还剩19页未读，
继续阅读
2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为99%”，则明天一定会下雨
B．“367人中至少有2人生日相同”是随机事件
C．抛掷10次硬币，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7
D．“抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数”是随机事件
4．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
5．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
7．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
9．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
10．（3分）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ °．
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 个．
15．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 ．
16．（4分）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号）．
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
三.解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．（6分）如图，在△ABC中∠C＝90°；
（1）画出将△ABC绕点C逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1；
（2）若BC＝3，求点B运动到点B1所经过的路线长度．
18．（8分）如图所示的转盘，三个扇形的圆心角相等，分别标有数字1，2，3．小明和小亮进行一个游戏，游戏规则为：一人转动一次圆盘，如果两次转出的数字之和为偶数，那么小明胜；否则小亮胜．
（1）用画树状图或列表的方法求出小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
19．（8分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
21．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，与y轴交于点B，一次函数y2＝x+k经过点B．
（1）当a＝1时，求点A的坐标；
（2）当a＝2时，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）若y1与y2图象的另一交点是P，当b≥1时，求点P横坐标p的取值范围．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3），
故选：A．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为99%”，则明天一定会下雨
B．“367人中至少有2人生日相同”是随机事件
C．抛掷10次硬币，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7
D．“抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数”是随机事件
【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案．
【解答】解：∵概率表示事件发生的可能性大小，
∴A选项不合题意，
∵一年有365天，则367人中至少有两人生日相同为必然事件，
∴B选项说法不合题意，
∵抛掷硬币只有两种可能，正面朝上的概率为50%，
∴C选项说法不合题意，
∵抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数可能是偶数，也可能是奇数，为随机事件，
∴D选项正确，
故选：D．
4．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆心的距离，小于圆的半径2，
∴点P在圆内．
故选：A．
5．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴C（﹣4，y3）关于称轴是直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y3＞y2＞y1，
故选：A．
6．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个，
故选：B．
7．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，
故选：B．
9．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x≤6时﹣4≤y≤12，进而求解．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x≤6，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y≤12，
∴﹣4≤t＜12，
故选：D．
10．（3分）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
【分析】由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，求出A'B'的长，∠A'OB'的大小即可解决问题．
【解答】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP＝2，
∵OA'＝OB'＝4，
∴cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，A′P＝4×＝2，
∴A′B′＝4
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝﹣＝π﹣8，
故选：D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷45＝8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣（x+2）2+1 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝﹣（x+2）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝﹣（x+1）2的图象向上平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝﹣（x+2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+1．
13．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ 80 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故答案为：80
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 16 个．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
＝＝0.2，
解得x＝16．
经检验x＝16是分式方程的解．
故答案为16．
15．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】根据表中的对应值得到x＝1和x＝3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x＝2，由于抛物线开口向上，且y1＞y2，所以A（m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+6，y2）到对称轴的距离，则＜2，然后解不等式即可．
【解答】解：∵x＝1时，y＝2；x＝3时，y＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线开口向上，A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，且y1＞y2，
∴＜2，
解得m＜﹣1．
故答案为m＜﹣1．
