江苏省苏州市高新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份江苏省苏州市高新区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共29页。试卷主要包含了5米，背水坡AD的坡度改为1，已知基座高度MN为0，【答案】C，【答案】B，【答案】15π等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市高新区九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是(    )
A. P点
B. Q点
C. M点
D. N点
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函数表示正确的是(    )
A. sinA=45
B. cosA=45
C. tanA=43
D. tanB=45
3. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD=35°，则∠BOD的度数是(    )
A. 105°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
4. 已知12 A. 60° 5. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC=130°，∠B的大小是(    )
A. 50°
B. 100°
C. 115°
D. 130°
6. 如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知塔的水平距离AB=a，则此时塔高CD的长为(    )
A. asinα+asinβ
B. atanα+atanβ
C. αtanα+tanβ
D. αtanαtanβtanα+tanβ
7. 如图，BD为⊙O的直径，点A是BC的中点，AD交BC于E点，DF是⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，AE=2，ED=4，下列结论：
①△ABE∽△ADB；
②tan∠ADB=33；
③BC=AD；
④AB的长为33π.
其中正确的个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C(1,c)，D(2,d)，E(e,1)，P(m,n)均为AB上的点(点P不与点A，B重合)，若m
A. 在BC上 B. 在CD上 C. 在DE上 D. 在EA上
二、填空题（本大题共6小题，共18分
9. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，这个圆锥的侧面积是______ ．
10. 在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步．


11. 如图，AC⊥BC，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______．


12. 如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为______m.

13. 如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为______．


14. 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为______海里．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34)


三、解答题（本大题共13小题，共88分
15. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，依照以下作图过程回答问题：
作法：
(1)作直径AF．
(2)以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N(点M在直径AF左侧，点N在直径AF右侧)．
(3)连接DN．
通过以上作图，若从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，可以得到正n边形，则n的值为______．

16. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，设太阳光线与地面的夹角为α，测得tanα=23，MC=8.5m，CD=13m，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于______m.

17. 计算：4sin30°cos60°-tan245°．
18. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E.若∠CEO=40°，求∠BOE的度数．

19. 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=13，AD=1求BC的长．
20. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD.求证：AC=BD．

21. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
(2)求弧ABC的长．

22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
(1)求证：∠A=∠AEB；
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．

23. 如图，水坝的横截面是梯形ABCD(DC//AB)，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC=2.5米，坝高5米．求：
(1)坝底宽AB的长(结果保留根号)；
(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．(结果保留根号)

24. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)求证：∠BOC+∠BAD=90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得AD的长为50cm，铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求tan∠BAD．
25. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂).已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为32米，主臂伸展角α的范围是：0°<α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．

(1)如图3，当α=45°时，伸展臂PQ恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ长为______米；
(2)若(1)中PQ长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N水平正前方多少米的土石．(结果保留根号)
26. 如图，以△ABC的边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O经过B点与AC交于D点，连接BD，已知∠ABD=∠C，tanC=12．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若AD=1，求CD；
(3)设AM为∠BAC的平分线，AM=42，求⊙O的半径．

27. 问题提出
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是______．
问题探究
(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
(3)如图3，是某小区内“儿童乐园”的设计示意图．已知⊙O的直径AB=24m，点C在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一动点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF为沙坑，阴影部分地面铺设塑胶，圆内其余部分为绿化区．按照设计要求，发现沙坑(四边形PEDF)的面积为49m2时，整体布局比较合理．试求当四边形PEDF的面积为49m2时AP的长．

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3．
∴该点在圆外，
∴点N符合要求．
故选：D．
根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．

2.【答案】B 
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=52-42=3，
∴sinA=35，故选项A错误，不符合题意；
cosA=45，故选项B正确，符合题意；
tanA=34，故选项C错误，不符合题意；
tanB=43，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵∠ACD与∠AOD都对着AD，
∴∠AOD=2∠ACD，
而∠ACD=35°，
∴∠AOD=70°，
∴∠BOD=180°-70°=110°．
故选：B．
首先利用圆周角与圆心角的关系求出∠AOD，然后利用邻补角的性质即可求出∠BOD的度数．
此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧关系定理，同时也利用了邻补角的性质，有一定的综合性．

4.【答案】C 
【解析】解：∵12=cos60°，sin80°=cos10°，
∴cos60° ∴10° 故选：C．
首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．

