2022-2023学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    中心对称图形的形状通常是匀称美观的，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形，下列图形中不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    我们知道，一元二次方程的一般形式为对于一元二次方程中的，，，确定正确的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.    如图，圆内接四边形的对角线，把它的个内角分成了个角，在结论，，，中，正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

4.    把抛物线得到抛物线．(    )

A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C. 向石平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度

5.    下列四个方程中，有两个相等的实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的为(    )

A.
B. 点
C.
D. 二次函数的最大值为

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.    已知是关于的一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解为______．
8.    若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______ 写出满足符合题意的一个数值即可．
9.    已知点与点关于原点对称，则______．
10. 已知二次函数，当时，随的增大而______．
11. 如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，若，则的度数为______．

12. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为______ ．
13. 如图，在上顺次取点，，，，连接，，，，若，，则的度数为______．

14. 如图，点的坐标为，点的坐标为，连接若将绕点逆时针旋转得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与轴相交于，两点，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    解方程：．
16. 本小题分
    已知抛物线．
    其开口方向为______．
    顶点坐标为______．
    当 ______时，随的增大而增大．
    最______填“大”或“小”为______．
17. 本小题分
    如图，在中，弦，于，，求的半径．

18. 本小题分
    某山村种的水稻年平均每公顷产 ，年平均每公顷产 ，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
19. 本小题分
    如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上．
    画出关于轴对称的．
    画出关于原点对称的．
    画出绕点顺时针旋转后的．
    的面积为______．

20. 本小题分
    如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，．
    旋转中心为______．
    点的对应点是______．
    求的度数．

21. 本小题分
    飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是．
    求飞机着陆后滑行多远才能停下来？
    下列图象能正确反映题中情景的是______填序号．
22. 本小题分
    用长为的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框．设窗框的宽为铝合金材料的宽度忽略不计，面积为．
    求窗框的面积为与窗框的宽之间的函数解析式．
    求当为何值时，面积最大？最大值是多少？

23. 本小题分
    如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
    求证：是的切线．
    若，，，则______，______．

24. 本小题分
    如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别，从两点同时出发，设运动的时间为单位：，的面积为单位：
    当时，______．
    求与的函数解析式，并写出的取值范围．
    的面积的最大值为______．

25. 本小题分
    某商品成本价为元瓶，当定价为元瓶时，每天可售出瓶．市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．设销售单价上涨元，每天的利润为元．
    每天的销售量为______瓶，每瓶的利润为______元用含的代数式表示．
    若日销售利润销达到元，求的值．
    每天的销售利润销能否达到元？若能，求出的值；若不能，说明理由．
26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在轴上，点的横坐标为．
    点坐标为______，点坐标为______．
    求此抛物线所对应的函数解析式．
    点是抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．
    若点在直线的上方，求关于的函数解析式；
    若点在轴的上方，当随的增大而增大时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项D中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：在一元二次方程中，
，，．
故选：．
根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：，所对的弧都是弧，
，故正确，符合题意；
，所对的弧都是弧，
，故正确，符合题意；
，所对的弧都是弧，
，故正确，符合题意；
，所对的弧都是弧．
，故正确，符合题意．
正确的有个，
故选：．
根据圆周角定理进行判断即可．
本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，因为点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，
所以把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用平移得到点的过程得到抛物线的平移过程．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B.，，，
，
方程有两个相等的实数根，选项B符合题意；
C.将原方程转化为一般式得，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.将原方程转化为一般式得，
，，，
，
方程没有实数根，选项D不符合题意．
故选：．
根据各选项中方程的系数，结合根的判别式，即可求出的值，取的选项即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，故选项A不符合题意；
抛物线过点，对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点为，故选项B不符合题意；
当时，，因此选项C符合题意；
当时，的值最大，选项D不符合题意；
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与轴、轴的交点以及过特殊点时相应的系数、、满足的关系进行综合判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数、、的关系是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入方程得，
解得，
则方程为，
设方程的另一个根为，
则，
解得，
故答案为：．
将代入方程求得，据此可得方程，再根据两根之和求解可得．
本题考查了根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，．
 

8.【答案】不唯一，只需要即可 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
取，
故答案为：，不唯一，只需要即可．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，在的范围内选一个即可．
本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，．
，
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

