2022-2023学年浙江省金华市东阳市市北中学等四校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市东阳市市北中学等四校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面立体图形的左视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是(    )

A. 均用两点之间线段最短来解释
B. 均用两点确定一条直线来解释
C. 现象用两点之间线段最短来解释，现象用两点确定一条直线来解释
D. 现象用两点确定一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释

7.  几个人打算合买一件物品每人出元，还少元；每人出元，就多元，则总人数有(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

8.  按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是(    )

 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  如图，在直线上方有一个正方形，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D. 或

10.  在活动课上，同学们用张图所示的纸片拼出了两个不同的六边形图，图中的空白部分，将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知，，则等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  解不等式，则的解集是______ ．

12.  若圆锥的底面直径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为______ ．

13.  在数学中，有时会出现大数值的运算在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果．
例：若，，比较、的大小时，设，则，．
，．
参考上述解题过程，计算： ______ ．

14.  如图，受疫情影响，学生就餐采取隔板阻挡，若小赵、小李、小王、小陈四人同桌就餐，那么小赵和小李坐在对面的概率是______．

15.  如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为______ ．

16.  折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为，宽为的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：

说明：第一步：白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，将它们的距离记为；第二步：将，分别沿着，折叠，使与重合，从而获得边与的距离也为．
则：
的值是______；
的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简：．

19.  本小题分
如图在的网格中，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示
在图中，画出的中线；
在图中，画线段，点在上，使得：：；
在图中，画出的外心点．

 

20.  本小题分
某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
表中 ______ ； ______ ．
求出乙得分的方差．
根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．

21.  本小题分
疫情期间某工厂生产防护服，现有名工人进行生产每人生产的效率相同，天后抽出名工人做其他工作，其余工人继续生产；天后从生产的工人中再抽出名进行包装每人每天包装的量相同已知每人每天包装的量是生产量的倍，如图是产品库存量件与生产时间天之间的函数关系图象．
解释点的实际意义；
求每人每天的生产量和包装量；
求段所在的直线的函数表达式，并求出多少天后剩余库存量低于生产前的库存量．

22.  本小题分
如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点，，．
求证：是的中点；
求证：；
若是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
求抛物线的表达式及点的坐标；
若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时，
取的中点，当点与点重合时，的坐标为______ ；当点与点重合时，的坐标为______ ；请在图的网格中画出点的运动轨迹，并猜想点的运动轨迹是什么图形：______ ；并求点运动轨迹的函数的解析式；
在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为为正整数；请求出函数的解析式用含的式子表示．

 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为如图，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．
如图，若，，求直线的函数表达式．
若为锐角，，当取得最小值时，求正方形的面积．
当正方形的顶点落在轴上时，直线与直线相交于点，的其中两边之比能否为：？若能，求点的坐标；若不能，试说明理由

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义求出相反数即可．
本题主要考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：立体图形的左视图是：．
故选：．
直接利用几何体的形状得出其左视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握左视图的观察角度是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据轴对称的性质，得点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结论．
本题考查平面直角坐标系点的对称性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．点关于轴的对称点的坐标是．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平角，关键是熟悉平角等于的知识点．根据平角的定义，由角的和差关系计算即可求解．
【解答】
解：，
．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，
现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释；
故选：．
直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．
本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设总人数为人，买物品的总钱数为元，
由题意得：，
解得：，
即总人数为人．
故选：．
设总人数为人，买物品的总钱数为元，由题意：每人出元，还少元；每人出元，就多元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，
输出的结果为：，
选项不符合题意；
当，时，
输出的结果为：，
选项符合题意；
当，时，
输出的结果为：，
选项不符合题意；
当，时，
输出的结果为：，
选项不符合题意．
故选：．
利用程序图中的程序，将各选项中的数据代入运算即可得出结论．
本题主要考查了求代数式的值，实数的混合运算，本题是操作型题目，正确理解程序图的程序并熟练运用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，

由作图可知有以下两种情况：
当点与正方形的直线的同侧时，
依题意可知：点与点重合，
此时为正方形的对角线，
，
当点与正方形的直线的两侧时，
连接，，
由作图可知：，
为等边三角形，
，
，
又，

又，
，
，
综上所述：的度数为或
故选：．
首先根据题意画出示意图，然后分两种情况进行讨论：当点与正方形的直线的同侧时，点与点重合，据此可依据正方形的性质求出的度数；当点与正方形的直线的两侧时，由作图可知，据此可得出，，最后再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出的度数．
本题主要考查了的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，，交的延长线于，

，，，
，
由图，可知：，，，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
故选：．
由勾股定理可求的长，由勾股定理和面积法可求，的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：；
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以得：．
故答案为：．
根据解一元一次不等式的步骤即可解得解集．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面直径为，
圆锥的底面半径为
圆锥的底面圆周长是，
侧面展开图的面积为，
侧面展开图的面积，
圆锥的母线长为．
故答案为：．
已知圆锥底面圆的半径可求出侧面展开图的弧长，根据侧面展开图的面积即可求解．
本题考查了圆锥侧面展开图的面积，掌握面积公式的计算方法是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
利用平方差公式解答即可．
本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出小赵和小李坐在对面的概率．
【解答】
解：设四个座位记为，，，，和相对，和相对，
树状图如下所示：

