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2023年中考数学一轮复习 专题16 四边形 专题训练（湖南省专用）(解析版)
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这是一份2023年中考数学一轮复习 专题16 四边形 专题训练（湖南省专用）(解析版)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题16 四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
2．（2022·湘西）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4 B．43 C．8 D．83
3．（2022·常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
4．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
5．（2022·长沙）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
6．（2022·怀化）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
7．（2022·怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（2022·湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）
A．2 B．32 C．12 D．55
9．（2022·株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形
C．BC=12AE D．BE=CE
10．（2022·衡阳）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
二、填空题
11．（2022·邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1=40°，则∠2= .
12．（2022·娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
13．（2022·邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 cm2.
14．（2022·常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 .
15．（2022·长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为 .
16．（2022·娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）
17．（2022·株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为 .
18．（2022·株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
19．（2022·株洲）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO= 度.
20．（2022·怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ .
三、综合题
21．（2022·郴州）如图1，在矩形ABCD中， AB=4 ， BC=6 .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 EF⊥CE ，交AB于点F.
（1）求证： △AEF∽△DCE ；
（2）如图2，连接CF，过点B作 BG⊥CF ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 AG+GM 的最小值；
②当 AG+GM 取最小值时，求线段DE的长.
22．（2022·衡阳）如图，在菱形 ABCD 中， AB=4 ， ∠BAD=60° ，点 P 从点 A 出发，沿线段 AD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q ，作 PM⊥AD 交直线 AB 于点 M ，交直线 BC 于点 F ，设 △PQM 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为 S （平方单位），点 P 运动时间为 t （秒）.
（1）当点 M 与点 B 重合时，求 t 的值；
（2）当 t 为何值时， △APQ 与 △BMF 全等；
（3）求 S 与 t 的函数关系式；
（4）以线段 PQ 为边，在 PQ 右侧作等边三角形 PQE ，当 2≤t≤4 时，求点 E 运动路径的长.
23．（2022·岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形.
24．（2022·娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G=θ.
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值.
（2）当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由.
25．（2022·常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
26．（2022·长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长.
27．（2022·永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠ADB=∠ ▲ .（两线平行，内错角相等）.
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠DBC
∴∠EDB=∠DBF.
∴DE∥ ▲ （ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据），
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴点O是BD的中点
∴BD=2OH=2×4=8，OD=OH=4；
∵ 菱形ABCD的面积为323，
∴S菱形ABCD=12AC·BD=323=12AC×8
解之：AC=83
∴OC=12AC=43
在Rt△COD中
CD=OC2+OD2=42+432=8.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠BHD=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BD，OD的长；再利用菱形的面积公式求出AC的长，即可得到OC的长；然后利用勾股定理求出CD的长.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∠B=∠MCGBM=CM∠BMH=∠CMG
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG，∠ACG=90° ，利用线段中点的定义可证得BM=CM；再利用ASA证明△BMH≌△CMG，利用全等三角形的性质可得到HM=MG，BH=CG；再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小值就是14+GH；然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出GH的长，即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠AOB=128°，
则∠P=360°-90°-90°-128°=52°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此可判断A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断D.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7.
故答案为：A.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，结合题意可得关于n的一元一次方程，求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设直角对角线的两条直角边为a、b，且a>b，
∴小正方形的边长=a-b，
∴a-b2=1，12ab=1，
∴a-b2=12ab，
∴2a2-5ab+2b2=0，
∴(a-2b)(2a-b)=0，
∴ab=2或ab=12（舍去），
∴tanα＝ab=2.
故答案为：A.
【分析】设直角对角线的两条直角边为a、b，且a>b，根据小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，得出a-b2=12ab，然后解方程得出ab=2，再根据正切的定义求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥DB，AO=OC，
∴∠AOB=90°，
∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AOB=90°，
∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；
∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，
∴Rt△ACE∼Rt△AOB，
∴OBCE=ABAE=OAAC=12，
∴OB=12CE，AB=12AE，故A选项正确；
∴BC为Rt△ACE斜边上的中线，
∴BC=12AE，故C选项正确；
现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，由平行线的性质可得∠ACE=∠AOB=90°，据此判断B；易证△ACE∽△AOB，根据相似三角形的性质可判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断C.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，此命题是真命题，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此命题是真命题，故B不符合题意；
C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故C符合题意；
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，此命题是真命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的判定定理，可对A作出判断；利用菱形的判定定理，可对B作出判断利用正方形的判定定理，可对C，D作出判断.
