中考数学一轮单元复习《勾股定理》夯基练习(2份打包，教师版+原卷版)

中考数学一轮单元复习《勾股定理》

夯基练习

一              、选择题

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝(　　)

A.4                      B.                         C.                             D.

【答案解析】C

2.以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为(    )

A.9 cm2      B.13 cm2       C.18cm2      D.24 cm2

【答案解析】C.

3.三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为(      )

A.9           B.10           C.2或9          D.2或10

【答案解析】D

4.如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有(  )条.

A.1             B.2                C.3                  D.4

【答案解析】B

5.如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(　　)

A.13cm     B.10cm       C.14cm     D.无法确定

【答案解析】B.

6.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是(　　)

A.90米      B.100米     C.120米     D.150米

【答案解析】B.

7.三角形的三边长a，b，c满足2ab＝(a＋b)2﹣c2，则此三角形是(　　)

A.钝角三角形     B.锐角三角形        C.直角三角形      D.等边三角形

【答案解析】C.

8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是(　　)

A.如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形

B.如果a2＋c2＝b2，则△ABC不是直角三角形

C.如果(c﹣a)(c＋a)＝b2，则△ABC是直角三角形

D.如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC是直角三角形

【答案解析】B.

9.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(  )

A.12 m           B.13 m        C.16 m            D.17 m

【答案解析】D.

10.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C两村之间的距离为(    )

A.250km                       B.240km                         C.200km                       D.180km

【答案解析】C.

11.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.则BD的长为(　　)

A.                      B.                          C.                          D.

【答案解析】C.

12.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是(      )

A.3            B.             C.5          D.

【答案解析】C

解析：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，

∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，

∴S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG•DG＝GF2＋2CG•DG，

S2＝GF2，S3＝(NG﹣NF)2＝NG2＋NF2﹣2NG•NF，

∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG•DG＋GF2＋NG2＋NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝15，

∴GF2＝5，∴S2＝5.故选C.

二              、填空题

13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积           ．

【答案解析】答案为：24.

14.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是　   　.

【答案解析】答案为：4，3，5(答案不唯一).

15.已知a、b、c是△ABC三边长，且满足关系式＋|a﹣b|＝0，则△ABC形状为　　 ．

【答案解析】答案为：等腰直角三角形.

16.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为           ．

【答案解析】答案为：19．

17.如图，正方形的边长是1个单位长度，则图中B点所表示的数是　   　；若点C是数轴上一点，且点C到A点的距离与点C到原点的距离相等，则点C所表示的数是　   　.

【答案解析】答案为：﹣；.

18.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为　　    .

【答案解析】答案为：.

解析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EP，过C作CN⊥AB于N，

∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，

∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，

∴M在AB上，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝12，

∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN，∴CN＝，

∵E关于AD的对称点M，∴EP＝PM，∴CP＋EP＝CP＋PM＝CM，

根据垂线段最短得出：CM≥CN，

即CP＋EP≥，即CP＋EP的最小值是，

三              、解答题

19.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．

(1)求△ABC的周长．

(2)判断△ABC的形状并加以证明．

【答案解析】解：(1)∵CD是AB边上高，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∴AC＝＝20，BC＝＝15，

∵AB＝AD＋BD＝25，

∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝25＋20＋15＝60；

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：202＋152＝252，

即AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

20.阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ①

所以c2(a2﹣b2)＝(a2﹣b2)(a2＋b2) ②

所以c2＝a2＋b2．③

所以△ABC是直角三角形.④

回答下列问题：

(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为            .

(2)错误的原因为               .

(3)请你将正确的解答过程写下来.

【答案解析】就：(1)③ 

(2)忽略了a2﹣b2＝0的可能

(3)解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，

所以c2(a2﹣b2)＝(a2﹣b2)(a2＋b2)，

所以a＝b或c2＝a2＋b2．

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

21.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。求覆盖在顶上(如右图阴影部分)的逆料薄膜的面积。

【答案解析】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边为5m，

再根据矩形的面积公式，得：5×40＝200m2．

22.去年某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距(1＋)km的A，B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB)，经测量，在A地的北偏东600方向、B地的西偏北450方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
 

【答案解析】解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D．
 

由题意可得 ∠CAB＝300，∠CBA＝450．

在 Rt△CDB 中，∠BCD＝45∘，

∴∠CBA＝∠BCD，BD＝CD．
在 Rt△ACD 中，∠CAB＝30∘，

∴ AC＝2CD．

设 CD＝DB＝x，则 AC＝2x．

由勾股定理，得 AD2＝AC2﹣CD2．AD＝x

∵AD＋DB＝AB，

∴x＋x＝1＋，解得x＝1．
因为 CD≈1＞0.7，所以计划修筑的这条公路不会穿过公园．

23.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数)

【答案解析】解：将半圆面展开可得：

AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝18米，

在Rt△ADE中，AE＝22米．

即滑行的最短距离约为22米．

24.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．

【答案解析】证明：(1)∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在△BDG和△ADC中，

，

∴△BDG≌△ADC(SAS)，

∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，

∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，

∴DE⊥DF；

(2)解：∵AC＝10，

∴DE＝DF＝5，

由勾股定理得，EF＝＝5.

25.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点做DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长.

【答案解析】解：连接BD．

∵D是AC中点，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠EDB＝∠CDF，
在△BED和△CFD中，
∠EBD＝∠C,BD＝CD,∠EDB＝∠CDF，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴BE＝CF；
∵AB＝BC，BE＝CF＝3，
∴AE＝BF＝4，
在Rt△BEF中，EF＝.