由上可得，一共有种可能性，其中小赵和小李坐在对面有种可能性，
小赵和小李坐在对面的概率是，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，轴，
是等腰直角三角形，
过点作于，过点作轴于，
则，，
是旋转得到，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
把代入得，．
故答案为：．
根据点、、的坐标求出、的长，从而得到是等腰直角三角形，过点作于，过点作轴于，然后求出、，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等求出，，再求出，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，判断出是等腰直角三角形，根据旋转角得到是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：延长交于，在上截取，设．

由题意，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
解得．
．
故答案为．
延长交于，在上截取，设构建方程即可解决问题．
本题考查翻折变换，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】利用零指数幂运算法则、绝对值的定义、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂运算法则、绝对值的定义、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算．
 

18.【答案】解：原式


． 

【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得出答案．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求；
如图点即为所求．
 

【解析】取格点，，连接交于点，连接即可；
取格点，，连接交于点连接即可；
作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，直线，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．，
 

20.【答案】   

【解析】解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
甲的中位数，
出现了次，出现的次数最多，
众数是，
故答案为：，；
乙的方差为：；
应选甲参赛较好答案不唯一，
理由：从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
根据中位数和众数的定义求出、的值；
根据方差的定义列式计算即可；
答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案．
本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键．
 

21.【答案】解：点的实际意义是名工人天生产的防护服数量与未生产之前的库存量之和是件；
设每人每天生产件防护服，
，
解得，，
，
每人每天生产件防护服，包装件防护服；
由得，点的纵坐标的值是：，
点的坐标为，
设段所在的直线的函数表达式为，把，代入得：
，
解得，，
段所在的直线的函数表达式是，
由题意可得，原来的库存量为：，
由，
解得，，
天后剩余库存量低于生产前的库存量． 

【解析】根据题意和函数图象可以得到点的实际意义；
根据题意和函数图象中的数据可以求得每人每天的生产量和包装量；
根据中的答案可以求得点的坐标，从而可以求得段所在的直线的函数表达式，由中的答案可以求得原来的库存量，从而可以求得多少天后剩余库存量低于生产前的库存量．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会用待定系数求函数的解析式，注意数形结合的思想的灵活运用．
 

22.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
是的中点；
证明：连接，

是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为的中点，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
． 

【解析】根据圆周角定理，平行线的性质，垂径定理即可得到结论；
连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
求出，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】    抛物线 

【解析】解：设抛物线的表达式为：，
则；
当时，，即点；

取的中点，当点与点重合时，由中点坐标公式得：的坐标为；
当点与点重合时，同理可得：的坐标为，
当点、关于抛物线的对称轴对称时，则的坐标为：，该点的对称点为：，
再取上述两点、，可以大概画出点的运动轨迹如图，从图看点的运动轨迹是抛物线，

由中点坐标公式得的坐标为：，
令，则，则，
即点的运动轨迹的函数表达式为：；
故答案为：、，抛物线；

由题意得，点的坐标为：，
则的表达式为：；
同理可得的表达式为：；

．
用待定系数法即可求解；
当点、关于抛物线的对称轴对称时，则的坐标为：，该点的对称点为：，再取上述两点、，可以大概画出点的运动轨迹；再求出的坐标为：，即可求解；
由求出的表达式为：，同理可得的表达式为：，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象性质、点的运动轨迹、作图，其中，利用找规律的方法确定点的运动轨迹是本题的难点．
 

24.【答案】解：如图，

过点作于点，与轴的交点为．
，，
为正三角形，
，．

，
．
在中，
，
即，
．

设直线的函数表达式为，
该直线过点，
，
解得，
所以，直线的函数表达式为．
如图，

射线与的夹角为 为锐角，
无论正方形边长为多少，绕点旋转角后得到正方
形的顶点在射线上，
当时，线段的长最小．
在中，设，则，
，解得，舍去，
，
．

设正方形边长为．
当点落在轴正半轴时．
如图，

当与重合时，是等腰直角三角形，有或．
在中，，，
点的坐标为．
在图的基础上，
当减小正方形边长时，
点在边 上，的其中两边之比不可能为：；
当增加正方形边长时，存在图和图两种情况．
如图，

是等腰直角三角形，
有，
即，
此时有．
在中，，
，
，，
点的坐标为．
如图，

过作轴于点，延长交轴于点设．
在中，，
在中，，
当时，
．
，得．
，
∽，
，
，
即，
．
在等腰中，，
，
点的坐标为．
当点落在轴负半轴时，
如图，

与重合时，在中，，
又正方形中，，
．
点的坐标为．
在图的基础上，当正方形边长减小时，的其中
两边之比不可能为：；当正方形边长增加时，存在图这一种情况．
如图，过作轴于点，

设．
在中，，
在中， ．
当时，
．
，
，
由于，则，
，
∽，
，
即．
在等腰中，，
，
，
在等腰中，，
点的坐标为．
所以，的其中两边的比能为：，点的坐标是：，，
，，． 

【解析】先判断出为正三角形，再根据锐角三角函数求出即可；
判断出当时，线段的长最小，用勾股定理计算即可；
由的其中两边之比为：分三种情况进行计算即可．
此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．