江苏省苏州市工业园区星海中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的一次项系数和常数项分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.    的边长都扩大倍，则的值(    )

A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断

3.    一元二次方程的根为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.    在中，，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    在中，，，下列四个选项，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    关于的一元二次方程的解为，，且则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 对于实数、，定义运算“”；，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了米，此时他与水平地面的垂直距离为米．则这个坡面的坡度为______．
12. 已知关于的方程的一个解为，那么另一个解是______．
13. 在中，若，且、为锐角，则的度数是______．
14. 将抛物线的解析式向上平移个单位长度，在向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______ ．
15. 已知是方程式的根，则式子的值为______．
16. 在二次函数中，当时的取值范围为______．
17. 在中，，，是边上的高，，则的长为______．
18. 已知二次函数的图象与轴交于和其中与轴交于正半轴上一点．下列结论：
    ；
    ；
    若点，，均在二次函数图象上，则；
    ．
    其中一定正确的结论的序号是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
21. 本小题分
    先化简，再求值，其中满足．
22. 本小题分
    已知二次函数的图象顶点为且过点为，求该抛物线的解析式．
23. 本小题分
    如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为，面积为，：：求：
    的长；
    和的值．

24. 本小题分
    端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
    小王：该水果的进价是每千克元；
    小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
    根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的储售价为每千克多少元？
25. 本小题分
    关于的一元二次方程
    若方程有两个不等的实数根，求的取值范围；
    若、是方程的两根，且出求的值．
26. 本小题分
    已知二次函数，其中．
    当该函数的图象经过原点，求此时函数图象的顶点的坐标；
    求证：二次函数的顶点在第三象限；
    如图，在的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图象与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．

27. 本小题分
    图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，≌≌≌，点、、均在直线上，，．
    求的长；
    连接，求线段的长．
     
28. 本小题分
    如图，在中，，平分，交于点，，交于点．
    
    若，，求的长；
    试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
    如图，和是的个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点记的面积为，的面积为，的面积为若，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程的一次项系数和常数项分别为，．
故选：．
根据是常数且，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

2.【答案】 

【解析】解：的边长都扩大倍，
所得的三角形与原三角形相似，
的大小没有发生变化，
的值不变，
故选：．
根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
故选：．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，，
，
．
故选：．
根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及锐角三角函数关系，正确记忆相关数据是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
，
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的开口向上，对称轴是直线，
抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
点离对称轴最远，点离对称轴最近，
．
故选：．
求得抛物线对称轴为直线，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由函数开口向下，交轴的正半轴，则，由函数开口向上，对称轴在轴的右侧，则，，一致，故A选项符合题意；
B、由函数开口向下，交轴的正半轴，则，由函数开口向下，则，矛盾，故B选项不符合题意；
C、由函数开口向下，交轴的正半轴，则，由函数开口向上，对称轴在轴的左侧，则，矛盾，故C选项不符合题意；
D、由函数开口向上，交轴的负半轴，则，由函数开口向上，对称轴在轴的右侧，则，矛盾，故D选项不符合题意；
故选：．
根据抛物线开口方向和对称轴进行判断即可．
本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与坐标轴的交点等．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标，
，
抛物线开口向下，
，
在轴下方，
，
如图所示：

，
故选：．
先把关于的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可．
本题考查抛物线与轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
为整数，
的最大值为．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由可得，由可得．
根据题意得．
即，
画出函数的图象如图，
观察函数的图象和直线有三个不同的交点时，，
关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是．
故选：．
根据题意确定函数的解析式为，画出函数的图象从图象上观察当关于的方程为恰有三个互不相等的实数根时的取值范围．
本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
 

11.【答案】： 

【解析】解：由勾股定理得：斜坡的水平宽度为：米，
则这个坡面的坡度：：，
故答案为：：．
根据勾股定理求出斜坡的水平宽度，再根据坡度的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设另外一个解为，
由根与系数的关系可知：，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
即，，
又、为锐角，
，，

