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    湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考(一)数学(Word版附解析) 试卷
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    湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考(一)数学(Word版附解析)

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    这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考(一)数学(Word版附解析),共24页。试卷主要包含了 已知集合,则以下结论正确的是, 已知等比数列满足,则的值为, 已知复数,则是的, 已知向量,,若,则的值为等内容,欢迎下载使用。

    雅礼中学2023届高三月考试卷(一)

    数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合,则以下结论正确的是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由题得, 再判断得解.

    【详解】由题得, 所以不是的子集,

    故选:B

    2. 已知等比数列满足,则的值为

    A. 2 B. 4 C.  D. 6

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据题意和等比数列的性质求出,结合计算即可.

    【详解】根据等比数列的性质可得

    ,解得

    ,故可得

    故选:B

    3. 已知复数,则的(   

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】

    【分析】求出即可得出.

    【详解】,可得,解得0

    所以的充分不必要条件.

    故选:A.

    4. 已知向量,若,则的值为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】先由得出,再按照齐次分式化简求值即可.

    【详解】.

    故选:B.

    5. 如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,过的平面与直线平行,则平面截该正方体所得截面的面积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】首先取的中点,连接,易证平面,从而得到平面为所求截面,再计算其面积即可.

    【详解】取的中点,连接,如图所示:

    因为,所以四边形为平行四边形,所以.

    平面平面

    所以平面,即平面为所求截面.

    所以.

    故选:B

    【点睛】本题主要考查线面平行的判定,同时考查了正方体的截面,属于简单题.

    6. 某工厂有两个生产车间,所生产的同一批产品合格率分别是,已知某批产品的分别是两个车间生产,质量跟踪小组从中随机抽取一件,发现不合格,则该产品是由A车间生产的概率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据贝叶斯公式计算可得.

    【详解】B1B2,分别表示事件:任取的产品为甲、乙车间生产,

    A=“抽取的产品是不合格品,由条件知

    则该产品是由A车间生产的概率为P(B1|A)

    所以

    .

    故选:D.

    7. 已知椭圆的左、右焦点分别为P为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】关于平分线的对称点为,根据题意可得三点共线,设,则,在中,分别求得,再利用余弦定理可得的齐次式,即可得出答案.

    【详解】解:设关于平分线的对称点为

    三点共线,

    ,则

    ,所以为等边三角形,所以

    ,所以

    中,由余弦定理可得:

    ,所以

    所以.

    故选:B.

    8. 中,角所对三边分别为,若的面积为1,则的最小值是(   

    A. 2 B. 3 C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由三角形面积公式得到,利用角A的三角函数表达出,利用数形结合及的几何意义求出最值.

    【详解】因为△ABC的面积为1,所,可得

    ,可得

    ,其中

    因为表示点与点(cosAsinA)连线的斜率,

    如图所示,当过点P的直线与半圆相切时,此时斜率最小,

    在直角△OAP中,,可得

    所以斜率的最小值为

    所以m的最大值为,所以,所以,即BC的最小值为

    故选:C

    【点睛】思路点睛:解三角形中最值问题,要结合基本不等式,导函数或者数形结合,利用代数式本身的几何意义求解.

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2.

    9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示:

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    利润y/亿元

    2

    3

    4

    5

    7

    已知变量yx之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的回归直线方程为,则下列说法正确的是(   

    A.

    B. 变量yx之间的线性相关系数

    C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

    D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】首先求出,根据回归直线方程必过,即可求出,从而得到回归直线方程,根据成正相关,即可得到相关系数,再令求出,即可预测第6年的利润,最后根据方差公式求出利润的方差,即可判断D

    【详解】解:依题意

    因为回归直线方程为必过样本中心点,即,解得

    A正确;则回归直线方程为,则成正相关,即相关系数,故B错误,

    ,即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元,故C正确,

    该人工智能公司这5年的利润的方差为,故D错误;

    故选:AC

    10. 已知抛物线的焦点为,过原点的动直线交抛物线于另一点,交抛物线的准线于点,下列说法正确的是(   

    A. 为线段中点,则 B. ,则

    C. 存在直线,使得 D. 面积的最小值为2

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】对于A,求出点的横坐标,再根据抛物线的定义求出,即可判断;

    对于B,根据抛物线的定义求出点的横坐标,再求出,即可判断,

    对于C,则,判断是否有解,即可判断;

    对于D,根据,结合基本不等式即可判断.

    【详解】解:抛物线的准线为,焦点

    中点,所以,所以,故A正确;

    ,则,所以,故B错误;

    ,则,所以

    所以,所以不垂直,故C错误;

    当且仅当,即时,取等号,

    所以面积的最小值为2,故D正确.