11．【答案】110º
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=120º，
∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，
∴∠2+∠ABE=180º，
即∠2+30º+40º=180º，
∴∠2=110º.
故答案为：110º.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠C=30°，根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠2+∠ABC+∠1=180º，据此计算.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
13．【答案】48
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=6cm，AC=10cm，
∴在Rt△ABC中，AB=102-62=8(cm)，
∴S矩形ABCD=AB×BC=8×6=48(cm2).
故答案为：48.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
14．【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5-2)×180°+3×180°+(4-2)×180°×5+(n-2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可得：10张纸片，需剪9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，根据每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°列出关于n的方程，求解即可.
15．【答案】7
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，
∵ A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵ D为OC的中点，
∴OD=DC，
∴四边形AOBC是菱形，
∴BC=AO=7.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
16．【答案】0.618
【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，
则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx-y≈0.382xx-0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案为：0.618.
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝x-y，易得四边形EFGM是矩形，EG＝MF＝y，根据DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根据EGDE=yx-y进行解答.
17．【答案】3
【解析】【解答】解：设BC交x轴于E，如图，
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE=m，CE=n，
∵矩形DOEC的面积是3，
∴mn=3，
∵C在反比例函数y=kx的图象上，
∴n=km，即k=mn，
∴k=3.
故答案为：3.
【分析】设BC交x轴于E，根据矩形的对称性可得矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则OE=m，CE=n，根据矩形的面积公式可得mn=3，根据点C在反比例函数图象上可得mn=k，据此可得k的值.
18．【答案】（8-22）
【解析】【解答】解：如图，
设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，
则OC=2（丈），OC⊥AD，
由正方形的性质知∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，
∴∠OAC=12∠EAD=45°，
∴AO=OCsin∠OAC=2sin45°=2×22=22（丈），
∴AN=ON+AO=2+22（丈），
∴BN=AB-AN=10-(2+22)=8-22（丈）.
故答案为：（8-22）.
【分析】设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，则OC=2丈，OC⊥AD，根据正方形的性质可得∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，则∠OAC=45°，根据三角函数的概念可得AO，由AN=ON+AO可得AN，然后根据BN=AB-AN进行计算.
19．【答案】48
【解析】【解答】解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角
∴∠EAO=360°5=72°
在△AEO中：
∠AEO=180°-∠EAO-∠MON=180°-72°-60°=48°
故答案为：48.
【分析】根据外角和定理可得∠EAO=360°5=72°，然后根据内角和定理进行计算.
20．【答案】8
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为中位线，
∴DE∥BC，DEBC=12
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=8
故答案为：8.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DEBC=12，DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
21．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90° ，
∴∠CED+∠DCE=90° .
∵EF⊥CE ，
∴∠CED+∠AEF=90° ，
∴∠DCE=∠AEF ，
∴△AEF∽△DCE
（2）解：①解：如图2-1，连接AM.
∵BG⊥CF ，
∴△BGC 是直角二角形.
∴BM=CM=GM=12BC=3 .
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： AG+GM>AM ，
当A，G，M三点共线时， AG+GM=AM .
此时， AG+GM 取最小值.在 Rt△ABM 中， AM=AB2+BM2=5 .
∴AG+GM 的最小值为5.
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 MN∥AB 交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF .
∴MNBF=CMCB=12 .
设 AF=x ，则 BF=4-x ，
∴MN=12BF=12(4-x) .
∵MN∥AB ，
∴△AFG∽△MNG ，
∴AFMN=AGGM ，
由①知 AG+GM 的最小值为5、即 AM=5 ，
又∵GM=3 ，
∴AG=2 .
∴x12(4-x)=23 ，解得 x=1 ，即 F=1 .
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 GH∥AB 交BC于点H.
∴△MHG∽△MBA .
