新高一数学暑期衔接教材第14讲-函数的奇偶性与单调性

主    题

函数的奇偶性与单调性

教学内容

1. 掌握函数奇偶性和单调性的关系；

2. 能应用函数的奇偶性和单调性解决综合题目。

我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像

                    （一）                                       （二）

通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。

我们发现偶函数在对称区间上，它们的单调性相反，奇函数在对称区间上，它们的单调性相同。

证明：假设一个偶函数在上单调递增，

任取，则，由单调性可得：

，由偶函数可得：

所以，所以当时是减函数

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 如果函数f(x)在R上为奇函数，在[－1，0)上是增函数，试比较f(),f(),f(1)的大小关系           .

由题意，函数在区间上是增函数，于是

试一试：定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）

A．（－3，0）∪（0，3）         B．（－∞，－3）∪（3，+∞）

C．（－3，0）∪（3，+∞）     D．（－∞，－3）∪（0，3）

例2. 已知函数且，求的值

解：令，则 

为奇函数， 

试一试：若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）

A．最小值－5　　     B．最大值－5        C．最小值－1　　 　D．最大值－3

答案：C．

例3.  已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，

（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；

证明：（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0．

令，可得 ，即，故为奇函数．

（2）证明：设∈R，且，则，于是．从而

所以，为减函数．

这里学生首次接触抽象函数，教师可以简单总结一下抽象函数的解题方法，通过赋值求出特殊点（一般是0,或1），再通过构造的形式证明单调性或奇偶性.

试一试：已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)= f(x)+ f(y)，

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．

解答：

例4. 已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

∴  解得，∴m的取值范围是(－)

试一试：f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y)  

    （1）求f(1)的值．

    （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ．

解析：①在等式中，则f(1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则

故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，

又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　　)    C

A．f(0)<f(6)   B．f(3)>f(2)

C．f(－1)<f(3)  D．f(2)>f(0)

2. 已知函数且，求的值

答案：1

3. 若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：．

解：由已知得

因f(x)是奇函数，故 ，于是．

 又是定义在（1，1）上的增函数，从而

 即不等式的解集是．

4. 设是定义在上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的的取值范围.

解:由题意可知:

又 ，

于是不等式 可化为

因为函数在上为增函数,所以不等式可转化为：

 ,解得：

所以的取值范围是 .

本节课主要知识点： 在对称区间上，函数单调性与奇偶性的关系，抽象函数的解题方法

【巩固练习】

1. 设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

答案：

2. 已知函数是奇函数，又，，，求、、的值.

解：由得 ∴c=0. 又，得，

而，得，解得.

又，∴或.

若，则b=，应舍去； 若，则b=1∈Z.

∴.

【预习思考】

求 在 上的值域？在 上的值域？