第三章 函数单调性的应用练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数单调性的应用

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知值域为的函数在上单调递增，且，则下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

2.     定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知是定义在上的增函数，且对定义域内任意的x，y都有，若，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     设，，若，，，则下列不等关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.     若函数在R上为单调增函数，则实数b的值可以为(    )

A. 1 B.  C. 2 D. 3

6.     记函数在区间上单调递减时实数a的取值集合为A，不等式恒成立时实数a的取值集合为，则  (    )

A.
B.
C.
D. “”是“”的必要不充分条件

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

7.     定义在R上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意x，都有，同时，则不等式的解集为______.
8.     已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.     本小题分

已知函数，
若在区间上单调递减，求a的最小值;
当时，，求实数m的取值范围.

10. 本小题分

已知函数，

求的值；

用定义证明函数在上单调递增；

若，求实数a的取值范围.

11. 本小题分
    若是定义在上的增函数，且 .
    求的值；

若，解不等式

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性应用，属于较难题.
由函数在上单调递增，且，得，整理即可判断A，根据题意可设，则值域为，在上单调递增，从而可判断

【解答】

解：对于A，因为函数在上单调递增，且，

所以，即，

所以，故A正确；

根据题意可设，则值域为，在上单调递增，

则，故B、C错误；

，故D错误.

故答案选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了构造函数求解不等式，从已知条件入手，利用函数单调性求解，属于中档题．
设，首先判断函数在内单调递减，然后将不等式等价于，等价于，再利用单调性求解即可；

【解答】

解：不妨设任意的，，

因为，则，

所以，

所以在内单调递减.

不等式等价于，
又，所以等价于，

因为在内单调递减，
所以，
即不等式的解集为

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性解不等式和抽象函数的单调性的应用，属于中档题．
由题意知，，再由的定义域为，且在上为增函数，可得到不等式组，即可解得答案．

【解答】

解：，，
，，
，
又在上单调递增，
，解得
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用函数的单调性及不等式，计算即可判断出大小关系．

【解答】

解：，，
函数开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，
，
，
，
，
而，
，
综上，，

故选：

5.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的性质，涉及函数单调性的定义，属于中档题．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得b的取值范围，分析选项即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数在R上为单调增函数，
则有，解可得，
分析选项可得：、、2符合题意，
故选：

6.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数的性质，不等式恒成立，利用基本不等式求最值，以及必要不充分条件的判断，属于中档题.
利用二次函数的性质求出集合A，利用基本不等式以及恒成立求出集合B，即可得出结果.

【解答】

解：因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，即
不等式恒成立等价于，
当时，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，则，即
因为，所以“”是“”的必要不充分条件．
故选

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性、抽象函数的函数值，属于中档题.
根据题意得出函数在R上单调递增，求出，不等式化为，根据单调性即可求出结果.

【解答】

解：因为对于任意的，，都有恒成立，
所以函数在R上单调递增，
又对于任意x，都有，，
所以，
所以不等式，
所以，解得，
所以不等式的解集为
故答案为

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对勾函数的图象及性质，利用函数的单调性解决参数问题，属中档题.
对a的不同取值进行分类讨论，分析得函数的单调区间，进一步得不等关系求得参数.

【解答】

解：当时，在区间上单调递增，不合题意;
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，
综上，

9.【答案】解：对任意，，且
有


在区间上单调递减

由，得
，
，
，即
由知，当时，在区间上单调递减
，即当时，
令，
由，得，故
①当时，在内单调递增

②当时，
令，，则对称轴
在内单调递增，
，故
综上，实数 m的取值范围是 

【解析】本题考查了利用函数的单调性求参，通过构造函数，对m进行分类讨论，利用函数的单调性和二次函数的图象性质求参数的取值范围，属于难题.
 

10.【答案】解：因为，
所以

任取，且，

则

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

由知在上单调递增.

又，所以
解得即，
所以实数a的取值范围是

【解析】本题主要考查根据函数解析式求值，用定义法证明函数单调性，以及不等式求解，属于中档题.
先求的值，再求的值即可；
任取，且，作差、通分、分解因式，判断出，即可证明函数在上单调递增；
利用函数单调性，结合函数的定义域，将不等式转化为不等式组，即可求实数a的取值范围.
 

11.【答案】解：由，
令，则有；

令，，则，
因为得，
所以原不等式变为，即为，
又是定义在上的增函数，

所以，解得，

即原不等式的解集为

【解析】本题考查函数的单调性，利用赋值法解决抽象函数问题，属于中档题.

问采用赋值法求出的值；
问首先由分析出，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求解即可得出结果．