∴GMAM=GHAB=MHMB ，
由①知 AG+GM 的最小值为5，即 AM=5 ，
又∵GM=3 ，
∴35=GH4=MH3 .
∴GH=125 ， MH=95 .
由 GH∥AB 得 △CHG∽△CBF ，
∴GHFB=CHCB ，即 125FB=3+956 ，
解得 FB=3 .
∴AF=AB-FB=1 .
由（1）的结论可得 AFDE=AEDC .
设 DE=y ，则 AE=6-y ，
∴1y=6-y4 ，
解得 y=3+5 或 3-5 .
∵0<3+5<6 ， 0<3-5<6 ，
∴DE=3+5 或 DE=3-5 .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，根据同角的余角相等可得∠DCE=∠AEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①连接AM，易得△BGC是直角二角形，由直角三角形斜边上中线性质得BM=CM=GM=3，推出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，故当A，G，M三点共线时，AG+GM=AM，此时AG+GM最小，利用勾股定理求解即可；
②过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，设AF=x，则BF=4-x，根据相似三角形的性质可得MN=12BF=12(4-x)，证明△AFG∽△MNG，由①知AG+GM的最小值为5，即AM=5，则AG=2，根据相似三角形的性质可得x的值，由（1）的结论可得AFDE=AEDC，设DE=y，则AE=6-y，根据相似三角形的性质可得y的值，据此解答.
22．【答案】（1）解： M 与 B 重合时，
∵∠A=60° ，
∴PA=12AB=2 ，
∴t=2 .
（2）解：①当 0≤t≤2 时，
∵AM=2t ，∴BM=4-2t ，
∵△APQ≌△BMF ，∴AP=BM ，
∴t=4-2t ，∴t=43 .
②当 2
∵△APQ≌△BMF ，∴AP=BM ，
∴t=2t-4 ，∴t=4 .
∴t=4 或 t=43 .
（3）解：①当 0≤t≤2 时，
PQ=32t ，∴MQ=32t ，
∴S=S△PQM=338t2 .
②当 2
∵BF=t-2 ， MF=3(t-2) ，
∴S△BFM=32(t-2)2 ，
∴S=S△PQM-S△BFM=-38t2+23t-23 ，
∴S=338t2，0≤t≤2-38t2+23t-23，2
∵△PQE 为正三角形，∴PE=32t ，
在 Rt△APE 中， tan∠PAE=PEPA=32tt=32 ，
∴∠PAE 为定值.
∴E 的运动轨迹为直线，
AE=AP2+PE2=72t ，
当 t=2 时 AE=7 ，
当 t=4 时 AE=27 ，
∴E 的运动路径长为 27-7=7
【解析】【分析】（1）当点M与点B重合时，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PA的长，即可得到t的值.
（2）分情况讨论：当0≤t≤2时，利用点的运动方向和速度，可表示出AM，BM的长，利用全等三角形的对应边相等，可证得AP=BM，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当2＜t≤4时，可表示出AM，BM的长，利用全等三角形的对应边相等，可得到AP=AM，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
（3）当0≤t≤2时，利用解直角三角形表示出PQ，MQ的长，再利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式；当2＜t≤4时，利用解直角三角形可表示出BF，MF的长；利用三角形的面积公式可得到S与t之间的函数解析式；综上所述可得到S与t的函数解析式.
（4）连接AE，利用等边三角形的性质及解直角三角形表示出PE的长，在Rt△APE中利用解直角三角形可得到∠PAE的正切值，可得到∠PAE是定值；从而可得到点E的运动轨迹是直线，利用勾股定理表示出AE的长；再分别求出当t=2和t=4时的AE的长.
23．【答案】（1）①
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠1=∠2∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴▱ABCD为菱形.
【解析】【解答】解：（1）添加的条件是∠1=∠2.
故答案为：①；
【分析】（1）根据菱形的判定定理进行解答；
（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，利用AAS证明△ADE≌△CDF，得到AD=CD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.