    故选:AD

    11. 对于函数,下列结论正确得是(   

    A. 的值域为 B. 单调递增

    C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】先分析函数的奇偶性与周期性,再利用周期性,选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.

    【详解】

    所以

    所以是偶函数,

    所以是函数的周期,

    的最小正周期为.

    对于A,因为的最小正周期为,令,此时

    所以

    ,所以有,可知其值域为,故A正确;

    对于B,由A可知,上单调递增,在上单调递减,

    因为

    所以上不是单调递增,故B不正确;

    对于C,因为

    所以

    所以的图象不关于直线对称,故C不正确;

    对于D,前面已证明正确.

    故选:AD

    12. 已知正四棱台(上下底面都是正方形的四棱台).下底面ABCD边长为2,上底面边长为1,侧棱长为,则(   

    A. 它的表面积为

    B. 它的外接球的表面积为

    C. 侧棱与下底面所成的角为60°

    D. 它的体积比棱长为的正方体的体积大

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】分别求得上、下底面面积,再求得侧面等腰梯形的面积,即可判断A的正误;如图作辅助线,可求得各个长度,根据三角函数的定义,可判断C的正误;求得的长,分析可得即为正四棱台外接球的球心,且外接球半径,代入表面积公式,可判断B的正误;分别求得正四棱台的体积和正方体的体积,利用作商法比大小,即可判断D的正误,即可得答案.

    【详解】由题意得:上底面的面积,下底面的面积

    侧面为等腰梯形,过分别做AB的垂线,垂足为EF,如图所示

    所以,则

    所以

    所以梯形的面积为

    所以正四棱台的表面积,故A正确;

    连接,且交于点,连接ACBD交于点,连接

    垂直底面ABCD

    G,则底面ABCD,则四边形为矩形,

    由题意得,所以

    同理

    ,所以

    中,

    所以,即侧棱与下底面所成的角为60°,C正确

    所以.

    连接,在中,

    所以点的距离相等,均为

    所以点即为正四棱台外接球的球心,且外接球半径

    所以外接球的表面积,故B错误;

    正四棱台的体积

    棱长为的正方体的体积

    所以,所以

    所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大,故D正确;

    故选:ACD

    【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式,并灵活应用,难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心,考查分析理解,数形结合的能力,属中档题.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 设随机变量服从正态分布.,则______.

    【答案】0.4##

    【解析】

    【分析】根据正态分布的对称性可求.

    【详解】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线的对称轴为

    所以

    所以,所以.

    故答案为:0.4.

    14. ,则的值 ___________________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据赋值法分别令,然后可得.

    详解】,得,令,得,所以

    故答案为:

    15. 对圆上任意一点,若点P到直线的距离和都与xy无关,则a的取值区间为____________

    【答案】

    【解析】

    【分析】画出图形,由图可知当在圆左上方时,点与直线的距离之和均为的距离,即此时与 xy的值无关,然后计算出直线与圆相切时的值,从而可得a的取值范围

    【详解】解:点到直线的距离和为

    因为xy无关,所以距离之和与点无关,

    如图所示,当在圆左上方时,点与直线的距离之和均为的距离,即此时与 xy的值无关,

    当直线与圆相切时,,化简得

    解得(舍去)

    所以

    故答案为:

    【点睛】关键点点睛:此题考查直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查数学转化思想,解题的关键是画出图形,由图可知当在圆左上方时,点与直线的距离之和均为的距离,即此时与 xy的值无关,然后计算出直线与圆相切时的值,从而可得答案,属于中档题

    16. ,则的最小值为_________

    【答案】

    【解析】

    【分析】表示成的函数,再借助均值不等式求解作答.

    【详解】依题意,,则

    当且仅当,即时取“=”,此时,

    所以,当时,取最小值.

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 在平面直角坐标系中,已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.

    1)求的值;

    2)若角满足,求的值.

    【答案】1;(2.

    【解析】

    【分析】1)由角的终边经过点,结合三角函数的定义可求,然后结合两角和的正弦公式可求;

    2)由,结合同角平方关系可求,然后根据,及两角差的余弦公式可求.

    【详解】1)∵角的终边经过点,∴.由三角函数的定义得.

    .

    2)∵,∴

    ∴当时,

    时,.

    综上所述:.

    【点睛】思路点睛:先利用三角函数的定义求出,再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.

    18. 设正项数列的前项和为,已知.

    1的通项公式;

    2是数列的前项和,求.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由可求得的值,令,由可得出,两式作差可推导出数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列的通项公式;

    2)计算出,然后利用等差数列的求和公式可求得.

    【小问1详解】

    解:当时,,所以,又,故

    时,,而,两式相减得

    整理得,因为,所以

    是以为公差的等差数列,从而.

    【小问2详解】

    解:

    ,其中

    所以.