10.【答案】减小 

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
根据二次函数的性质解决此题．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象的特点是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：与圆相切，切点为，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由切线的性质可得，求出的度数，由等腰三角形的性质可得出答案．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染后患流感的人数是：，
第二轮传染后患流感的人数是：，
而已知经过两轮传染后共有人患了流感，则可得方程，
．
故答案是：．
先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
将绕点逆时针旋转得到，则，，
点，
点恰为抛物线的顶点，
，
令，则，
解得，，
，，
，
故答案为：．
根据旋转的性质求得的坐标，即可求得抛物线为，进而求得抛物线与轴的交点坐标，进一步即可求得的长．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴的交点，坐标与图形变化旋转，求得的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
 

16.【答案】向上      小   

【解析】解：，
抛物线开口向上；
故答案为：向上；
，
顶点坐标是：；
故答案为：；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大；
故答案为：；
当时，有最小值是．
故答案为：小，．
已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，进而得出最值．
本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，注意根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
 

17.【答案】解：如图，连接，

，，
，
在中，，
的半径为． 

【解析】连接，根据垂径定理得出，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：设水稻每公顷产量年平均增长率为，
依题意得，
解得：  舍去，
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为． 

【解析】根据增长后的产量增长前的产量增长率，设增长率是，则年的产量是据此即可列方程，解出即可．
此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出年的产量是，然后得出方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
 如图，即为所求；
的面积，
故答案为：．
先作出关于轴的对称点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形；
根据旋转的性质即可画出关于原点对称的；
根据旋转的性质即可画出绕点顺时针旋转后的；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

20.【答案】点  点 

【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转，得到，
旋转中心为点；
故答案为点；
绕直角顶点顺时针旋转，得到，
点的对应点是点；
故答案为：点；
绕直角顶点顺时针旋转，得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，
．
直接利用旋转的定义求解；
先根据旋转的性质得到，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 

21.【答案】 

【解析】解：

 
．
，
当时，飞机滑行的最远，最大值为，
飞机着陆后滑行米才能停下来；
当为最大值时，飞机停下来，
，
故答案为：．
直接由函数解析式得出答案即可；
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，也取得最大值，求得的取值范围即可．
此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
 

22.【答案】解：

．
窗框的面积为与窗框的宽之间的函数解析式为：．
由知，


．
，开口向下，
当时，面积 最大，最大值是． 

【解析】设窗框的一边宽为，则长为，再结合长方形面积公式可得出结论；
由得出的二次函数，再利用二次函数最值求法得出即可．
此题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键．
 

23.【答案】   

【解析】证明：连接，如图所示．
，
．
又，
．
，
．
，
．
即．
是的切线．

解：过点作于点，如图所示，
，
，
，，
，
在中，，
，，
∽，
，
．
∽，
，
，
．
故答案为：；．

连接，根据得，再根据，，从而得到，即，从而得证；
作，利用垂径定理与勾股定理求出的长，再证明∽，利用对应线段成比例求出，的长，从而得出答案．
本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质，利用垂径定理构造直角三角形，然后利用三角形相似求出有关线段的长是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：当时，，
，
故答案为：；
由题意得：，，
，
，
，
即与的函数解析式为；
，
当时，的面积有最大值为，
故答案为：．
当时，，即可得出结论；
由题意知，，则，再由三角形面积公式即可得出结论；
把中求得的解析式化成顶点式，种根据二次函数的性质即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了三角形面积公式、二次函数的应用等知识，熟练掌握三角形面积公式和二次函数的应用是解题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】   

【解析】解：每天的销售量为瓶，每瓶的利润为：元，
故答案为：，；
根据题意，得：，
解得：，，
答：的值为或；
每天的销售利润销不能达到元，理由如下：
根据题意，得：，
整理得：，
，
此方程没有实数解，
每天的销售利润销不能达到元．
由题意即可得出结论；
由日销售利润销达到元，列出一元二次方程，解方程即可；
由日销售利润销达到元，列出一元二次方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：当时，，故点的坐标为，
令，解得，故点的坐标为，
故答案为：，；

把，代入，得，
解得   
；

设：点，点，
则，
上式为点在直线上方的情况，当点在轴的上方且在点的右侧时，
令，解得或，
故抛物线和轴另外一个交点坐标，
，
由知，当时，，此时函数的对称轴为，
，故时，当随的增大而增大，
；
当时，，此时函数的对称轴为，
，故时，当随的增大而增大，
，
即或．
当时，，故点的坐标为，令，解得，即可求解；
用待定系数法即可求解；
，即可求解；列出函数表达式，利用函数的增减性求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数基本知识等，有一定的综合性，但难度不大．