24．【答案】（1）证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），
∴点G、B、E共线，
∴FC∥BG，FC=BC=BE ，
∴FC∥BE，FC=BE ，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴EF与BC相互平分，
即：无论θ为何值，EF与BC相互平分；
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形BCDE和菱形BCFG，
∴GF=BG=BF=BE ，
∴△GFB 为等边三角形，
∴∠G=θ=60°；
（2）解：如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵EF垂直平分AC
∴AF=FC，AO=CO，∠AHO=90° ，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，
∴∠BAC=90°，AO=BO=CO ，
∴∠OBA=∠OAB ，
∵∠OAB+∠OAC=∠AOH+∠OAC=90° ，
∴∠AOH=∠OAB=∠OBA ，
在△AOF和△COF 中，
AF=CFAO=COFO=FO ，
∴△AOF≌△COF ，
∴∠FAO=∠FCO ，
∵θ=90°，菱形BCFG，
∴四边形BCFG为正方形，
∴∠FCO=90°，FC=BC ，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
设FC=BC=x，则AF=CF=x ，AO=OC=12BC=12x ，
在Rt△FAO 中，
tan∠FOA=AFAO=x12x=2，
∵∠AOH=∠OBA，
∴tan∠ABC=tan∠FOA=2.
【解析】【分析】（1）连接BF、CE，根据菱形的性质可得FC∥BG，FC=BC=BE，推出四边形BFCE是平行四边形，得到EF与BC相互平分，结合EF⊥BC可得四边形BFCE是菱形，则BE=BF，进而推出△GFB为等边三角形，据此解答；
（2）连接AF、AO，设EF与AC交于点H，根据垂直平分线的性质可得AF=FG，AO=CO，∠AHO=90°，由（1）知：O为BC的中点，则动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠OAB，推出∠AOH=∠OAB=∠OBA，证明△AOF≌△COF，得到∠FAO=∠FCO，易得四边形BCFG为正方形，则∠FCO=90°，FC=BC，设FC=BC=x，则AF=CF=x，AO=OC=12x，根据∠AOH=∠OBA结合三角函数的概念进行计算.
25．【答案】（1）证明：①证明过程：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠DAF=45°
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AB=BF
∵BE=FC
∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD
∵AG=AG
∴△ADG≌△AEG
∴GE=GD
②证明：连接BG，CG，
∵ G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC
∴BG=AG=FG
∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，
∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG
∴△ADG≌△BCG
∴∠ADG=∠BCG
∵△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∴∠E=∠BCG
∵∠BOE=∠GOC
∴△BOE∽△GOC
∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示
∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC
由（1）同理可证：△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADM=∠DMC=90°
∴BC∥GN∥AD
∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN
∴DG=MG，
∴∠GDM=∠GMD，
∴∠ADG=∠BMG=∠E
∵∠BOE=∠GOM
∴△BOE∽△GOM
∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠DAF=45°，推出△ABF为等腰直角三角形，得到AB=BF，结合BE=FC以及线段的和差关系可得AE=BC=AD，证明△ADG≌△AEG，据此可得结论；
②连接BG，CG， 根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，则BG=AG=FG，根据等腰直角三角形的性质得∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG，证明△ADG≌△BCG，得到∠ADG=∠BCG，由（1）知∠E=∠ADG，进而推出∠E=∠BCG，证明△BOE∽△GOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，同（1）可证△ADG≌△AEG，得到∠E=∠ADG，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠ADM=∠DMC=90°，推出BC∥GN∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得DN=MN，则DG=MG，由等腰三角形的性质可得∠GDM=∠GMD，证明△BOE∽△GOM，然后根据相似三角形的性质进行证明.
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=12OD，
∵EF=32，
∴OD=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OD=6，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，
∴AD=AO2+OD2=22+32=13，
∴菱形形ABCD的周长为413.
【解析】【分析】（1）由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直可得结论；
（2）易得EF为△AOD的中位线，则EF=12OD，结合EF的值可得OD的值，根据菱形的性质可得BD，利用勾股定理求出AD，据此不难求出菱形ABCD的周长.
27．【答案】（1）解：（1）如图，
DE就是所求作的图形.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠ADB=∠DBC.（两线平行，内错角相等）.
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠DBC
∴∠EDB=∠DBF.
∴DE∥BF（内错角相等，两线平行）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
【解析】【分析】（1）此题的作法正确，画出图形即可.