    19. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,底面ABCDM为线段PC的中点,N为线段BC上的动点.


     

    1证明:平面平面

    2当点N在线段BC的何位置时,平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°?指出点N的位置,并说明理由.

    【答案】1证明见解析   

    2N在线段BC的中点

    【解析】

    【分析】1)由底面ABCD,可得,而,可证得平面,从而得,而,所以平面,再由面面垂直的判定定理可得结论,

    2)设,以为原点,以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解即可

    【小问1详解】

    证明:因为底面ABCD底面ABCD

    所以

    因为

    所以平面

    因为平面

    所以

    因为四边形为正方形,

    所以

    因为在中,M为线段PC的中点,

    所以

    因为

    所以平面

    因为平面

    所以平面平面

    【小问2详解】

    当点N在线段BC的中点时,平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°,理由如下:

    因为底面平面

    所以

    因为

    所以两两垂直,

    所以以为原点,以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

    ,则

    ,则

    为平面的法向量,则

    ,令,则

    为平面的法向量,则

    ,令,则

    因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°

    所以

    化简得,得

    所以当点N在线段BC的中点时,平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°

    20. 最近考试频繁,为了减轻同学们的学习压力,班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子,其中白色球与黄色球各3个,红色球与绿色球各1.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分,黄球每个记2分,红球每个记3分,绿球每个记4分,规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下:只能一个人摸球;摸出的球不放回;摸球的人先从袋中摸出1球;若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出2个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,他的得分为两次摸出的球的记分之和;剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和.

    1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲获胜的概率;

    2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分的分布列和数学期望

    3)第一轮比赛结束,有同学提出比赛不公平,提出你的看法,并说明理由.

    【答案】1;(2)分布列见解析,;(3)比赛不公平,理由见解析.

    【解析】

    【分析】1)甲再摸2球至少得4分,分两种情况:一个红球,一个其他球,或者两个黄球,求出方法数,由此根据古典概型公式计算出概率;

    2)乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出 3个小球,可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况,分别计算概率得概率分布列,从而计算出期望.

    3)以第一次摸出的球的颜色分类,分别计算获胜的概率,再计算概率的期望,与比较大小即可.

    【详解】1)记甲第一次摸出了绿色球,求甲获胜为事件

    2)如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出3个小球,则得分情况有:6分,7分,8分,9分,10分,11分

    所以的分布列为:

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    所以的数学期望.

    3)由第(1)问知,若第一次摸出来绿球,则摸球人获胜的概率为

    由第(2)问知,若第一次摸出了红球,则摸球人获胜的概率为

    若第一次摸出了黄球,则摸球人获胜概率为

    若第一次摸出了白球,则摸球人获胜的概率为

    则摸球人获胜的概率为

    所以比赛不公平

    【点睛】关键点点睛:本题第三问,判断是否公平,即判断任何一方获胜的概率是不是,但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响,所以需要对第一摸球进行分类.

    21. .

    1)证明:

    2)若,求的取值范围.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【解析】

    【分析】1)设,根据函数的单调性证明结论成立;

    2)通过讨论的范围,求出函数的导数,根据函数的单调性确定的取值范围即可.

    【详解】1)由题意可设,有,所以在(0,1)单减,

    所以,即

    ,则有单调递增,得,所以得证;

    2)由(1)可知时,成立,

    则当时,设,则单调递增,

    单调递减,则有,此时不符合题意;

    ,所以有唯一零点,可记为

    ,此时单调递减,有,则不符合题意;

    综上可知,即的取值范围为.

    【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极()值问题处理.

    22. 已知双曲线和点.

    1斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点,求最小时的值.

    2过点的动直线与双曲线交于两点,若曲线上存在定点,使为定值,求点的坐标及实数的值.

    【答案】1   

    2或者

    【解析】

    【分析】1)由对称性可设,由数量积得,再由点在双曲线上,进而可得,进而可得最小时的值.

    ,过点的动直线为,联立直线与双曲线的方程,结合韦达定理可得,△,用坐标表示,化简得,由于上式对无穷多个不同的实数都成立,从而列,解得,进而可得答案.

    【小问1详解】

    由对称性可设

    因为点在双曲线上,所以,即,且

    所以

    时,为直角,

    时,为钝角,

    所以最小时,.

    【小问2详解】

    ,由题意知动直线一定有斜率,设点的动直线为

    联立

    所以,解得

    ,即

    化简得

    化简得

    由于上式对无穷多个不同的实数都成立,

    所以

    代入,从而

    如果时,那么,此时不在双曲线上,舍去,

    因此,从而,代入,解得

    此时在双曲线上,

     

    综上,,或者.

    【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题,联立直线与曲线的方程是必要手段,然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围,利用点的坐标运算得直线的斜率,对计算能力要求较高.

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