湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

2022-2023-1雅礼高一期中考试数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.

【详解】命题“，”的否定为“，”.

故选：D.

2. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断两函数的定义域与函数关系式是否一致即可；

【详解】解：．和的定义域都是，对应关系也相同，是同一函数；

的定义域为，的定义域为，，定义域不同，不是同一函数；

的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数．

故选：．

3. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】已知等式平方后可得结论．

【详解】因为，所以，所以，

故选：B．

4. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（    ）

A. a>b B. a<b

C. a≥b D. a≤b

【答案】C

【解析】

【分析】作差比较可得答案.

【详解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

所以a≥b.

故选：C.

5. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ）

A 2 B.  C. 4 D. 2或

【答案】B

【解析】

【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.

【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或，

当时，函数在上递增，则，

当时，函数在上递减，不符合要求，

实数.

故选：B

6. 已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ）

A. 是增函数，且 B. 是增函数，且

C. 是减函数，且 D. 是减函数，且

【答案】D

【解析】

【分析】法一：找到一个函数满足题干中的条件，从而得到单调性和值域，求出答案；法二：根据题干中条件，利用赋值法和定义法来求解函数的单调性和值域，进而得到答案.

【详解】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；

法二：当时，.设，则，由已知，.

所以，即，所以是减函数，

故选：D.

7. 若是一个三角形的三边长,则a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出a的取值范围即可.

【详解】解:由题知是一个三角形的三边长,故有

,即,

解得: ,故,

故选:A.

8. 设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，存在使得，则满足条件的集合的个数为（    ）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 无穷个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据定义确定元素范围，再分类讨论元素个数.

【详解】解：若中最大元素为大于1的元素为，则，不满足题意，故中最大元素不超过1，同理可得中最小元素不小于

若集合中只有一个元素，则，

若集合中有两个元素，则或，

当时（1舍去），此时即

当时，因此（1舍去）

即

若集合中有三个元素，则或或，

当时（1舍去），此时或，解得，舍去

当时， ，矛盾，舍去

当时， 即

若集合中有四个或四个以上元素，则由上推导可得，矛盾，即此时无解

综上所满足条件的集合可以为，，，，共 5个，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的值域，分类讨论思想，解题的关键是由任意，存在使得，且集合为有限集，可得从集合中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也是集合中的，然后分类讨论即可，属于较难题

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分）

9. 设，m，n是正整数，且，则下列各式中，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用指数幂的运算性质即可得出

【详解】对于A，∵，m，n是正整数，且，∴，故正确；

对于B，显然，故正确；

对于C，，故不正确；

对于D，当n取偶数，；当n取奇数，，综上，，故正确，

故选：ABD

10. 下列函数中，哪些函数的图象关于轴对称（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】逐一判断函数的奇偶性即可得解.

【详解】解：对于A，函数的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A不符题意；

对于B，函数定义域为，

因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B符合题意；

对于C，函数定义域为，

因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故C符合题意；

对于D，函数函数定义域为，

因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故D不符题意.

故选：BC.

11. 下列函数中具有性质：存在，使得的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意中的性质，结合特值法对每个选项进行逐一，即可判断

【详解】对于A，取，则，

所以，故A正确；

对于B，假设存在，使得，

即，解得，与矛盾，故假设不成立，故B不正确；

对于C，取，则，

所以，故C正确；

对于D，取，则，

所以，故D正确，

故选：ACD

12. 下列命题中为真命题的是（    ）

A. 设,若,则

B. 若,则

C. 若正数满足,且,则

D. 若,则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,取一个反例即可,对于B,分情况讨论大小即可,对于C,根据等式化简,根据不等式找范围,求值,对于D,将写成的形式,然后分别用基本不等式,注意取等条件.

【详解】解:由题知,对于选项A,当时,满足,

但是,所以选项A错误;

对于选项B,当时,可化为,即,所以成立,

当时,不等式成立,也成立,

当时,不等式不成立,舍,

当时,不等式可化为,

即,即,所以成立,

当时,要想成立,,此时成立,

当时,要想成立,,此时成立,

综上,成立,所以选项B正确;

对于选项C,

,

,

,

即,

即,此时若想成立,,故选项C正确;

对于选项D,

,

当且仅当,即时取等,

当且仅当,即时取等,

,

当且仅当,即时取等,

故,选项D正确,

故选:BCD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知则实数的值为_____________

【答案】5

【解析】

【分析】根据集合中元素的确定性讨论和，再结合元素互异性即可求解.