（2）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠ADB=∠DBC，利用角平分线的定义去证明∠EDB=∠DBF，利用内错角相等，两直线平行，可证得DE∥BF；然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论
专题16 四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
2．（2022·湘西）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4 B．43 C．8 D．83
3．（2022·常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
4．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
5．（2022·长沙）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
6．（2022·怀化）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
7．（2022·怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（2022·湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）
A．2 B．32 C．12 D．55
9．（2022·株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形
C．BC=12AE D．BE=CE
10．（2022·衡阳）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
二、填空题
11．（2022·邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1=40°，则∠2= .
12．（2022·娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
13．（2022·邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 cm2.
14．（2022·常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 .
15．（2022·长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为 .
16．（2022·娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）
17．（2022·株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为 .
18．（2022·株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
19．（2022·株洲）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO= 度.
20．（2022·怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ .
三、综合题
21．（2022·郴州）如图1，在矩形ABCD中， AB=4 ， BC=6 .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 EF⊥CE ，交AB于点F.
（1）求证： △AEF∽△DCE ；
（2）如图2，连接CF，过点B作 BG⊥CF ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 AG+GM 的最小值；
②当 AG+GM 取最小值时，求线段DE的长.
22．（2022·衡阳）如图，在菱形 ABCD 中， AB=4 ， ∠BAD=60° ，点 P 从点 A 出发，沿线段 AD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q ，作 PM⊥AD 交直线 AB 于点 M ，交直线 BC 于点 F ，设 △PQM 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积为 S （平方单位），点 P 运动时间为 t （秒）.
（1）当点 M 与点 B 重合时，求 t 的值；
（2）当 t 为何值时， △APQ 与 △BMF 全等；
（3）求 S 与 t 的函数关系式；
（4）以线段 PQ 为边，在 PQ 右侧作等边三角形 PQE ，当 2≤t≤4 时，求点 E 运动路径的长.
23．（2022·岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形.
24．（2022·娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G=θ.
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值.
（2）当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由.
25．（2022·常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
26．（2022·长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长.
27．（2022·永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠ADB=∠ ▲ .（两线平行，内错角相等）.
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠DBC
∴∠EDB=∠DBF.
∴DE∥ ▲ （ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据），
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴点O是BD的中点
∴BD=2OH=2×4=8，OD=OH=4；
∵ 菱形ABCD的面积为323，
∴S菱形ABCD=12AC·BD=323=12AC×8
解之：AC=83
∴OC=12AC=43
在Rt△COD中
CD=OC2+OD2=42+432=8.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠BHD=90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BD，OD的长；再利用菱形的面积公式求出AC的长，即可得到OC的长；然后利用勾股定理求出CD的长.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∠B=∠MCGBM=CM∠BMH=∠CMG
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG，∠ACG=90° ，利用线段中点的定义可证得BM=CM；再利用ASA证明△BMH≌△CMG，利用全等三角形的性质可得到HM=MG，BH=CG；再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小值就是14+GH；然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出GH的长，即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠AOB=128°，
则∠P=360°-90°-90°-128°=52°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此可判断A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断D.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7.
故答案为：A.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，结合题意可得关于n的一元一次方程，求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设直角对角线的两条直角边为a、b，且a>b，
∴小正方形的边长=a-b，
∴a-b2=1，12ab=1，
∴a-b2=12ab，
∴2a2-5ab+2b2=0，
∴(a-2b)(2a-b)=0，
∴ab=2或ab=12（舍去），
∴tanα＝ab=2.
故答案为：A.
【分析】设直角对角线的两条直角边为a、b，且a>b，根据小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，得出a-b2=12ab，然后解方程得出ab=2，再根据正切的定义求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥DB，AO=OC，
∴∠AOB=90°，
∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AOB=90°，
∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；
∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，
∴Rt△ACE∼Rt△AOB，
∴OBCE=ABAE=OAAC=12，
∴OB=12CE，AB=12AE，故A选项正确；
∴BC为Rt△ACE斜边上的中线，
∴BC=12AE，故C选项正确；
现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，由平行线的性质可得∠ACE=∠AOB=90°，据此判断B；易证△ACE∽△AOB，根据相似三角形的性质可判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断C.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，此命题是真命题，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此命题是真命题，故B不符合题意；
C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故C符合题意；
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，此命题是真命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的判定定理，可对A作出判断；利用菱形的判定定理，可对B作出判断利用正方形的判定定理，可对C，D作出判断.