5.【答案】C 
【解析】解：在优弧AC上取点D，连接AD、CD，

∵∠AOC=130°，
∴∠D=12∠AOC=65°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠B=180°-65°=115°，
故选：C．
在优弧AC上取点D，连接AD、CD，根据圆周角定理求出∠D=12∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵AB=a，AB⊥CD，
在Rt△ABD中有，BD=AB⋅tanβ=atanβ，
在Rt△ABC中有，BC=AB⋅tanα=atanα，
∴CD=BD+BC=atanβ+atanα．
故选：B．
利用直角三角形的边角关系，用含有AB的代数式表示BD、BC即可解答．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是在直角三角形中能正确表示边角关系．

7.【答案】C 
【解析】解：①∵点A是弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB.故①正确，
②∵△ABE∽△ADB，
∴ABAD=AEAB，
∴AB2=AD⋅AE=(AE+ED)⋅AE=(2+4)×2=12，
∴AB=23，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABAD=236=33.故②正确，
④如图，连接CD，则∠BCD=90°；

由AB=23，AD=6，∠BAD=90°，得∠ADB=30°，
∵点A是弧BC的中点，
∴∠ADB=∠EDC=30°，
∴∠CDB=60°，BD=2AB=43，
∴BC=AB⋅sin60°=6，
∴BC=AD=6，故③正确，
⑤连接OA.∵AB=23，AD=6，∠BAD=90°，
∴BD=43，
∴r=23，
∵∠BOA=60°，
∴l=60π×23180=233π，故④错误．
正确的个数为3个．
故选：C．
①由于A是弧BC的中点，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可证得所求的三角形相似；
②由(1)的相似三角形所得比例线段，可求得AB的长，进而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值；
③连接CD，由Rt△BAD的边可得∠ADB=30°，再由点A是弧BC的中点，可得∠ADB=∠EDC=30°，从而得出∠CDB=60°；求出BC，可得结论；
④由Rt△BAD的边角关系，可得出BD=43，从而得出圆的半径，由∠BOA=60°，根据弧长公式即可求解．
本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆心角、弧的关系、等边三角形的判定和性质等知识，难度适中．

8.【答案】B 
【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵C(1,c)，D(2,d)，E(e,1)，
∴OH=1，OG=2，EF=1，
∵OC=OD=OE=2，∠CHO=∠DGO=∠EFO=90°，
∴c=CH=OC2-OH2=22-12=3，
d=DG=OD2-OG2=22-(2)2=2，
e=OF=OE2-EF2=22-12=3，
∴C(1,3)，D(2,2)，E(3,1)，
由图可知：随着∠COH-∠DOG-∠EOF角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减小，
∵m ∴点P在CD上．
故选：B．
如图，过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，利用勾股定理求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案．
本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、D、E的坐标是解题关键．

9.【答案】15π 
【解析】解：圆锥的底面周长是：2×3π=6π，
则12×6π×5=15π．
故答案为：15π．
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

10.【答案】6 
【解析】解：根据勾股定理得：斜边AB=82+152=17，
∴内切圆直径=8+15-17=6(步)，
故答案为：6．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=a+b-c2是解题的关键．

11.【答案】512π-32 
【解析】解：连接CE，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵AC//OE，
∴∠COE=∠EOB=90°，
∵OC=1，CE=2，
∴OE=22-12=3，cos∠OCE=12，
∴∠OCE=60°，
∴S阴影部分=S扇形BCE-S△OCE-S扇形BOD=60⋅π⋅22360-12⋅1⋅3-90⋅π⋅12360
=512π-32．
故答案为512π-32．
连接CE，如图，利用平行线的性质得∠COE=∠EOB=90°，再利用勾股定理计算出OE=3，利用余弦的定义得到∠OCE=60°，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形BCE-S△OCE-S扇形BOD进行计算即可．
本题考查了扇形面积的计算：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

12.【答案】12.5 
【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在拱高CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是rm，连接OA，OC，如图所示，
根据垂径定理，得：AD=12AB=10m，OD=(r-5)m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2=102+(r-5)2，
解得：r=12.5，
即该拱桥的半径为12.5m，
故答案为：12.5．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在拱高CD所在的直线上，设圆心是O，半径为rm，连接OA，OC，根据垂径定理得AD=10m，再由勾股定理列方程求解即可．

