专题14 图形认识初步、平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）

专题14 图形认识初步、平行线与相交线 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）

一、单选题

1．（2022·益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

3．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18

4．（2022·郴州）如图，直线 ，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线 的是（　　） 

A． B．

C． D．

5．（2022·岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

6．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（　　）

A．对顶角相等

B．平行四边形的对角线互相垂直

C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点

D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形

7．（2022·岳阳）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱

8．（2022·长沙）如图，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

9．（2022·湘潭）在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°

10．（2022·娄底）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2022·益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝　     　°．

12．（2022·湘西）1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　     　．

13．（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有　     　（填结论对应的序号）.

14．（2022·常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是　     　.

15．（2022·邵阳）如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则　     　.

16．（2022·株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为　           　丈.

17．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若 ， ，则 的度数是　     　. 

18．（2021·永州）如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　         　.

19．（2021·南县）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝　     　度.

20．（2021·张家界）如图，已知 ， 是 的平分线，若 ，则 　     　. 

三、解答题

21．（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上， .求证： . 

22．（2021·渌口模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD//AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长.

23．（2021·蒸湘模拟）如图，在 中，  、  为  上两点，  .求证：  . 

24．（2022·益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可知长为6的线段围成的等腰三角形的腰长为a，则底边长为6-2a，
∴
解之：
∴图中a的值可以是2.
故答案为：B.
【分析】由题意可知长为6的线段围成的等腰三角形的腰长为a，则底边长为6-2a，利用三角形的三边关系定理及三角形的边长为正数，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围，对照各选项，可得到可能的a的值，

2．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°−50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°−50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

3．【答案】B

【解析】【解答】解：∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG，∠ACG=90° ，利用线段中点的定义可证得BM=CM；再利用ASA证明△BMH≌△CMG，利用全等三角形的性质可得到HM=MG，BH=CG；再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小值就是14+GH；然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出GH的长，即可求解.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：A、当 时， ，故选项A不符合题意；

B、当 时， ，故选项B不符合题意；

C、当 时， ，故选项C符合题意；

D、∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，故D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，据此一一判断即可得出答案.

5．【答案】C

【解析】【解答】解：在中，，，

则，

∵，

∴.

故答案为：C.

 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CED=90°-∠C=50°，根据平行线的性质可得∠1=∠CED，据此解答.

6．【答案】A

【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；

C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；

D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.

7．【答案】C

【解析】【解答】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；

B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；

C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；

D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据常见立体图形的底面和侧面确定出圆柱、圆锥、三棱柱、四棱柱的底面与侧面展开图，即可得出答案.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：如图，设交于点，

，，

故答案为：C.

【分析】设AE、CE交于点G，根据平行线的性质可得∠DGE=∠BAE，∠DCF=∠DGE，据此解答.

9．【答案】C

【解析】【解答】解：∵∠B=180°-∠BAC-∠ACB
=180°-40°-80°
=60°，
∵▱ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°.
故答案为：C.

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，由平行四边形的性质得出AB∥CD，然后由平行线的性质求∠BCD的度数即可.

10．【答案】C

【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，

故答案为：C.

【分析】由题意可得AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠BCD=∠1=80°，然后根据邻补角的性质进行计算.

11．【答案】90

【解析】【解答】解：如图，

∵公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，
∴∠APC=34°，∠BPC=56°，
∴∠APB=34°+56°=90°.
故答案为：90.
【分析】利用方位角的定义，结合已知条件：公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，可求出∠APB的度数.

12．【答案】40°

【解析】【解答】解：如图，

∵AC⊥BC，
∴∠2+∠3=90°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=90°-50°=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用垂直的定义可证得∠2+∠3=90°，利用平行线的性质可得到∠3的度数，即可求出∠2的度数.

13．【答案】①②③

【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转角度得到AD'

∴，

∴

即

∴

∵

得：（SAS）

故①对

∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形

∴

故②对

∴

即AD最小时最小

当AD⊥BC时，AD最小

由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点

故③对

故答案为：①②③.