16．（4分）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： ①③④ （填序号）．
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
【分析】根据二次项系数小于0，可以判断①：求出函数对称轴为直线x＝m+1，开口向下，可以判断②；先把函数解析式变形为y＝﹣x2+2x+4+m（2x+6），当x＝﹣3时，y﹣11，可以判断③；根据x2﹣8x+20＞0恒成立，再根据﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0解集为全体实数，由Δ＜0可求得m的取值范围，可以判断④．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象开口向下，
故结论①正确；
②∵y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4，
∴对称轴为直线x＝（m+1），
当x＞m+1时，y随x的增大而减小，
故结论②错误；
③∵y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4＝﹣x2+2x+4+m（2x+6），
令2x+6＝0，即x＝﹣3，
则y＝﹣x2+2x+4＝﹣9﹣6+4＝﹣11，
∴该函数的图象一定经过点（﹣3，﹣11），
故结论③正确；
④∵x2﹣8x+20＝x2﹣8x+16+4＝（x﹣4）2+4≥4＞0，
∴＜0即为﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0，
∵﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0解集为全体实数，
∴Δ＝4（m+1）2﹣4×（﹣1）×（6m+4）＜0，
解得：﹣4﹣＜m＜﹣4+．
故④正确．
故答案为：①③④．
三.解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．（6分）如图，在△ABC中∠C＝90°；
（1）画出将△ABC绕点C逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1；
（2）若BC＝3，求点B运动到点B1所经过的路线长度．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求．
（2）点B运动到点B1所经过的路线长度＝＝π．
18．（8分）如图所示的转盘，三个扇形的圆心角相等，分别标有数字1，2，3．小明和小亮进行一个游戏，游戏规则为：一人转动一次圆盘，如果两次转出的数字之和为偶数，那么小明胜；否则小亮胜．
（1）用画树状图或列表的方法求出小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）从所有等可能的结果种，找到数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求解，看两者概率是否相等即可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为偶数的有5种结果，
则小明获胜的概率为；
（2）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∵≠，
∴此游戏不公平．
19．（8分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣3），然后把C点坐标代入其a即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在直线y＝4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴交点为（2，4），（﹣1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+x+6开口向下，
∴当y＞4时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）根据垂径定理得到AF＝AC＝12，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：OF⊥AC，
∴AF＝AC＝12，
∵DF＝7，
∴OF＝OD﹣DF＝OA﹣7，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴OA2＝122+（OA﹣7）2，
∴OA＝，
∴⊙O的直径为．
21．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，与y轴交于点B，一次函数y2＝x+k经过点B．
（1）当a＝1时，求点A的坐标；
（2）当a＝2时，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）若y1与y2图象的另一交点是P，当b≥1时，求点P横坐标p的取值范围．
【分析】（1）由二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，可得a，b的关系，然后将a＝1代入即可求出b，从而取出A的坐标；
（2）将a＝2代入y1＝ax2+bx+2，然后列出关于x的不等式即可求解；
（3）联立成方程组求出P的横坐标，然后用b的代数式表示p即可讨论p的范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，
∴b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
当x＝0时，y2＝2，
∴B（0，2），
把（0，2）代入y2＝x+k，
得k＝2，
∴y2＝x+2，
∴当a＝1时，b2＝8，即，
∴＝，
令y1＝0，得，
∴，
（2）由（1）得，当a＝2时，b2＝16，
∴b＝4，
∴，
由y1＜y2得，
2x2+4x+2＜x+2，
∴2x2+3x＜0，
∴x（2x+3）＜0，
得或，
解得，
（3）联立方程组：，
得x（ax+b﹣1）＝0，
∴
＝，
∵b⩾1，
∴，
∴﹣2⩽p⩽0．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
【分析】（1）连接PC和OC，证明△POC是等边三角形即可；
（2）①同（1）证明△PCH是等边三角形；
（3）作等边△BCF，作其外接圆I，连接BI，CI，根据“定弦对对角”可知，点H作⊙I上运动，运动路线是长．
【解答】（1）证明：如图1，
连接PC，OC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠POC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴BP⊥AC，
∵＝，
∴∠P＝∠A＝60°，
∴△POC是等边三角形，
∴OE＝PE；
（2）①证明：如图2，
连接PC，
由（1）知，
∠P＝∠A＝60°，
∵CQ⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AQC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠QHE＝180°﹣∠AQC﹣∠AEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠QHE＝120°，
∴∠PHC＝60°，
∴△PCH是等边三角形，
∴HE＝PE；
②解：如图3，
由①知，
∠BHC＝∠QHE＝120°，
作等边△BCF，作其外接圆I，连接BI，CI，
∴H点在上运动，∠BIC＝120°，
作IG⊥BC于G，
∴BG＝BC＝，
∴BI＝＝，
∴l＝＝，
∴H点运动的路线长是．
2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为99%”，则明天一定会下雨
B．“367人中至少有2人生日相同”是随机事件
C．抛掷10次硬币，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7
D．“抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数”是随机事件
4．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
5．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
7．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
9．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