13.【答案】3 
【解析】解：连接CM，DN，

由题意得：
CM//AB，
∴∠APD=∠NCD，
由题意得：
CN2=12+12=2，
DN2=32+32=18，
CD2=22+42=20，
∴CN2+DN2=CD2，
∴△CND是直角三角形，
∴tan∠NCD=DNCN=322=3，
∴∠APD的正切值为：2，
故答案为：2．
连接CM，DN，根据题意可得CM//AB，从而可得∠APD=∠NCD，然后利用勾股定理的逆定理证明△CND是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】50 
【解析】解：如图所示标注字母，

根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30海里，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=180°-90°-53°=37°，
在Rt△PAB中，sin37°=APPB=30PB≈35，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
故答案为：50．
由题意可得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30海里，则∠PAB=90°，∠B=37°，在Rt△PAB中，利用正弦函数求解即可．
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

15.【答案】15 
【解析】解：连接OC、OD、ON、FN，如图，
由作法得FO=FN，
而ON=OF，
∴△OFN为等边三角形，
∴∠FON=60°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠COD=360°5=72°，
∵AF为直径，
∴AF垂直CD，
∴∠FOD=12∠COD=36°，
∴∠DON=∠FON-∠FOD=60°-36°=24°，
∴n=360°24∘=15，
即n的值为15．
故答案为：15．
连接OC、OD、ON、FN，如图，由作法得FO=FN，则可判断△OFN为等边三角形得到∠FON=60°，根据正五边形的性质得到∠COD=72°，则∠FOD=36°，于是可计算∠DON=24°，利用正多边形与圆的关系，用360°除以24°可得到n的值．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正多边形与圆．

16.【答案】(10+13) 
【解析】解：如图，过点O作OP//BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB=PN，

∵AC//BD，
∴AC//OP//BD，
∴OAOB=CPPD，∠EGF=∠OPM，
∵OA=OB，
∴CP=PD=12CD=6.5，
∴MP=CM+CP=8.5+6.5=15，
tan∠EGF=tan∠OPM，
∴EFFG=OMMP=23，
∴OM=23×15=10；
∵DB//EG，
∴∠EGF=∠NDP，
∴sin∠EGF=sin∠NDP，即213=PN6.5，
∴OB=PN=13，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于(10+13)米．
故答案为：(10+13).
作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：4sin30°cos60°-tan245°
=4×12×12-12
=1-1
=0． 
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：如图所示，连接OD，

∵CD=OA=OD=OE，∠CEO=40°，
∴∠ODE=∠E=2∠C=40°，
∴∠C=20°，
∴∠BOE=∠C+∠E=60°． 
【解析】连接OD，由CD=OA=OD=OE，∠CEO=40°知∠ODE=∠E=2∠C=40°，据此得∠C=20°，根据∠BOE=∠C+∠E可得答案．
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=13，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2-AD2，
∴BD=32-12=22．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=22+1． 
【解析】先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=22，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解
本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=22，DC=1是解题的关键．

20.【答案】证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
∴AC=BD． 
【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由AB=CD得到AC=BD，所以AC=BD．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

21.【答案】(2,0) 
【解析】解：(1)由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2,0)，
故答案为：(2,0)；
(2)根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP=OP2+OA2=22+42=25=PC，
在△AOP和△PQC中，
OP=QC=2∠AOP=∠PQC=90°OA=QP=4，
∴△AOP≌△PQC(SAS)，
∴∠APO=∠PCQ，
又∵∠PCQ+∠CPQ=90°，
∴∠APO+∠CPQ=90°，
又∵∠APO+∠APC+∠CPQ=180°，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为90π×25180=5π，
答：弧ABC的长为5π.
(1)根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
(2)借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．

22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；

(2)∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠A=60°． 
【解析】(1)根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；
(2)首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．