【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.

14．【答案】月

【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.

故答案为：月.

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

15．【答案】110º

【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=120º，

∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，

∵四边形ODEF是平行四边形，

∴OF∥DE，

∴∠2+∠ABE=180º，

即∠2+30º+40º=180º，

∴∠2=110º.

故答案为：110º.

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠C=30°，根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠2+∠ABC+∠1=180º，据此计算.

16．【答案】（）

【解析】【解答】解：如图，

设⊙与AD边的切点为点C，连接OC，

则（丈），，

由正方形的性质知，对角线AB平分，

∴，

∴（丈），

∴（丈），

∴（丈）.

故答案为：（）.

【分析】设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，则OC=2丈，OC⊥AD，根据正方形的性质可得∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，则∠OAC=45°，根据三角函数的概念可得AO，由AN=ON+AO可得AN，然后根据BN=AB-AN进行计算.

17．【答案】40°

【解析】【解答】解：如图所示：

∵ ，

由折叠的性质可得 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形，

∴ ；

故答案为：40°.

 【分析】由折叠的性质可得 ，由平行线的性质可得，利用三角形外角的性质可得，证明四边形 是平行四边形，可得.

18．【答案】（2，0）

【解析】【解答】解：如图，连接AB交x轴于点P'，

根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求，

设直线AB的关系式为：y＝kx+b，

，

解得 ，

∴y＝ ，

当y＝0时，x＝2，

∴P'（2，0），

故答案为：（2，0）.

【分析】连接AB交x轴于点P'，此时PA+PB最小，利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后令y=0，求出x的值，据此可得点P的坐标.

19．【答案】60

【解析】【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，

∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，

∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，

∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，

∴∠BOC＝60°，

∴∠AOD＝∠BOC＝60°，

故答案为：60.

【分析】由角平分线的概念可得∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，则∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据平角的概念可得∠BOC的度数，据此解答.

20．【答案】58°

【解析】【解答】解：∵∠BDC和∠2是对顶角

∴∠BDC=

∵

∴∠BDC+∠ABD=180°，即∠ABD=116°

∵ 是 的平分线

∴∠3=∠1= ∠ABD=58°.

故填：58°.

 【分析】由对顶角相等可得∠BDC= ，利用平行线的性质可求出∠ABD=116°，根据角平分线的定义可得∠3=∠1= ∠ABD=58°.

21．【答案】证明：点A，B，C，D，E在一条直线上

∵

∴

在 与 中

∴

【解析】【分析】 根据平行线的性质得出 根据ASA可证△ABC≌△DEF.

22．【答案】解：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AB∥CD，

∴∠D＝∠ABD，

∴∠D＝∠CBD，

∴BC＝CD，

∵BC＝4，

∴CD＝4，

∵AB∥CD，

∴△ABE∽△CDE，

∴ ，

∴ ，

∴AE＝2CE，

∵AC＝6＝AE＋CE，

∴AE＝4.

【解析】【分析】 由平行线的性质和角平分线的定义得△BCD为等腰直角三角形，则可求出CD的长，然后由AB∥CD， 得△ABE∽△CDE， 列出比例式求出AE＝2CE，根据AC=6构建方程求解即可.

23．【答案】证明：  四边形  平行四边形， 

，   ，

.

在   与   中，

，

，

，

.

【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，进一步得出∠ADE=∠CBF，利用“SAS”定理证明出△ADE≌△CBF，即得∠AED=∠CFB，再由内错角相等，两直线平行即可证明结论成立.

24．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，

∴∠DEC＝∠B＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠A＝∠DCE，

在△CED和△ABC中，

，

∴△CED≌△ABC（ASA）．

【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠DEC＝∠B，利用平行线的性质可推出∠A＝∠DCE；然后利用ASA可证得结论