2022-2023学年浙江省杭州市明珠实验中学等四校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市明珠实验中学等四校联考九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中的随机事件是(    )

A. 三角形中任意两边之和大于第三边 B. 正数大于负数
C. 从一副扑克牌里任意取一张是红桃 D. 一个有理数的绝对值为负数

2. 已知的半径为，，则点在(    )

A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定

3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 开口向下
B. 对称轴是直线 
C. 顶点坐标为
D. 当  时， 随 的增大而减小

4. 如图，内接于，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法不正确的是(    )

A. 过不在同一直线上的三点能确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 相等的弧所对的弦相等

7. 在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，，，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

9. 已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 无实根

10. 如图所示，半径为的的弦，，交于点，为上一点，连结，，，，有下列结论：；若，则；若，，，则其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 一个质地均匀的小正方体，个面分别标有数字，，，，，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是的概率是______．
12. 抛物线与轴的交点坐标为______．
13. 如果扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长是______，面积是______．
14. 如图，是半圆的直径，，则______．

15. 已知二次函数，当时最大值为，则的值为______．
16. 如图，正方形和等边都内接于圆，与，别相交于点，若，则的半径长为______；的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    根据二次函数图象，解决下列问题：
    求函数解析式；
    当满足什么条件时，随着的增大而减小？

18. 本小题分
    如图，点，，，是上的点，，求证：．

19. 本小题分
    为庆祝建党周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取张，按照卡片上的曲目演唱．
    七年一班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为______；
    七年一班从张卡片中随机抽取张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
20. 本小题分
    如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
    若，，求弦的长；
    求证：．

21. 本小题分
    用米的铝合金制成如图窗框矩形，其中点，分别在边，上，点，分别在，上，且，，，记窗框矩形的面积为平方米，边长为米．
    用含的代数表达式表示出线段的长为______；
    求关于的表达式及自变量的取值范围；
    求的最大值．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式，其中．
    若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
    函数，若，为此二次函数图象上的两个不同点，
    若，则，试求的值；
    当，对任意的，都有，试求的取值范围．
23. 本小题分
    如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点，．
    
    求的度数；
    连，，求证：；
    探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、三角形中任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；
B、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；
C、从一副扑克牌里任意取一张是红桃，是随机事件，符合题意；
D、一个有理数的绝对值为负数，是不可能事件，不符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
点与的位置关系是点在圆内，
故选：．
点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时， 随 的增大而增大，
故A、、C正确，不正确，
故选：．
根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时， 随 的增大而增大．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其顶点坐标为，对称轴为当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．
 

4.【答案】 

【解析】解：内接于，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理可求，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点与对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：、过不在同一直线上的三点能确定一个圆，正确，不符合题意；
B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；
D、相等的弧所对的弦相等，正确，不符合题意．
故选：．
利用确定圆的条件、垂径定理、圆的对称性及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆的对称性及圆周角定理等有关知识，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
．
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，
，，
，
，
故选：．
由三角形内角和求出，由旋转的性质可得是等腰三角形，从而可得旋转角大小．
本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应边线段．
 

9.【答案】 

【解析】解：将代入得，
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
可整理为，
抛物线与直线的一个交点坐标为，
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线的另一交点坐标为，
的根是或．
故选：．
由抛物线经过可得，由抛物线经过，可得抛物线对称轴，将整理为，根据表格可得抛物线与直线的交点，再由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，
，所以正确；
连接、，如图，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，所以正确；
与相交于点，如图，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即垂直平分，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，所以正确．
故选：．
先证明，得到，利用等腰三角形的判定可对进行判断；连接、，如图，利用可判断为等腰直角三角形，则，利用圆周角定理得到，所以，则可对进行判断；与相交于点，如图，先计算出，再利用，得到，接着证明垂直平分，得到，于是可证明，得到，然后证明≌，得到，所以，则可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：六个面分别标有数字、、、、、，
随机投掷一次这枚骰子，朝上一面的数字是的概率为．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
将代入抛物线解析式即可求得抛物线与轴的交点坐标．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：根据题意得：，
，
故答案为：，．
直接代入弧长和扇形面积的计算公式即可得出答案．
本题考查了弧长和扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先利用圆周角定理得到，则利用互余得到的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
 

15.【答案】或 

【解析】解：二次函数对称轴的直线为，，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，若，随的增大而减小，
时，二次函数有最大值，
，解得，
，
，不符合题意；
当时，
顶点点的坐标为，
时，二次函数有最大值，
，解得，不符合题意，舍去，
；
当时，若，随的增大而增大，
时，二次函数有最大值，
，解得，
综上，当时，二次函数有最大值，的值为或．
故答案为：或．
分三种情况：当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，题目比较好，有一定的难度．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，连接、，过点作于，
则，
为正三角形，
，
，
，
；
连接、，交于，连接，
则，
，
在中，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
故答案为：；．
连接、，过点作于，根据正三角形的性质得到，进而求出；连接、，交于，连接，根据正方形的性质得到，计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、正多边形和圆，掌握正三角形的性质、正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得，，
解得，
函数解析式为；

抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小． 

【解析】设二次函数的解析式为，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
根据二次函数的增减性解答．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键是掌握待定系数法．
 

18.【答案】证明：，
，
，
即，
． 

【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则，所以．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

19.【答案】解：七年一班随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为． 

【解析】直接利用概率公式求解即可；
根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：，，
，，
在中，，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
． 

【解析】先计算出，，再利用勾股定理计算出，然后利用垂径定理得到，从而可求出的长；
利用垂径定理得到，则根据圆周角定理得到，加上，从而得到．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

21.【答案】米 

【解析】解：边长为米，则米，
边长为米，
米；
故答案为：米；
根据题意得：，
由知，
，
，
，
，
解得，
，
关于的表达式为，自变量的取值范围为；
，
对称轴为，
，，
当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，
答：的最大值为平方米．
由边长为米，得米，可知边长为米，即可得为米；
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根结合得，又，可列不等式求出的取值范围；
根据中解析式和自变量的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式和自变量的取值范围．
 

22.【答案】解：函数图象过点，
将点代入，
解得，
二次函数的解析式为；
函数的对称轴是直线，
，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则，
，
；
函数的对称轴是直线，
，对任意的，都有，
当，时，；
；
当时，不符合题意舍去；
． 

【解析】直接将点代入即可；
利用题意，由，求解；
由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：连接，，

，
，
，
，
的度数为；
证明：是的外角的平分线，
，
，
由知，
，
是等边三角形，
；
解：，
证明：如图，延长至，使，连接，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
由知是等边三角形，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
即． 

【解析】根据圆周角定理知，再根据即可求解；
根据角平分线的定义以及圆周角定理得，可证是等边三角形，从而证明结论；
延长至，使，连接，通过证明≌，得，可证是等边三角形，即可得出结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．