23.【答案】解：(1)作DF⊥AB，垂足为F，

∵DC//EF，DF//CE，DF⊥AB，
∴四边形DFEC为矩形，
∴FE=DC=2.5，DF=CE=5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，
∴AF=1.2DF=1.2×5=6，
在Rt△CEB中，tanα=CEEB，
∴BE=CEtan30∘=53，
∴AB=AF+FE+EB=(172+53)米；
(2)如图，作D'G⊥A'B于G，
在Rt△A'GD'中，A'G=1.4D'G=7，
∴A'A=A'G+GF-AF=1.5，
∴梯形D'A'AD的面积=12×(0.5+1.5)×5=5，
答：横截面增加的面积为5平方米． 
【解析】(1)作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
(2)作D'G⊥A'B于点G，求出CD'、A'B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

24.【答案】( 1)证明：方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F．

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵EF//CD，
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°．
∴∠OBF+∠ABE=90°，
∴∠OBF=∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD=90°；
方法2：如图2，延长OB交CD于点M．

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCM=90°，
∴∠BOC+∠BMC=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABM=90°．
∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD=180°．
∵∠BMC+∠BMD=180°，
∴∠BMC=∠BAD．
∴∠BOC+∠BAD=90°；
方法3：如图3，过点B作BN//AD，

∴∠NBA=∠BAD．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∴AD//OC，
∴BN//OC，
∴∠NBO=∠BOC．
∵AB为OO的切线，
∴∠OBA=90°，
∴∠NBO+∠NBA=90°，
∴∠BOC+∠BAD=90°．
(2)解：利用(1)中图1，

∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
设DE=CF=x，则AE=50-x，OF=25-x，
∵由(1)得∠OBF=∠BAD，∠OFB=∠BEA=90°，
∴△OFB∽△BEA，
∴OBBA=OFBE，即2575=25-xBE，
∴BE=75-3x，
在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，
∴752=(50-x)2+(75-3x)2，
整理，得：x2-55x+250=0，
解得：x1=5，x2=50(不符合题意，舍去)，
∴BE=60，AE=45，
∴tan∠BAD=BEAE=6045=43． 
【解析】(1)方法1：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F.首先证明∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°；再根据B是切点得出∠OBA=90°.后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M.因为AB为⊙O的切线，所以根据切线性质得到，∠OBA=90°，∠ABM=90°.再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点B作BN//AD，根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；
(2)设DE=CF=x，则AE=50-x，OF=25-x，证明△OFB∽△BEA，可得两三角形相似比为1：3，用含x的式子表示出BE、AE，再在Rt△ABE中根据勾股定理计算出x值，从而计算BE、AE的值，即可解答问题．
本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．

25.【答案】3.5 
【解析】解：(1)过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，

则HQ=MN=0.5米，
在Rt△PHM中，∠PMH=45°，PM=32米，
∴PH=PM⋅sin45°=32×22=3(米)，
∴PQ=PH+HQ=3+0.5=3.5(米)，
∴伸展臂PQ长为3.5米，
故答案为：3.5；
(2)当∠QPM=135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，

∴∠APQ=180°-∠QPM=45°，
在Rt△APQ中，PQ=3.5米，
∴AQ=PQ⋅sin45°=3.5×22=742(米)，
AP=PQ⋅cos45°=3.5×22=742(米)，
∵PM=32米，
∴AM=AP+PM=1942(米)，
在Rt△AQM中，QM=AQ2+AM2=(724)2+(1924)2=2052(米)，
在Rt△QMN中，QN=QM2-MN2=(2052)2-(12)2=51(米)，
∴该挖掘机最远能挖掘到距点N水平正前方51米的土石．
(1)过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，根据题意可得HQ=MN=0.5米，然后在Rt△PHM中，利用锐角三角函数的定义求出PH的长，从而求出PQ的长，即可解答；
(2)当∠QPM=135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，利用平角定义可求出∠APQ=45°，然后在Rt△APQ中，利用锐角三角函数的定义求出AP，AQ的长，从而求出AM的长，再在Rt△AQM中，利用勾股定理求出QM的长，最后在Rt△QMN中，利用勾股定理求出QN的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：∵OB=OC，OB=OD，
∴∠C=∠OBC，∠OBD=∠ODB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，即∠OBD+∠OBC=90°，
又∵∠C=∠ABD，
∴∠ABD+∠OBD=90°，
即OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙⊙O的切线；
(2)解：∵∠C=∠ABD，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ADAB=ABAC=BDCB=tanC=12，
∵AD=1，
∴AB=2，AC=4，
∴CD=AC-AD=4-1=3；
(3)解：如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于点N，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=∠BAM，
∵∠C+∠CDB=90°，
∴∠C+∠ABD+∠CAB=90°，
又∵∠C=∠ABD，
∴∠CAM+∠C=12×90°=45°=∠AMN，
∴AN=MN，
∵AM=42，
∴AN=MN=42×22=4，
∵tanC=ANCN=BDCB=12，
∴CN=2AN=8，
∴MC=MN=4，
∵AM平分∠BAC，
BMMC=ABAC=BDCB=12，
∴BM=2，
∴BC=3+4=6，BD=3，
在Rt△BCD中，
CD=BD2+BC2=35，
∴⊙O的半径为352． 
【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
(2)根据相似三角形的判定和性质，以及tanC=12=BDBC即可求出AC，进而求出CD；
(3)根据角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余以及三角形内角和定理可得∠AMN=45°，进而求出AN=MN=4，再根据相似三角形的性质求出BC，BD，由勾股定理求出CD，进而求出半径即可．
本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的评选和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．