10．（3分）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ °．
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 个．
15．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 ．
16．（4分）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号）．
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
三.解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．（6分）如图，在△ABC中∠C＝90°；
（1）画出将△ABC绕点C逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1；
（2）若BC＝3，求点B运动到点B1所经过的路线长度．
18．（8分）如图所示的转盘，三个扇形的圆心角相等，分别标有数字1，2，3．小明和小亮进行一个游戏，游戏规则为：一人转动一次圆盘，如果两次转出的数字之和为偶数，那么小明胜；否则小亮胜．
（1）用画树状图或列表的方法求出小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
19．（8分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
21．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，与y轴交于点B，一次函数y2＝x+k经过点B．
（1）当a＝1时，求点A的坐标；
（2）当a＝2时，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）若y1与y2图象的另一交点是P，当b≥1时，求点P横坐标p的取值范围．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
2021-2022学年浙江省杭州市六校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3），
故选：A．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为99%”，则明天一定会下雨
B．“367人中至少有2人生日相同”是随机事件
C．抛掷10次硬币，7次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为0.7
D．“抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数”是随机事件
【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案．
【解答】解：∵概率表示事件发生的可能性大小，
∴A选项不合题意，
∵一年有365天，则367人中至少有两人生日相同为必然事件，
∴B选项说法不合题意，
∵抛掷硬币只有两种可能，正面朝上的概率为50%，
∴C选项说法不合题意，
∵抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数可能是偶数，也可能是奇数，为随机事件，
∴D选项正确，
故选：D．
4．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点P到圆心的距离，小于圆的半径2，
∴点P在圆内．
故选：A．
5．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴C（﹣4，y3）关于称轴是直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y3＞y2＞y1，
故选：A．
6．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂于于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个，
故选：B．
7．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
8．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，
故选：B．
9．（3分）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x≤6时﹣4≤y≤12，进而求解．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x≤6，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y≤12，
∴﹣4≤t＜12，
故选：D．
10．（3分）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．8π B． C．8π﹣16 D．
【分析】由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，求出A'B'的长，∠A'OB'的大小即可解决问题．
【解答】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（2，2），
∴OP＝2，
∵OA'＝OB'＝4，
∴cos∠A'OP＝cos∠B'OP＝，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，A′P＝4×＝2，
∴A′B′＝4
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝﹣＝π﹣8，
故选：D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷45＝8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣（x+2）2+1 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝﹣x2的图象向左平移2个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝﹣（x+2）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝﹣（x+1）2的图象向上平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝﹣（x+2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+1．
13．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝ 80 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故答案为：80
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球 16 个．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
＝＝0.2，
解得x＝16．
经检验x＝16是分式方程的解．
故答案为16．
15．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
若A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，当y1＞y2时，m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】根据表中的对应值得到x＝1和x＝3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x＝2，由于抛物线开口向上，且y1＞y2，所以A（m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+6，y2）到对称轴的距离，则＜2，然后解不等式即可．
【解答】解：∵x＝1时，y＝2；x＝3时，y＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线开口向上，A（m，y1），B（m+6，y2）两点都在该函数图象上，且y1＞y2，
∴＜2，
解得m＜﹣1．
故答案为m＜﹣1．
16．（4分）对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： ①③④ （填序号）．
