3.4-函数的单调性（解析版）-2023-2024学年初升高（新高一）数学暑假衔接教材（人教版）

❊3.4 函数的单调性

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）因为，所以函数在上是增函数．（    ）

（2）若为上的减函数，则．（    ）

（3）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．（    ）

（4）若定义在上函数满足，则函数是增函数．（    ）

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数在上单调递增．（    ）

（2）函数在定义域上单调递增．（    ）

（3）函数在上单调递减．（    ）

    （4）若定义在上函数满足，则函数是减函数．（    ）

已知函数．

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；

（2）求函数在区间上的值域．

【答案】（1）函数在上是增函数，证明见解析；（2）.

【解析】（1）函数在上是增函数.

证明：任取，且，

，

，，

，即，

函数在上是增函数；

（2）由（1）知函数在区间上是增函数，

又，，

所以函数在区间上的值域为.

已知函数，且.

（1）求实数的值；

（2）判断在区间上的单调性并用定义证明.

【答案】（1）1；（2）在区间上单调递减，证明见解析.

【解析】（1）由，得，所以.

（2）由（1）知，其定义域为，

在区间上单调递减.

证明如下：

任取，且，

.

因为，，且，

所以，，，

则，所以，

故在区间上单调递减.

已知函数其中、为常数且满足，.

（1）求函数的解析式；

（2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）解：，解得，

的解析式为

（2）证明：任取，

则

即

故函数在区间(0，1)上是减函数.

已知函数.判断函数在上的单调性，并证明.

【答案】函数在上单调递减，理由见详解

【详解】函数在上单调递减；

理由如下：

取，规定；

则

因为，

所以

所以

所以函数在上单调递减

求函数的单调性．

【答案】略

求函数的单调性．

【答案】略

求函数的单调性．

求函数的单调性．

【答案】略

求函数的单调性．

【答案】略

函数的单调递增区间是（    ）

【答案】B

【详解】

如图所示：

函数的单调递增区间是和．

故选：B.

（1）已知在上是单调递增函数，则实数的取值范围为_______.

（2）已知在上是单调递减函数，则实数的取值范围为_______.

【答案】略

已知在上是单调函数，则实数的取值范围为_______.

【答案】略

函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（　　）

【答案】略

函数在上是增函数，则的范围为（　　）

【答案】略

若是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

【答案】D

【解析】因为函数在上是单调递减的，

又是R上的单调函数，

所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，

并且，解得，

综上所述，a的取值范围为.故选：D

已知函数在上为增函数，则的取值范围是（    ）

【分析】根据题意，由函数的单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数是上的增函数，

则有，解可得，

即的取值范围是，，

故选：．

已知函数，是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ）

【答案】C

【分析】

根据二次函数及反比例函数的性质得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.

故选：C

若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

【分析】结合二次函数与一次函数的单调性及分段函数单调性找出满足题意的不等式组，解不等式可求．

【解答】解：因为在上是增函数，

所以，

解得，，

故选：．

已知是定义在上的单调递增函数，且，则满足的的取值范围是_______.

【答案】x＜

【解析】因为，所以和化为，

又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，

所以，解得.

故答案为：.

已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ）

【答案】A

【详解】因为在定义域上是减函数，

所以由，

故选：A

已知函数在上单调递减，求不等式的解集．

【答案】略

设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是_______.

【答案】.

【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，

因为，可得，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

1.已知函数，.

（1）判断函数的单调性，并证明；

（2）求函数的值域.

【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）

【解析】（1）在区间上单调递增，

证明如下：任取且，

，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数在区间上单调递增.

（2）由（1）知：在区间上单调递增，

所以，，

所以函数的值域是.

2.已知函数．

（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（2）对任意时，都成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.

【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，

∵，

∴，，，

∴，

∴在区间上单调递减；

（2）由（2）可知在上单调减函数，

∴当时，取得最小值，即，

对任意时，都成立，只需成立，

∴，解得：．

3.已知函数，则函数的最大值为（    ）

【答案】A

【详解】函数在上单调递增，则，

所以函数的最大值为15.

故选：A

4.若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）

【答案】A

【分析】根据题意，求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质可得-m≤2，解可得m的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数y=x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x=-m，

函数y=x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，

则-m≤2，解得m≥-2，即m的取值范围为[-2，+∞）；

故选：A．

5.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）

【答案】C

【详解】函数的对称轴为，

因为函数在上具有单调性，

所以或，即或.

故选：C

6.函数的单调减区间为_______.

【答案】见试题解答内容

【分析】讨论x＞0，x＜0，从而去掉绝对值号，在每种情况下，根据二次函数的单调区间的求法写出每种情况的f（x）的单调减区间即可得出f（x）在R上的单调减区间．

【解答】解：（1）x＞0时，f（x）=-x2+2x+3；

∴此时f（x）的对称轴为x=1；

∴此时f（x）的减区间为[1，+∞）；

（2）x＜0时，f（x）=-x2-2x+3；

∴f（x）此时的对称轴为x=-1；

∴此时f（x）的减区间为[-1，0]；

∴综上得，f（x）的单调减区间为[-1，0]，[1，+∞）．

故答案为：[-1，0]，[1，+∞）．

7.函数的单调增区间为_______.

8.函数的单调递增区间是（　　）

9.已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（　　）

10.已知函数对，都有，且，则实数的取值范围是（　　）

11.已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是_______.

【答案】

【详解】函数是定义在上的减函数，且，

∴，解得．

故答案为：

12.已知函数，若，则实数的取值范围为_______.

【答案】{a|a＞1或a＜-3}．

【解答】

解：函数的图象如图所示，

故f（x）为单调递增的函数，

则f（a2-3）＞f（-2a），

所以a2-3＞-2a，即a2+2a-3＞0，

解得，a＞1或a＜-3．

故a的取值范围{a|a＞1或a＜-3}．

故答案为：{a|a＞1或a＜-3}．