27.【答案】DE，DF，CF 
【解析】解：(1)如图1，∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED=∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴DE=DF=CF=CE，
∴与线段CE相等的线段是DE、DF、CF，
故答案为：DE、DF、CF．
(2)如图2，作⊙O的半径OH⊥PB于点G，连接OP，则PH=BH=12PB，
∵PB=2PA，
∴PA=12PB，
∴PA=PH=BH，
∴∠AOP=∠POH=∠BOH=13×180°=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴∠APB=90°，
∵∠APB的平分线交AB于点C，CE⊥AP，CF⊥BP，
∴CE=CF，
∵AP=OA=4，
∴BP=AB2-AP2=82-42=43，
∴12×4CE+12×43CF=12×4×43=S△ABP，
∴12×4CF+12×43CF=12×4×43，
∴CF=6-23，
∴线段CF的长是6-23．
(3)如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CA=CB，
∴CA=CB，
∴∠ADC=∠BDC，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠PED=∠PFD=∠EDF=90°，PE=PF，
∴四边形PEDF是正方形，
∵四边形PEDF的面积为49m2，
∴PE2=49，∠EPF=90°，
∴PE=7，
∴PE=PF=DE=DF=7m，
设AD=x m，BD=ym，则12xy=12×7x+12×7y=S△ABD，
∴xy=7(x+y)，
∵AD2+BD2=AB2，且AB=24m，
∴x2+y2=242，
∴(x+y)2-2xy=576，
∴(x+y)2-14(x+y)=576，
解得x+y=32或x+y=-18(不符合题意，舍去)，
∴xy=7×32=224，
∴由x+y=32xy=224得x1=16+42y1=16-42，x2=16-42y2=16+42，
∴AD=16+42，BD=16-42或AD=16-42，BD=16+42，
∵APBP=12×7AD12×7BD=ADBD=S△APDS△BPD，
∴AP=16+4216+42+16-42=×24=(12+32)m或AP=16-4216-42+16+42×24=(12-32)m，
∴当四边形PEDF的面积为49m2时AP的长为(12+32)m或(12-32)m．
(1)由DE⊥AC，DF⊥BC，得∠CED=∠CFD=90°，而∠ACB=90°，则四边形CEDF是矩形，由角平分线的性质得DE=DF，所以四边形CEDF是正方形，则DE=DF=CF=CE，于是得到问题的答案；
(2)作⊙O的半径OH⊥PB于点G，连接OP，先证明PA=PH=BH，则∠AOP=∠POH=∠BOH=13×180°=60°，即可证明△AOP是等边三角形，则AP=OA=4，由勾股定理求得BP=43，再由12×4CF+12×43CF=12×4×43=S△ABP，求得CF=6-23；
(3)由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，由CA=CB，得CA=CB，则∠ADC=∠BDC，可证明四边形PEDF是正方形，求得PE=7，设AD=x m，BD=ym，则12xy=12×7x+12×7y=S△ABD，得xy=7(x+y)，而x2+y2=242，即可求得AD=16+42，BD=16-42或AD=16-42，BD=16+42，再证明APBP=ADBD，即可求出AD的长．
此题重点考查角平分线的性质、正方形的判定与性质、圆的有关概念和性质、直径对所的圆周角是直角、勾股定理、根据面积等式求线段长度、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．