11．【答案】110º
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=120º，
∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，
∴∠2+∠ABE=180º，
即∠2+30º+40º=180º，
∴∠2=110º.
故答案为：110º.
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠C=30°，根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得∠2+∠ABC+∠1=180º，据此计算.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
13．【答案】48
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，BC=6cm，AC=10cm，
∴在Rt△ABC中，AB=102-62=8(cm)，
∴S矩形ABCD=AB×BC=8×6=48(cm2).
故答案为：48.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
14．【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5-2)×180°+3×180°+(4-2)×180°×5+(n-2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可得：10张纸片，需剪9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，根据每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°列出关于n的方程，求解即可.
15．【答案】7
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，
∵ A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵ D为OC的中点，
∴OD=DC，
∴四边形AOBC是菱形，
∴BC=AO=7.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
16．【答案】0.618
【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，
则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx-y≈0.382xx-0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案为：0.618.
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝x-y，易得四边形EFGM是矩形，EG＝MF＝y，根据DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根据EGDE=yx-y进行解答.
17．【答案】3
【解析】【解答】解：设BC交x轴于E，如图，
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE=m，CE=n，
∵矩形DOEC的面积是3，
∴mn=3，
∵C在反比例函数y=kx的图象上，
∴n=km，即k=mn，
∴k=3.
故答案为：3.
【分析】设BC交x轴于E，根据矩形的对称性可得矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则OE=m，CE=n，根据矩形的面积公式可得mn=3，根据点C在反比例函数图象上可得mn=k，据此可得k的值.
18．【答案】（8-22）
【解析】【解答】解：如图，
设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，
则OC=2（丈），OC⊥AD，
由正方形的性质知∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，
∴∠OAC=12∠EAD=45°，
∴AO=OCsin∠OAC=2sin45°=2×22=22（丈），
∴AN=ON+AO=2+22（丈），
∴BN=AB-AN=10-(2+22)=8-22（丈）.
故答案为：（8-22）.
【分析】设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，则OC=2丈，OC⊥AD，根据正方形的性质可得∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，则∠OAC=45°，根据三角函数的概念可得AO，由AN=ON+AO可得AN，然后根据BN=AB-AN进行计算.
19．【答案】48
【解析】【解答】解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角
∴∠EAO=360°5=72°
在△AEO中：
∠AEO=180°-∠EAO-∠MON=180°-72°-60°=48°
故答案为：48.
【分析】根据外角和定理可得∠EAO=360°5=72°，然后根据内角和定理进行计算.
20．【答案】8
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为中位线，
∴DE∥BC，DEBC=12
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=8
故答案为：8.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DEBC=12，DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
21．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90° ，
∴∠CED+∠DCE=90° .
∵EF⊥CE ，
∴∠CED+∠AEF=90° ，
∴∠DCE=∠AEF ，
∴△AEF∽△DCE
（2）解：①解：如图2-1，连接AM.
∵BG⊥CF ，
∴△BGC 是直角二角形.
∴BM=CM=GM=12BC=3 .
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： AG+GM>AM ，
当A，G，M三点共线时， AG+GM=AM .
此时， AG+GM 取最小值.在 Rt△ABM 中， AM=AB2+BM2=5 .
∴AG+GM 的最小值为5.
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 MN∥AB 交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF .
∴MNBF=CMCB=12 .
设 AF=x ，则 BF=4-x ，
∴MN=12BF=12(4-x) .
∵MN∥AB ，
∴△AFG∽△MNG ，
∴AFMN=AGGM ，
由①知 AG+GM 的最小值为5、即 AM=5 ，
又∵GM=3 ，
∴AG=2 .
∴x12(4-x)=23 ，解得 x=1 ，即 F=1 .
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 GH∥AB 交BC于点H.
∴△MHG∽△MBA .
∴GMAM=GHAB=MHMB ，
由①知 AG+GM 的最小值为5，即 AM=5 ，
又∵GM=3 ，
∴35=GH4=MH3 .