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
【分析】根据二次项系数小于0，可以判断①：求出函数对称轴为直线x＝m+1，开口向下，可以判断②；先把函数解析式变形为y＝﹣x2+2x+4+m（2x+6），当x＝﹣3时，y﹣11，可以判断③；根据x2﹣8x+20＞0恒成立，再根据﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0解集为全体实数，由Δ＜0可求得m的取值范围，可以判断④．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象开口向下，
故结论①正确；
②∵y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4，
∴对称轴为直线x＝（m+1），
当x＞m+1时，y随x的增大而减小，
故结论②错误；
③∵y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4＝﹣x2+2x+4+m（2x+6），
令2x+6＝0，即x＝﹣3，
则y＝﹣x2+2x+4＝﹣9﹣6+4＝﹣11，
∴该函数的图象一定经过点（﹣3，﹣11），
故结论③正确；
④∵x2﹣8x+20＝x2﹣8x+16+4＝（x﹣4）2+4≥4＞0，
∴＜0即为﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0，
∵﹣x2+2（m+1）x+6m+4＜0解集为全体实数，
∴Δ＝4（m+1）2﹣4×（﹣1）×（6m+4）＜0，
解得：﹣4﹣＜m＜﹣4+．
故④正确．
故答案为：①③④．
三.解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．（6分）如图，在△ABC中∠C＝90°；
（1）画出将△ABC绕点C逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1；
（2）若BC＝3，求点B运动到点B1所经过的路线长度．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求．
（2）点B运动到点B1所经过的路线长度＝＝π．
18．（8分）如图所示的转盘，三个扇形的圆心角相等，分别标有数字1，2，3．小明和小亮进行一个游戏，游戏规则为：一人转动一次圆盘，如果两次转出的数字之和为偶数，那么小明胜；否则小亮胜．
（1）用画树状图或列表的方法求出小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）从所有等可能的结果种，找到数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求解，看两者概率是否相等即可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为偶数的有5种结果，
则小明获胜的概率为；
（2）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∵≠，
∴此游戏不公平．
19．（8分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣3），然后把C点坐标代入其a即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在直线y＝4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴交点为（2，4），（﹣1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+x+6开口向下，
∴当y＞4时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）根据垂径定理得到AF＝AC＝12，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：OF⊥AC，
∴AF＝AC＝12，
∵DF＝7，
∴OF＝OD﹣DF＝OA﹣7，
∵OA2＝AF2+OF2，
∴OA2＝122+（OA﹣7）2，
∴OA＝，
∴⊙O的直径为．
21．（10分）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
22．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，与y轴交于点B，一次函数y2＝x+k经过点B．
（1）当a＝1时，求点A的坐标；
（2）当a＝2时，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）若y1与y2图象的另一交点是P，当b≥1时，求点P横坐标p的取值范围．
【分析】（1）由二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，可得a，b的关系，然后将a＝1代入即可求出b，从而取出A的坐标；
（2）将a＝2代入y1＝ax2+bx+2，然后列出关于x的不等式即可求解；
（3）联立成方程组求出P的横坐标，然后用b的代数式表示p即可讨论p的范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+bx+2（a＞0，b＞0）的图象与x轴只有一个交点A，
∴b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
当x＝0时，y2＝2，
∴B（0，2），
把（0，2）代入y2＝x+k，
得k＝2，
∴y2＝x+2，
∴当a＝1时，b2＝8，即，
∴＝，
令y1＝0，得，
∴，
（2）由（1）得，当a＝2时，b2＝16，
∴b＝4，
∴，
由y1＜y2得，
2x2+4x+2＜x+2，
∴2x2+3x＜0，
∴x（2x+3）＜0，
得或，
解得，
（3）联立方程组：，
得x（ax+b﹣1）＝0，
∴
＝，
∵b⩾1，
∴，
∴﹣2⩽p⩽0．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
【分析】（1）连接PC和OC，证明△POC是等边三角形即可；
（2）①同（1）证明△PCH是等边三角形；
（3）作等边△BCF，作其外接圆I，连接BI，CI，根据“定弦对对角”可知，点H作⊙I上运动，运动路线是长．
【解答】（1）证明：如图1，
连接PC，OC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠POC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，
∴BP⊥AC，
∵＝，
∴∠P＝∠A＝60°，
∴△POC是等边三角形，
∴OE＝PE；
（2）①证明：如图2，
连接PC，
由（1）知，
∠P＝∠A＝60°，
∵CQ⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AQC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠QHE＝180°﹣∠AQC﹣∠AEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠QHE＝120°，
∴∠PHC＝60°，
∴△PCH是等边三角形，
∴HE＝PE；
②解：如图3，
由①知，
∠BHC＝∠QHE＝120°，
作等边△BCF，作其外接圆I，连接BI，CI，
∴H点在上运动，∠BIC＝120°，
作IG⊥BC于G，
∴BG＝BC＝，
∴BI＝＝，
∴l＝＝，
∴H点运动的路线长是．
相关试卷
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了0分，0分），【答案】D，【答案】B，【答案】C，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市明珠实验中学等四校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年浙江省杭州市明珠实验中学等四校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了0分，0分），0分)，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市萧山区六校联考九年级（上）期初数学试卷（Word解析版）： 这是一份2022-2023学年浙江省杭州市萧山区六校联考九年级（上）期初数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
