吉林省吉林市昌邑区第九中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市昌邑区第九中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的值等于（ ）
A．B．C．1D．
2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B． C． D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．三角形中任意两边之和大于第三边B．太阳从东方升起
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯D．一个有理数的绝对值为负数
4．已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内B．点A在上C．点A在外D．不能确定
5．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过正方形的顶点，且点为抛物线的顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为点，则平移后抛物线的解析式为( )
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．抛物线的顶点坐标为
8．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
9．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为 ．
10．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 ．
11．已知中，，，，那么的长是 ．
12．如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点．则＝ °

13．一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为 ．
14．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过菱形OABC中心E点，则k的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：
16．已知反比例函数（为常数）．
(1)若函数图象经过点，求的值；
(2)若时，随的增大而减小，求的取值范围．
17．如图，半圆的圆心在上，分别与相切于点，半圆交于另一点．连接，求证：．
18．如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值．
四、解答题（每小题7分、共28分）
19．某人乘车从地去地．如图，地在地的正北方向，且距离地，但两地之间的道路维修无法通过．按导航指示，车辆沿正西方向行驶至地，再沿北偏东方向行驶到达地，求车辆绕行之后比沿段多行驶多少千米（结果精确到；参考数据）？
20．第二十四届冬雪大会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．有四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”，B．“高山滑雪”，C．“单板滑雪大跳台”，D．“钢架雪车”，（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为______；
(2)若从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率．
21．如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点均在格点上，请按要求画出格点四边形．
(1)在图①中画出一个以点为顶点的格点四边形，使其是中心对称图形．但不是轴对称图形；
(2)在图②中画出一个以点为顶点的格点四边形，使．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．轴，垂足为，过点作交轴于点，已知四边形的面积为12，点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求一次函数的解析式．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度，如图，他们在C处测得顶端A的仰角为，沿方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度．（结果精确到1m．参考数据：，，）

24．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，求的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在中，，，中线．点从点出发，以的速度沿边向终点运动．过点作交折线于点，以为边向右侧作菱形，使边在直线上．设菱形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．
(1)当点在边上时，菱形的边长为________．（用含的代数式表示）
(2)求点落在边上时的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴交点的坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)①当时，的取值范围是______；
②若时，，则的取值范围是______；
(3)当时，若函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为1，求的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
2．C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
3．C
【分析】根据在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件进行判断解答即可．
【详解】解：A、三角形中任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；
B、太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
D、一个有理数的绝对值为负数，是不可能事件，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件，解答的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
4．A
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．
【详解】解：∵圆的半径是，点A到圆心的距离是，小于圆的半径，
∴点A在内．
故选A．
【点睛】本题考查的是对点与圆的位置关系的判断．关键要记住：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
5．D
【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：由题意可得：
将绕点C顺时针旋转得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解．
【详解】解：当时，,故B点坐标为，
过点A作于D，
∵四边形是正方形，
∴上等腰直角三角形，
∴，
∴A点坐标为，
∵二次函数的图象经过正方形的顶点A，
∴,
解得，
∴A点坐标为，
∵平移后的抛物线顶点为点，
∴平移后抛物线的表达式为，
故选：B．
7．
【分析】利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出答案．
【详解】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键．
8．
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限．
9．
【分析】根据题意，画出图象，即可得出结果．
【详解】解：如图，
由图可知：．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与旋转．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
10．##
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程没有实数根结合根的判别式，得且，解得k的取值范围．
【详解】解：根据题意得，且
解得，．
故答案为：．
11．
【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可．
【详解】在中，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键．
12．60
【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵与所在的圆相切于点B，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60．
【点睛】此题重点考查切线的性质定理、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
13．60
【分析】本题考查了用样本估计总体．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．
【详解】解：∵摸到红球的频率依次是，
∴估计口袋中红色球的个数（个）．
故答案为：60．
14．8
【分析】根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.
【详解】解：菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，-4），OA=OC=则点B的横坐标为-5-3=-8，点B的坐标为（-8，-4），点C的坐标为（-5,0）则点E的坐标为（-4，-2），将点E的坐标带入y=（x＜0）中，得k=8.
给答案为：8.
【点睛】此题重点考查学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.
15．x1=7，x2=
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【详解】解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，
x-7=0或x+1=0；
解得：x1=7，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.
16．(1)2
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据增减性确定的符号，从而确定m的取值范围．
【详解】（1）∵函数图象经过点，
∴，
解得：，
∴m的值是2；
（2）∵若时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是
17．见解析
【分析】本题考查圆的切线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，连接，证明出或即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证明出结论
【详解】连接，
∵分别为的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
18．5，
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值．
【详解】在中，
,，