∴GH=125 ， MH=95 .
由 GH∥AB 得 △CHG∽△CBF ，
∴GHFB=CHCB ，即 125FB=3+956 ，
解得 FB=3 .
∴AF=AB-FB=1 .
由（1）的结论可得 AFDE=AEDC .
设 DE=y ，则 AE=6-y ，
∴1y=6-y4 ，
解得 y=3+5 或 3-5 .
∵0<3+5<6 ， 0<3-5<6 ，
∴DE=3+5 或 DE=3-5 .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，根据同角的余角相等可得∠DCE=∠AEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①连接AM，易得△BGC是直角二角形，由直角三角形斜边上中线性质得BM=CM=GM=3，推出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，故当A，G，M三点共线时，AG+GM=AM，此时AG+GM最小，利用勾股定理求解即可；
②过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，设AF=x，则BF=4-x，根据相似三角形的性质可得MN=12BF=12(4-x)，证明△AFG∽△MNG，由①知AG+GM的最小值为5，即AM=5，则AG=2，根据相似三角形的性质可得x的值，由（1）的结论可得AFDE=AEDC，设DE=y，则AE=6-y，根据相似三角形的性质可得y的值，据此解答.
22．【答案】（1）解： M 与 B 重合时，
∵∠A=60° ，
∴PA=12AB=2 ，
∴t=2 .
（2）解：①当 0≤t≤2 时，
∵AM=2t ，∴BM=4-2t ，
∵△APQ≌△BMF ，∴AP=BM ，
∴t=4-2t ，∴t=43 .
②当 2
∵△APQ≌△BMF ，∴AP=BM ，
∴t=2t-4 ，∴t=4 .
∴t=4 或 t=43 .
（3）解：①当 0≤t≤2 时，
PQ=32t ，∴MQ=32t ，
∴S=S△PQM=338t2 .
②当 2
∵BF=t-2 ， MF=3(t-2) ，
∴S△BFM=32(t-2)2 ，
∴S=S△PQM-S△BFM=-38t2+23t-23 ，
∴S=338t2，0≤t≤2-38t2+23t-23，2
∵△PQE 为正三角形，∴PE=32t ，
在 Rt△APE 中， tan∠PAE=PEPA=32tt=32 ，
∴∠PAE 为定值.
∴E 的运动轨迹为直线，
AE=AP2+PE2=72t ，
当 t=2 时 AE=7 ，
当 t=4 时 AE=27 ，
∴E 的运动路径长为 27-7=7
【解析】【分析】（1）当点M与点B重合时，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PA的长，即可得到t的值.
（2）分情况讨论：当0≤t≤2时，利用点的运动方向和速度，可表示出AM，BM的长，利用全等三角形的对应边相等，可证得AP=BM，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当2＜t≤4时，可表示出AM，BM的长，利用全等三角形的对应边相等，可得到AP=AM，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
（3）当0≤t≤2时，利用解直角三角形表示出PQ，MQ的长，再利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式；当2＜t≤4时，利用解直角三角形可表示出BF，MF的长；利用三角形的面积公式可得到S与t之间的函数解析式；综上所述可得到S与t的函数解析式.
（4）连接AE，利用等边三角形的性质及解直角三角形表示出PE的长，在Rt△APE中利用解直角三角形可得到∠PAE的正切值，可得到∠PAE是定值；从而可得到点E的运动轨迹是直线，利用勾股定理表示出AE的长；再分别求出当t=2和t=4时的AE的长.
23．【答案】（1）①
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠1=∠2∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴▱ABCD为菱形.
【解析】【解答】解：（1）添加的条件是∠1=∠2.
故答案为：①；
【分析】（1）根据菱形的判定定理进行解答；
（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，利用AAS证明△ADE≌△CDF，得到AD=CD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.