，
故答案为：．
根据绝对值、偶次方的非负性以及特殊锐角三角函数值可求出，，再根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查绝对值、偶次方的非负性，特殊锐角三角函数值以及三角形内角和定理，掌握绝对值、偶次方的非负性，特殊锐角三角函数值以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：，其顶点坐标为．
向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后的顶点坐标为，得到的抛物线的解析式是，
故答案为：．
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，





．
故答案为：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．
此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，当有最小值，
当时，，
，
的取值范围为，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：是边上的高，，
．
，，
．
，
．
在中，



．


．
故答案为：．
利用勾股定理、等腰三角形的性质先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出，勾股定理求出，最后利用线段的和差阿关系求出．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质、勾股定理是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的交点为和，与轴交于正半轴，
，故正确；
图象与轴交于两点，
，
，
，故正确；
图象与轴交于和，其中，
，
，
点，，均在二次函数图象上，
，故错误；
抛物线与轴的交点有一个为，
，

当时，，
，
，
，故正确，
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
根据与坐标轴的交点判断出；根据图象与轴交于两点判断；根据对称轴和开口方向，综合增减性即可判断；根据当时，，当时，可以判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出是负数是解题的关键，结论的判断有点难度，先根据与轴的交点坐标求出是关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值和零次幂，再计算加法．
此题考查了特殊角的三角函数值和零次幂混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
原方程无实数根．
，
，
，
，
，
，
，． 

【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；
先把常数项移到方程右边，再把二次项系数互为，然后把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：原式
，
解法一：
，
舍去或，
当时，
原式；
解法二：
，
，
原式． 

【解析】把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
本题考查了分式的化简求值，熟练化简分式是解题的关键．
 

22.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线的解析式为． 

【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

23.【答案】解：平行四边形中，，，
平行四边形的周长为，
，
又：：，
，，
，
；
在四边形中，，
，，
，
在平行四边形中，
，
，
在中，，
． 

【解析】因为平行四边形的周长为，且相邻两边之比为比，所以可求出每边的长，根据面积为，即可求出边上的高；
在四边形中，已知两个直角，所以，而即的值也就时，在直角中，可通过已知的和求出．
本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角函数定义．
 

24.【答案】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元千克．
答：这种水果的储售价为每千克元． 

【解析】设每千克降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根，
，
；
，，且，
，
，
或． 

【解析】由根的判别式可得答案；
将，代入，计算可得答案．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握“当时，方程有两个不等实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
 

26.【答案】解：把代入得：
，
解得，
，
函数图象的顶点的坐标为；
证明：由抛物线顶点坐标公式得的顶点为，
，
，
，
，
二次函数的顶点在第三象限；
解：设平移后图象对应的二次函数表达式为，其顶点为，
当时，，
将代入得：
，
，
在轴的负半轴，
，
，
过点作于，如图：

，
，
在中，
，
，
当时，此时，取最大值，最大值为，
答：面积的最大值是． 

【解析】把代入可得，即得函数图象的顶点的坐标为；
由抛物线顶点坐标公式得的顶点为，根据，，可知二次函数的顶点在第三象限；
设平移后图象对应的二次函数表达式为，其顶点为，将代入得，可得，过点作于，有，由二次函数性质得面积的最大值是．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
 

27.【答案】解：如图，过点作于点，连接，延长交于点，过点作于．

≌≌≌，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得或负根舍弃，
；
由知，
，，
是等边三角形，
，
根据对称性可知，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】如图，如图，过点作于点，连接，，延长交于点，过点作于证明，推出是等边三角形即可得到结论；
根据平行线分线段成比例定理求出，可得结论．
本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
是定值．
，
，
同可得，，
，
，
是定值，定值为；
，
，
，
，
又，
，
设，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
过点作于点，

，
，
． 

【解析】证出，由等腰三角形的判定得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质可求出的长；
由平行线分线段成比例定理得出，同可得，，证出，则可得出答案；
证出，由题意可得出，设，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，过点作于点，则，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．