2022-2023学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  流感病毒的直径约为，其中用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列等式从左往右因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，为的中线，为的中线若的面积为，，则中边上的高为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记，；已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  比较、的大小：______．

10.  等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长等于______．

11.  若多项式是一个完全平方式，则的值为______ ．

12.  一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为______．

13.  已知：如图，在中，，是高、的交点，则______度．
 

14.  已知，则的值为______ ．

15.  如图，在五边形中，，点在边上，，则与的度数的比值是______ ．

16.  刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术注中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣”也就是说，图中直角三角形的三边、、存在的关系他在书中构造了一些基本图形来解决问题如图，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
因式分解

 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
画出边上的中线；
画出边上的高线；
将向左平移个单位长度，得到；并求扫过的面积．

21.  本小题分
如图，在中，，，试判断与的位置关系，并说明理由．

22.  本小题分
已知，，求的值：
已知，求的值．

23.  本小题分
如图，在中，于，平分．
若，，求的度数
若，则 ______ ．
若，求的度数用含的代数式表示．

24.  本小题分
如图摆放两个正方形，它们的周长之和为、面积之和为，求阴影部分的面积．

25.  本小题分
阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．
此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
利用“配方法”分解因式：；
世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：请你把因式分解；
若，求和的值．

26.  本小题分
直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动．
如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
如图，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，只有选项B中的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选B．
根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是选项B中的图案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、

，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，单项式乘单项式的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，是整式乘法运算，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义及方法进行解答即可．
此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，然后再利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作，

为的中线，为的中线，
，，，
的面积为，，
，
解得，
故中边上的高为．
故选：．
根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出的面积，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，过点作，
，，，

，，，．
，
．
又和分别平分和，
，，
，
．
，得，
．
，得．
．
故选：．
过点作，过点作，易证与、，与、间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到，是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：
二次项的系数为，
，
，
整理得：，
则．
故选：．
根据题中的新定义将已知等式左边化简，再利用多项式相等的条件即可确定出的值．
此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
即，
故答案为：．
利用幂的乘方的法则把两个数的指数转为相等，再比较底数即可．
本题主要考查幂的乘方，有理数大小比较，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：当为腰，为底时，，不能构成等腰三角形；
当为腰，为底时，，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

11.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征解答即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：所有内角都是，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为：．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是对三角形的内角和定理和三角形的外角性质的考查运用了直角三角形的两个锐角互余以及三角形外角性质．
根据直角三角形的两个锐角互余，可求得再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出．
【解答】
解：在中，
，
，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：，







．
故答案为：．
利用平方差公式代入代数式进行计算即可．
本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
，
，
：，
故答案为：．
首先设，然后利用三角形内角和可得，利用五边形内角和可得，然后可得比值．
此题主要考查了多边形内角，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．
 

16.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分面积等于，
如图所示：
，，，
，
，即，
，
，
，即，
，
故答案为：．
根据阴影面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积即可表示；先求出，，，再根据得到，再根据，即可求出．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，最后算加减即可；
先算积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，最后合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：

；



． 

【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

19.【答案】解：，







． 

【解析】首先根据平方差公式、完全平方公式化简，然后把代入化简后的算式计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值问题，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，即为所求．
连接，，
扫过的面积为． 

【解析】利用网格，取的中点，连接即可．
根据三角形的高的定义作图即可．
根据平移的性质作图即可；连接，，扫过的面积可以表示为，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、三角形的中线和高，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：．
，，
，
，
，
又，
，
． 

【解析】依据，，可得，即可判定，进而得出，再根据，可得，即可判定．
本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．
 

22.【答案】解：



．
，
，
，
． 

【解析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
 

23.【答案】解：由已知可得，，
，，
；
；
，
，
平分，
，
，
，
，



． 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是和三角形外角性质解答．
根据角平分线的定义和互余进行计算；
根据三角形内角和定理和角平分线定义得出的度数等于与差的一半解答即可；
根据中所得解答即可．
【解答】
解：见答案；
，
，
平分，
，
，
，
，




，
故答案为；
见答案．  

24.【答案】解：根据题意得，，，
，
． 

【解析】根据题意得，，，利用面积的和差解答即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

25.【答案】解：


；



；
，
，
，
，，
，． 

【解析】先配成完全平方的形式，再用平方差公式分解因式；
先配成完全平方的形式，再用平方差公式分解因式；
先拆项，再提取公因式，再用完全平方公式分解因式，最后根据非负数的性质计算．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用、因式分解分组分解法，掌握多次因式分解，分解因式一定要彻底，拆项是分组分解法解题关键．
 

26.【答案】解：的大小不变，
直线与直线垂直相交于，
，
，
、分别是和角的平分线，
，，
，
；
的大小不变．
延长、交于点．

直线与直线垂直相交于，
，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
，
、分别是和的角平分线，
，
；
或． 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
根据直线与直线垂直相交于可知，再由、分别是和的角平分线得出，，由三角形内角和定理即可得出结论；
延长、交于点，根据直线与直线垂直相交于可得出，进而得出，故，再由、分别是和的角平分线，可知，，由三角形内角和定理可知，再根据、分别是和的角平分线可知，进而得出结论；
由与的角平分线相交于可知，，进而得出的度数，由、分别是和的角平分线可知，在中，由一个角是另一个角的倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】
解：见答案；
见答案；
与的角平分线相交于，
，，
，
、分别是和的角平分线，
  
在中，
有一个角是另一个角的倍，故有：
，，；
，，；
，，；
，，，
，
为或．
故答案为：或．