24．【答案】（1）证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），
∴点G、B、E共线，
∴FC∥BG，FC=BC=BE ，
∴FC∥BE，FC=BE ，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴EF与BC相互平分，
即：无论θ为何值，EF与BC相互平分；
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形BCDE和菱形BCFG，
∴GF=BG=BF=BE ，
∴△GFB 为等边三角形，
∴∠G=θ=60°；
（2）解：如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵EF垂直平分AC
∴AF=FC，AO=CO，∠AHO=90° ，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，
∴∠BAC=90°，AO=BO=CO ，
∴∠OBA=∠OAB ，
∵∠OAB+∠OAC=∠AOH+∠OAC=90° ，
∴∠AOH=∠OAB=∠OBA ，
在△AOF和△COF 中，
AF=CFAO=COFO=FO ，
∴△AOF≌△COF ，
∴∠FAO=∠FCO ，
∵θ=90°，菱形BCFG，
∴四边形BCFG为正方形，
∴∠FCO=90°，FC=BC ，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
设FC=BC=x，则AF=CF=x ，AO=OC=12BC=12x ，
在Rt△FAO 中，
tan∠FOA=AFAO=x12x=2，
∵∠AOH=∠OBA，
∴tan∠ABC=tan∠FOA=2.
【解析】【分析】（1）连接BF、CE，根据菱形的性质可得FC∥BG，FC=BC=BE，推出四边形BFCE是平行四边形，得到EF与BC相互平分，结合EF⊥BC可得四边形BFCE是菱形，则BE=BF，进而推出△GFB为等边三角形，据此解答；
（2）连接AF、AO，设EF与AC交于点H，根据垂直平分线的性质可得AF=FG，AO=CO，∠AHO=90°，由（1）知：O为BC的中点，则动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠OAB，推出∠AOH=∠OAB=∠OBA，证明△AOF≌△COF，得到∠FAO=∠FCO，易得四边形BCFG为正方形，则∠FCO=90°，FC=BC，设FC=BC=x，则AF=CF=x，AO=OC=12x，根据∠AOH=∠OBA结合三角函数的概念进行计算.
25．【答案】（1）证明：①证明过程：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠DAF=45°
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AB=BF
∵BE=FC
∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD
∵AG=AG
∴△ADG≌△AEG
∴GE=GD
②证明：连接BG，CG，
∵ G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC
∴BG=AG=FG
∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，
∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG
∴△ADG≌△BCG
∴∠ADG=∠BCG
∵△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∴∠E=∠BCG
∵∠BOE=∠GOC
∴△BOE∽△GOC
∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示
∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC
由（1）同理可证：△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADM=∠DMC=90°
∴BC∥GN∥AD
∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN
∴DG=MG，
∴∠GDM=∠GMD，
∴∠ADG=∠BMG=∠E
∵∠BOE=∠GOM
∴△BOE∽△GOM
∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠DAF=45°，推出△ABF为等腰直角三角形，得到AB=BF，结合BE=FC以及线段的和差关系可得AE=BC=AD，证明△ADG≌△AEG，据此可得结论；
②连接BG，CG， 根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，则BG=AG=FG，根据等腰直角三角形的性质得∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG，证明△ADG≌△BCG，得到∠ADG=∠BCG，由（1）知∠E=∠ADG，进而推出∠E=∠BCG，证明△BOE∽△GOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，同（1）可证△ADG≌△AEG，得到∠E=∠ADG，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠ADM=∠DMC=90°，推出BC∥GN∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得DN=MN，则DG=MG，由等腰三角形的性质可得∠GDM=∠GMD，证明△BOE∽△GOM，然后根据相似三角形的性质进行证明.
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=12OD，
∵EF=32，
∴OD=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OD=6，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，
∴AD=AO2+OD2=22+32=13，
∴菱形形ABCD的周长为413.
【解析】【分析】（1）由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直可得结论；
（2）易得EF为△AOD的中位线，则EF=12OD，结合EF的值可得OD的值，根据菱形的性质可得BD，利用勾股定理求出AD，据此不难求出菱形ABCD的周长.
27．【答案】（1）解：（1）如图，
DE就是所求作的图形.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠ADB=∠DBC.（两线平行，内错角相等）.
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠DBC
∴∠EDB=∠DBF.
∴DE∥BF（内错角相等，两线平行）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
【解析】【分析】（1）此题的作法正确，画出图形即可.
（2）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠ADB=∠DBC，利用角平分线的定义去证明∠EDB=∠DBF，利用内错角相等，两直线平行，可证得DE∥BF；然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论
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