人教版高中数学选择性必修第一册《圆锥曲线》夯基练习(2份打包，教师版+原卷版)
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人教版高中数学选择性必修第一册
《圆锥曲线》夯基练习
一 、选择题
1.直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
【答案解析】答案为：A.
解析：因为直线y=x＋3与双曲线的渐近线y=x平行，所以它与双曲线只有1个交点.]
2.已知双曲线与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞)
【答案解析】答案为：C；
3.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A. (﹣∞，0)∪(1，＋∞) B. (1,3)∪(3，＋∞)
C. (﹣∞，﹣3)∪(﹣3,0) D. (1,3)
【答案解析】答案为：B
解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.由消去y，
整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3，故选B.
4.若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.(，) B.(，＋∞)∪(﹣∞，)
C.(，＋∞) D.(﹣∞，﹣)
【答案解析】答案为：B
解析：本题考查椭圆的范围.因为点P在椭圆＋＝1的外部，
所以＋＞1，解得a＞或a＜，故选B.
5.直线l：kx﹣y﹣k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
【答案解析】答案为：A
解析：∵kx﹣y﹣k＝0，∴y＝k(x﹣1)，即直线过定点(1,0)，
而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交.
6.斜率为的直线与双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.(，＋∞) C.(1，) D.(2，＋∞)
【答案解析】答案为：D
解析：本题考查利用双曲线的性质解决直线与双曲线的位置关系问题.
双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，∴＞，∴b＞a，∴b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，∴e2﹣1＞3，∴e＞2，故选D.
7.已知双曲线﹣＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1，) B.(1，] C.(，＋∞) D.[，＋∞)
【答案解析】答案为：C
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＞＝.
8.若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝( )
A. B. C.或 D.或
【答案解析】答案为：D
解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；
若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.
9.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
【答案解析】答案为：B；
解析：因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣9＝7.因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
10.若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案解析】答案为：B
解析：由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2 ⇒b＝4.故选B.
11.直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1
【答案解析】答案为：A.
解析：根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的方程为－＝1.]
12.已知双曲线－＝1(0＜a＜1)的离心率为，则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案解析】答案为：B；
解析：∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又＝，∴a＝，故选B.
二 、填空题
13.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________.
【答案解析】答案为：或.
解析：当k＞4 时，有e＝ ＝，解得k＝；当0＜k＜4时，
有e＝ ＝，解得k＝.故实数k的值为或.
14.已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________.
【答案解析】答案为：－＝1
解析：因为e＝＝，F2(5,0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
15.抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是______.
【答案解析】答案为：2
解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，
则AB的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝﹣＝2.
16.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为__________.
【答案解析】答案为：.
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0).
由题意得＝×2c.所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝.
三 、解答题
17.设双曲线﹣＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率.
【答案解析】解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay﹣ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2﹣a2，所以16a2(c2﹣a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4﹣16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
18.已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x﹣y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值.
【答案解析】解：(1)由题意得
解得
所以b2＝c2﹣a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2﹣＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).
由得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0(判别式Δ＞0).
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.
19.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.
【答案解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝﹣1.由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，
于是弦AB的中点M的横坐标为，
因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
20.已知抛物线y2＝﹣x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点.
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值.
【答案解析】解：(1)证明：设A(﹣y，y1)，B(﹣y，y2).
则y1＝k(﹣y＋1)，y2＝k(﹣y＋1)，
消去k得y1(1﹣y)＝y2(1﹣y).
∴(y2﹣y1)＝y1y2(y1﹣y2)，
又y1≠y2，∴y1y2＝﹣1，
∴·＝y1y2＋yy＝y1y2(1＋y1y2)＝0，
∴OA⊥OB.
(2)S△OAB＝×1×|y2﹣y1|，
由得ky2＋y﹣k＝0，
∴S△OAB＝×1×|y2﹣y1|＝＝，
∴k＝±.
21.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程.
【答案解析】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∴过焦点F，垂直于x轴的弦长为4＜36.
∴弦所在直线斜率存在，
由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.
∴设直线方程为y＝k(x﹣1).
由消去y，整理得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2.
又|AB|＝36，∴＋2＝36.∴k＝±.
故所求直线的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x﹣1.
22.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点.
求证：直线BC的斜率是定值.
【答案解析】证明：设AB的斜率为k，则AC的斜率为﹣k.
故直线AB的方程是y﹣2＝k(x﹣4)，
与y2＝x联立得，y﹣2＝k(y2﹣4)，即ky2﹣y﹣4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一解，
∴2yB＝，yB＝，xB＝y＝.∴B.
∵kAC＝﹣k，以﹣k代替k代入B点坐标得点C的坐标为，
∴kBC＝＝﹣为定值.
23.已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标.
【答案解析】解：(1)由⇒4x2＋4(m﹣1)x＋m2＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝1﹣m，x1·x2＝，
|AB|＝·
＝·＝.
由|AB|＝3，
即＝3⇒m＝﹣4.
(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，＝⇒|a﹣2|＝3⇒a＝5或a＝﹣1，
故点P的坐标为(5,0)或(﹣1,0).
