2021学年3 确定二次函数的表达式课堂检测

2.3　确定二次函数的表达式

一、选择题

1．已知抛物线经过A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－2)，则这条抛物线的表达式为(　　)

A．y＝x2＋2x                        B．y＝－x2＋2x－1

C．y＝x2＋2x－1                     D．y＝x2－1

2．根据表格中的信息可知，若y＝ax2＋bx＋c，则下列关于y与x之间函数关系正确的是(　　)

A．y＝x2－4x＋3                     B．y＝x2－3x＋4

C．y＝x2－3x＋3                     D．y＝x2－4x＋8

3．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的表达式可能是(　　)

A．y＝x2－2x＋3                     B．y＝－2x2－2x＋3

C．y＝－x2＋2x＋3                   D．y＝－x2＋2x－3

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则该函数表达式为(　　)

A．y＝－3x2＋12x＋9                 B．y＝－x2＋2x＋3

C．y＝－3x2＋4x＋3                  D．y＝－x2＋4x＋1

5．将抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是(　　)

A．y＝－2x2－12x＋16                 B．y＝－2x2＋12x－16

C．y＝－2x2＋12x－19                 D．y＝－2x2＋12x－20

6．如果抛物线y＝x2－6x＋c－2上的最低点到x轴的距离是3，那么此函数的表达式是(　　)

A．y＝x2－6x＋6                      B．y＝x2－6x＋12

C．y＝x2－6x＋6或y＝x2－6x＋12       D．y＝x2－6x－10或y＝x2－6x－16

二、填空题

7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的表达式为_________________.

8．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如

下表：

从上表可知，下列说法中正确的是__________.(填写序号)

①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；

②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；

③抛物线的对称轴是x＝0.5；

④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线的函数表达式为_____________________________.

三、解答题

10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)

(1)求二次函数的表达式；

(2)画出二次函数的图象．

11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．求：

(1)这个二次函数的表达式；

(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．

12．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．

(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.

①求该抛物线对应的函数表达式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？

13．如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，1)．

(1)求二次函数y＝ax2的表达式．

(2)一次函数y＝mx＋4的图象与二次函数y＝ax2的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．

①当m＝时(如图1)，求证：△AOB为直角三角形；

②试判断当m≠时(如图2)，△AOB的形状，不需要说明理由．

(3)根据第(2)问，说出一条你能得到的结论．(不要求证明)

参考答案

1.C  2. A  3. C  4. B  5. D  6. C

7. y＝x2－x－2

8. ①③④

9. y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2

10. 解：(1)根据题意，得解得故所求二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋2.　

(2)图略．

11. 解：(1)由题意，得解得故二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1.　

(2)当x＝4时，m＝－2×42＋4×4＋1＝－15.由y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，故其顶点坐标为(1，3)．

12. (1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝(x－m)(x－m－1)，由y＝0得x1＝m，x2＝m＋1，∵m≠m＋1，∴抛物线与x轴一定有两个公共点．　

(2)解：①∵y＝(x－m)(x－m－1)＝x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝.∴＝，解得m＝2.∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－5x＋6.　②∵y＝x2－5x＋6＝(x－)2－，∴该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

13. 解：(1)∵抛物线对称轴是直线x＝－1且经过点A(－3，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1，0)．设抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，即y＝a(x－1)(x＋3)，把B(0，3)代入得，3＝－3a，∴a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.　

(2)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∵A(－3，0)，B(0，3)，∴∴直线AB的表达式为y＝x＋3，作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M，设P(x，－x2－2x＋3)，则M(x，x＋3)，∴PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，∴S＝(－x2－3x)×3＝－(x＋)2＋.当x＝－时，S最大＝，y＝－(－)2－2×(－)＋3＝，∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为(－，).

14. 解：(1)∵二次函数y＝ax2的图象过点(2，1)，即1＝4a，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2.　

(2)①证明：当m＝时，解得∴A(－2，1)，B(8，16)．分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，∴AC＝1，OC＝2，OD＝8，BD＝16.∴AO＝，BO＝8，AB＝＝5.∴AO2＋BO2＝AB2.∴△AOB为直角三角形．②当m≠时，△AOB为直角三角形．　

(3)答案不唯一，如：一次函数y＝mx＋4的图象与二次函数y＝x2的图象的交点为A，B，则△AOB恒为直角三角形．