．
【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键．
19．车辆绕行之后比沿段多行驶5.4千米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意得到，，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：根据题意，得，，
在中， ，
∴，
∴，
∴（千米），
答：车辆绕行之后比沿段多行驶5.4千米．
20．(1)
(2)抽取的卡片中有“高山滑雪”的运动项目的概率为．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为，
（2）画树状图如下，
∵共12种等可能情况，抽取的卡片中有“高山滑雪”的运动项目的有6种结果，
∴抽取的卡片中有“高山滑雪”的运动项目的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．
（1）直接平行四边形的判定与性质画出图形即可；
（2）利用勾股定理进而得出符合题意的答案．
【详解】（1）如图所示：平行四边形即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）设点D的坐标为，证明四边形是平行四边形，利用面积公式列式计算即可求解；
（2）求得点D的坐标为，点E的坐标为，运用待定系数法即可求解
【详解】（1）设点D的坐标为，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵四边形是平行四边形，且
∴
令，
解得，，
∴点D的坐标为，
∵E点纵坐标为，则，
解得，，
∴点E的坐标为
将点，代入，得：
，
解得：，
所以，一次函数解析式为：
23．61.5m
【分析】先延长，交于点G，再设的长为x，最后表示出，,最后用正切定义列出方程即可求出的长，再求和即可得到的长．
【详解】如图，延长，交于点G

设
∵,
∴
∴
∵,
∴
∴
∴（此时分母不为0）
∵,,
∴四边形是矩形
∴
∴
故郑州博物馆（新馆）的高度为61.5m．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正切的定义，列解分式方程，关键是在直角三角形中，找到边与边之间的关系，并能正确运算．
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形变化—轴对称，正确求出A、B的坐标是解题的关键．
（1）先把A、B坐标代入反比例函数解析式求出A、B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时，自变量的取值范围即可得到答案；
（3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，
∴，
∴，
∴，，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，或时，一次函数图象在反比例函数图象下方或二者的交点处，
∴不等式的解集为或；
（3）解：∵，点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直角三角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可；
（2）根据题意可得，再证得是等边三角形，可得．从而得到，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当点在边上时，菱形的边长为；
故答案为∶
（2）解：如图，当点落在边上时，，
∵，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
解得．
（3）解：当时，如图，过点作于点．
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，点Q到达点C，此时，即，
当时，如图，
由（2）得：为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
当时，如图，过点Q作于点I，
由（2）得：是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴．
综上所述，关于的函数解析式为．
【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
26．(1)
(2)①②
(3)
【分析】本题考查待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，函数的最大（小）值等知识．
（1）用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为；
（2）①在时，求出y的最大，最小值即可得到答案；
②由时，，当时，，当时，，即可得；
（3）在中，令得，得或，故；
【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线，与y轴交点的坐标为，
∴，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）①∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴当时，取最小值，最小值为，
当时，y取最大值，最大值为，
∴当时，y的取值范围是；
故答案为：；
②由①知，时，，
当时，，
由对称性可知，时，，
∵时，，
∴；
故答案为：；
（3）如图：
在直线上方，到直线距离为1的点在直线上，
在中，令得，
解得或，
∵当时，函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为1，
∴，
解得：