【详解】因为，

当时，那么，不满足集合元素的互异性，不符合题意，

当时，，此时集合为符合题意，

所以实数的值为，

故答案为：．

14. 使命题“若，则”为假命题的一组，的值分别为__________，_________.

【答案】    ①. 1    ②. （答案不唯一）

【解析】

【分析】只要，，原命题都是假命题.

【详解】若命题“若，则”为假命题，

则可使，，命题为假命题,

可设.

故答案为：1，（答案不唯一）

15. 若是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析： 因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且

考点：分段函数单调性

16. 已知函数,若恒成立,则实数m的最小值是______.

【答案】

【解析】

【分析】对进行换元,注意新元范围,原题就转化为,

根据对称轴确定,只需分类讨论新元的范围和对称轴的关系,求出所对应的,让,求出m的取值范围即可找出最值.

【详解】解:由题知令,

要想恒成立,只需即可,

因为对称轴为,

(1) 时,

当单调递减,单调递增,

所以,与矛盾,舍;

(2) 时,

当单调递增,

所以,

解得(舍)或

故,

综上: m的最小值是.

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17. 设全集，集合，，．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求，再求交集即可；

（2）先求，再根据数轴上的关系分析时实数的取值范围即可

【小问1详解】

或，故．

【小问2详解】

，因为，故．

18. 已知函数，且

（1）求解析式；

（2）判断并证明函数在区间的单调性.

【答案】（1）；   

（2）单调递增，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；

（2）利用单调性的定义判断证明即可.

【小问1详解】

解：且，解得.

所以函数的解析式为.

【小问2详解】

解：

∵.

∵，

，所以，

所以，所以函数在单调递增.

19. 已知关于x的不等式的解集为或.

（1）求a，b的值；

（2）当时，不等式的解区间为，求的最小值和最大值.

【答案】（1），.   

（2）的最小值为1，最大值.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系进行求解.

（2）通过解一元二次不等式求出对应方程的两根，再求出，利用函数求解最值.

【小问1详解】

由题可知，，且的两根为1，b，

所以，解得，又，解得，

所以，.

【小问2详解】

由（1）有：，所以不等式变形：

，即，

对应一元二次方程为，

所以，

方程两根为，所以，，

所以，

又，所以，

所以的最小值为1，最大值.

20. 已知幂函数的图像经过点.

（1）求证：，其中.

（2）设，若“，”是真命题，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用题意可求得，然后利用作差法即可证明；

（2）由题意可得当，，分，和三种情况进行分类讨论即可得到答案

【小问1详解】

由是幂函数可设，

将代入可得，解得，所以，

当，

所以，，

所以，

所以

【小问2详解】

，

因为“，”是真命题，所以当，，

当时，易得单调递减，此时，故舍去；

当时，，满足“，”；

当时，易得单调递增，只需，解得，所以，

综上所述，实数a的取值范围

21. 已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比,对该种矿石加工时,有时需要将一块较大的矿石切割成两块较小的矿石,在切割过程中的重量损耗忽略不计,但矿石的价值会损失.

（1）把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石时,价值损失率为37.5%,求x的值;

（2）把一块该种矿石切割成两块矿石时,价值损失率最大值是多少？

（注：价值损失率=）

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意设出稀有矿石的价值与其重量的函数解析式,根据公式,列出关于价值损失率的等式,求出的值;

(2)不妨设切割成两块矿石时,一块重量为,一块重量为,根据公式列出等式,求出最值.

【小问1详解】

解:由题知,不妨设稀有矿石的价值为,其重量为,,

由题知,两块矿石的重量为和,

因为价值损失率为37.5%,

即,

即,故或;

【小问2详解】

由(1)知,不妨设切割成两块矿石时,一块重量为,一块重量为,

根据公式价值损失率=,

当且仅当时价值损失率取得最大值,最大值为.

22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.

（1）求的对称中心；

（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解；

（2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：，

设的对称中心为，

由题意，得函数为奇函数，

则，

即，

即，

整理得，

所以，解得，

所以函数的对称中心为；

【小问2详解】

解：因为对任意的，总存在，使得，

所以函数的值域是函数的值域的子集，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

所以的值域为，

设函数的值域为集合，

则原问题转化为，

因为函数是奇函数，所以函数关于对称，

又因为，所以函数恒过点，

当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，

所以函数在上递增，

又，

所以的值域为，即，

又，

所以，解得，

当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，

所以函数在上递减，

则，

又，

所以，解得，

当即时，

在上递减，在上递增，

又因函数过对称中心，

所以函数在上递增，在上递减，

故此时，，

要使，

只需要，解得，

综上所述实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，有一定的难度.