初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式第1课时教学设计及反思

教学目标

1.体会确定二次函数表达式所需要的条件，利用点的坐标确定二次函数表达式.

2.经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思考过程，类比求一次函数表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.

教学重难点

重点：用待定系数法确定二次函数表达式.

难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，选择合适的二次函数的表达式．

教学过程

导入新课

提出问题

师：二次函数表达式的一般形式是什么？

生：y＝ax²+bx+c (a，b，c为常数，a ≠0).

师：二次函数的顶点式是什么？

生：（a ≠0）.

师：我们在用待定系数法确定一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的表达式时，通常需要几个独立的条件？

生：两个.

师：确定反比例函数(k≠0)的表达式时，又通常需要几个条件呢？

生：一个.

师：如果要确定二次函数的表达式y＝ax²+bx+c (a，b，c为常数，a ≠0)，通常又需要几个条件？

设计意图：本环节是复习旧知识，让学生回忆并回答，为本节课的学习做好铺垫.

探究新知

一、预习新知

教师利用多媒体展示本节开始的问题.

一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，你能求出y与x之间的表达式吗？

教师先引导学生进行分析

要求y与x之间的表达式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设出对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可.

要求学生独立解答，代表展示，师生共同订正.

解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标，∴设二次函数表达式为y＝a(x－4)2+3.

把点(10，0)的坐标代入y＝a(x－4)2+3，解得a＝－，

因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为

y＝－(x－4)2+3.

想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.

学生先独立思考，然后小组内交流，最后进行探讨.

师生共同总结:

(1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标.

(2)形如y＝a(x-h)2和y＝ax2+c的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标.

(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.

设计意图：通过现实情景再现，让学生体会到函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生形成良好的数学应用意识，也激发了学生学习数学的兴趣.

二、合作探究

根据前面的分析，在求二次函数表达式时，我们要根据具体情况选择合适的表达式.

典型例题

【例】已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.

【问题探索】确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可.

【解】将点（2，3）和（－1，－3）的坐标分别代入二次函数y＝ax2+c中，得

解得

∴所求二次函数表达式为y＝2x2－5.

教师提出问题

通过上面的解题过程,你能总结出求此类型的二次函数的表达式所需要的步骤吗？

学生独立思考，然后小组内交流，最后代表总结.

【总结】要确定形如y＝ax2+c，y＝ax2+bx等只含有两项的二次函数表达式，把图象上已知的任意两个点的坐标代入二次函数的表达式中，列出二元一次方程组求出未知系数，就可以求出二次函数的表达式.

设计意图：通过对例题的解答，使学生掌握列二元一次方程组求二次函数表达式的方法，同时也提高了学生具体问题具体分析的能力.

多媒体展示课本中的做一做.

已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.

教师先提出下列问题：

1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?

2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?

3.二次函数表达式y＝ax2+bx+c中除了系数c之外，还有几个未知系数?

学生根据问题观察、思考得到结论.

学生总结、教师点评：此题隐含了c＝1的结论，需要同学们去发现，除了系数c之外，只有两个未知系数，函数图象还已知两个点的坐标，可以求出它的表达式.

让学生独立完成，把做的好的学生的成果进行展示.

想一想：在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？

学生独立思考后，小组交流、讨论，老师巡视，并参与到学生的讨论中去.

学生总结、教师点评

1.用顶点式y＝a(x-h)2+k时，已知顶点坐标是(h，k)，再给出图象上另一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.

确定表达式的步骤和方法：

可以利用待定系数法设表达式为顶点式：y＝a(x-h)2+k，再把另一个点的坐标代入，求出a的值就可以确定所求二次函数的表达式.

2.用一般式y＝ax2+bx+c确定函数表达式时，如果系数a，b，c中有两个系数未知，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.

确定只含两个未知系数的二次函数表达式的一般步骤和方法：

设出只含两个未知系数的二次函数的一般式，把两个点的坐标代入表达式，得到二元一次方程组，解这个方程组，得到两个未知系数的值，就可以确定二次函数的表达式.

提升：要想求出二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均未知）的表达式，需要知道几个点的坐标？

学生猜想：3个.

设计意图：通过归纳总结让学生对本节课的主要内容有一个阶段性的认识，使所学知识更加条理、更加系统，通过让学生独立思考，为下节课的学习做好了铺垫.

课堂练习

1.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是 (　　)

A.y＝2x24xB.y＝x(x2)

C.y＝(x-1)2+2D.y＝2x2+4x

2.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为(     )

A．y＝x2－2x      B．y＝x2＋x－1

C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 

3.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为.

参考答案

1.D　

2.C

3.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式时需要满足的条件.

2.求二次函数表达式的步骤和方法.

板书设计

第二章　二次函数

3　确定二次函数的表达式

第1课时　确定含有两个未知数的二次函数表达式

1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式时需要满足的条件:

已知顶点坐标：设顶点式，然后代入一个点的坐标；

只有两个未知系数：代入两个点的坐标.

2.求二次函数表达式的步骤和方法:

待定系数法→代入→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二

次函数表达式.

教学反思

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