10．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且，M为的中点，则点B到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知数据判断出两两垂直，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用公式求出点B到平面的距离.

【详解】因为，且，，

由勾股定理可知，，，

所以两两垂直，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量为，

则则，即，令可得，

则点B到平面的距离为.

故选：D.

11．已知正三棱柱中，，，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（    ）

A．直线平面 B．和到平面的距离不相等

C．三棱锥的体积为 D．不存在点，使得

【答案】D

【分析】连接交于点，连接，证得，设与的交点为，连接，假设平面进而得，故，矛盾可判定A正确；证得，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B正确；先证明，并求出的长度，平面，所以到平面的距离是一样的，所以，继而算出答案，可得C是错误的；假设存在点，使得，由，结合，可判定D正确.

【详解】对于A中，如图所示，连接交于点，连接，设与的交点为，连接，

因为为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以为的中点，

又因为是的中点，所以，

假设直线平面，因为平面平面，平面，

所以，所以，显然矛盾，故A错误；

对于B中，因为交于点，，，所以，

因为与与平面成角相等，所以和到平面的距离相等，

所以B错误；

对于C中，因为底面是正三角形，且为的中点，所以，所以，由A知，平面，平面，所以平面，因为P在上，

所以，故C错误

对于D选项，假设存在点，使得，因为，所以，

因为和所成角为锐角，和所成角为锐角，

所以，所以，

所以不成立，所以D 正确；

故选：D

12．已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.

【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点

则球心也就是正方体的中心，

所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,

它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，

我们将三角形单独抽取出来如下图所示：

所以的最小值为.

故选：B.

【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.

二、填空题

13．已知 三点不共线，O为平面外一点，若向量，且点P与共面，则实数______．

【答案】

【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案.

【详解】由于点P与共面, 三点不共线,

故存在实数，（不同时为0），使得，

则,

即，

而，故，即得，

故答案为：.

14．已知点M是三棱锥的底面的重心，若，则的值为________．

【答案】

【分析】根据三角形重心的性质，结合图形，由空间向量的线性运算可得.

【详解】记BC中点为N，则

由重心性质可知

所以

所以.

故答案为：

15．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数___．

【答案】##0.125

【分析】根据给定条件，利用向量共面充要条件推理计算作答.

【详解】因A，B，C三点不共线，P，A，B，C四点共面，则对空间中任意一点O，有，

即有，而，

因此，解得，

所以实数.

故答案为：

16．平面α的法向量是，点在平面α内，则点到平面α的距离为___________.

【答案】##

【分析】直线与平面所成的角为，根据点到平面α的距离为即可得解.

【详解】解：设直线与平面所成的角为，

，

则点到平面α的距离为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知空间三点，，，设，．

(1)求；

(2)与互相垂直，求实数k的值．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；

（2）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k.

【详解】（1）由题设，，

所以.

（2）由，，而，

所以，

可得或.

18．如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱上的点，且，，求的长．

【答案】.

【分析】选定空间的一组基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律求解作答.

【详解】因三棱锥的底面边长与侧棱长均为a，即有三棱锥是正四面体，不共面，

而，，则

，而，

因此，

所以的长.

19．如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；

（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.

【详解】（1）证明：，，，

根据余弦定理得，

所以，

所以，

以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

，，

，

平面

（2），，，

设平面的一个法向量为，

由，所以

令，则，，

可得，

设平面的一个法向量，

由令，得，，

可得，

，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

20．如图，在三棱柱中，平面，是边长为的正三角形，分别为 的中点．

(1)求证：平面．

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明，，进而根据判定定理即可证明；

（2）取的中点为，连接，证明，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，利用坐标法求解即可；

【详解】（1）解：在三棱柱中，因为平面，平面，

所以．

又为等边三角形，为的中点，

所以．

因为平面，

所以平面 ．

（2）解：取的中点为，连接，

因为在三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以

所以．由（1）知，

故建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

由题意得

所以，．

设平面的法向量，

则，令，则，所以．

由题意可知，平面的一个法向量

因为．

由已知可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

21．如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O，，矩形为该圆柱的轴截面，，点E在底面圆周上，点G为的中点.

(1)若，试问线段上是否存在点F，使得?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.

(2)求直线与平面夹角的正弦值的最大值.

【答案】(1)存在，为线段的中点

(2)

【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，设，根据，可得，求出，即可得出结论；

（2）设，利用向量法求解即可.

【详解】（1）解：假设存在，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

则，

则，

不妨设，

则，

因为，

所以，解得，

所以当为线段的中点时，；

（2）解：设，则，

，

则，

设为平面的一个法向量，

则有，可取，

设直线与平面的夹角为，

则，

则当时，，

所以直线与平面夹角的正弦值的最大值为.

22．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，D为OH的中点，四边形OBCH为正方形．

(1)设平面平面，证明：；

(2)设N是线段CD上的一个动点，试确定点N的位置，使得MN与平面PAB所成角的正弦值为，并求的比值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)靠近C点的三等分点，.

【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理作答.

（2）以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解作答

【详解】（1）正方形OBCH中，，而平面POH，平面POH，则平面POH，

因平面PBC，平面平面，

所以．

（2）依题意，平面，而，即有两两垂直，

以O为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

圆锥的母线长为，底面圆的直径，则，，

则，设，

于是得，显然为平面PAB的一个法向量，

设MN与平面PAB所成的角为，则，解得，

所以点N是线段CD上靠近C点的三等分点，．