湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(学生版+解析)

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(学生版+解析)，共24页。

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 若，，，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
3. 在中，点D是AB中点，则( )
A. B.
C. D.
4. 设，则“”是“”的( )．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线AE是共面直线
C. 直线AE与直线是异面直线D. 直线AE与直线是共面直线
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为( )
A. B. C. D.
7. 若，，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域(其中，)，若区域的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9. 在中，已知，，，则角的值可能为( )
A. B. C. D.
10. 下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B 单位向量，则
C. 若点为的重心，则
D. 当时，使成立的的取值范围为
11. 已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是( )
A. 若，且，则
B. 若相交，且都在外，，则
C. 若，且，则
D. 若，则
12. 已知函数，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 在上单调递减D. 最小值为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13. 命题“，都有”的否定是___________.
14. 复数的模为__________.
15. 已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
16. 在凸四边形中，，，，则长度范围__________.
四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知棱长为1的正方体中．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
18. 已知向量，，其中.
(1)当时，求x值的集合；
(2)，求.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
20. 某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n(单位：)，二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y(单位：)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积60倍以上？(参考数据：，)
21. 在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围(点是边中点).
22 已知函数(，且)满足.
(1)求a的值；
(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.
雅礼教育集团2023年上学期期中考试试卷
高一 数学
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的概念，即可得出答案.
【详解】根据复数的概念可知，的虚部为.
故选：B.
2. 若，，，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
故选：B.
3. 在中，点D是AB的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算即可.
【详解】因为点D是AB的中点，
所以
所以
故选：D.
4. 设，则“”是“”的( )．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.
5. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线AE是共面直线
C. 直线AE与直线是异面直线D. 直线AE与直线是共面直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.
【详解】由于与均在平面内，不是异面直线，故A错误；
平面，平面，点不在直线上，所以和是异面直线，故B错误；
平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故C正确；
平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故D不正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.
【详解】由题意得，得，，
所以两个球冠的表面积之和为，
灯笼中间球面的表面积为．
因为上下两个圆柱的侧面积之和为，
所以围成该灯笼所需布料的面积为．
故选：B.
7. 若，，，，则( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
故选：C.
8. 已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域(其中，)，若区域的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作图得出区域D，然后根据向量关系得出，，然后表示出，根据和的关系可得出，，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案.
【详解】
如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得，
，
作，，，，
则四边形，，均为平行四边形.
由题意可知:点组成的区域D为图中的四边形及其内部.
因为，，，
所以，，，，
所以，，，
所以，.
又，则.
所以，.
因为四边形的面积，
所以，即，
，
当且仅当时取等号.
的最小值为4.
故选：A.
二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9. 在中，已知，，，则角的值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦定理求出，再根据可得结果.
【详解】由正弦定理得，得，
因为，且，所以或.
故选：BC.
10. 下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 单位向量，则
C. 若点为的重心，则
D. 当时，使成立的的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】若可判断A；由坐标向量的模长公式可判断B；由重心的向量表示可判断C；由在的单调性可判断D.
【详解】对于A，若，则不一定平行，故A不正确；
对于B，单位向量，则，
则，故B正确；
对于C，分别取，，中点，，则，
为的重心，，，故C正确；
对于D，当时，在单调递增，且，
当时，在单调递增，且，
，所以，故D正确.
故选：BCD
11. 已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是( )
A. 若，且，则
B. 若相交，且都在外，，则
C. 若，且，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.
【详解】A：若，且，则可能相交、平行，错误；
B：若相交，且都在外，，由面面平行的判定可得，正确；
C：若，且，则可能相交、平行，错误；
D：若，由线面平行性质定理得，正确.
故选：BD
12. 已知函数，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 在上单调递减D. 最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知可得，则可知函数在R上递减.然后即可判断A、B项；取特殊值，即可说明C项；换元可得，，，代入化简可得.令，可得，代入整理可得.进而根据的取值范围，结合单调性，即可得出答案.
【详解】因为，所以.
因为，则，，所以，.
对于A项，因为，，故，在R上递减.
由，
令，则在R上递减，
且，所以，，
且，则，恒成立，
所以，故A项正确；
对于B项，由A知，，，所以，故B项正确；
对于C项，取，，，则，所以C错误；
对于D项，因为，
令，，，
则.
令，则，，
且.
因为，则，
所以，故，
可得.
设，，
又在上单调递增，且，，
故，即，
所以，所以D正确.
故选:ABD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13. 命题“，都有”的否定是___________.
【答案】，有
【解析】
【分析】由命题的否定的定义求解．
【详解】题“，都有”的否定是：．
故答案为：．
14. 复数的模为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简得出，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，.
故答案为：.
15. 已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.
【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，
由题意可知，，
又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，
而圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，，
故答案为：
16. 在凸四边形中，，，，则长度的范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】平移CD到，延长，交于点，可得.设，根据角度关系可推得，根据相似可得出，求解即可得出答案.
【详解】
如图，平移CD到，延长，交于点，
则，
所以，且，
所以.
又，
所以.
设，
在和中，有，，
所以，
所以，即，
整理可得，解得(舍去负值)，
所以，所以，，
所以.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：根据平移，得出的两个边界，然后根据已知角，得出三角形相似，进而得出关系式，即可得出答案.
四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知棱长为1的正方体中．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
【分析】(1)证明，再由线面平行的判定定理证明；
(2)根据三棱锥体积公式计算即可.
【详解】证明：(1)在棱长为1的正方体中，，且
所以四边形为平行四边形
又平面，平面，
平面；
(2)由正方体易知，三棱锥的高为，
所以
．
18. 已知向量，，其中.
(1)当时，求x值集合；
(2)，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示，即可推得，求解即可得出答案；
(2)代入，求出的坐标，然后得出的坐标，根据模的运算，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，所以，
所以，所以，
所以x值的集合为.
【小问2详解】
当时，所以，，
所以，，
所以.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为和最小值为0
【解析】
【分析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；
(2)根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
由图象可知：，
将点代入得，
∴
【小问2详解】
由得
当时，即；
当时，即；
20. 某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n(单位：)，二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y(单位：)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？(参考数据：，)
【答案】(1)第一个函数模型满足要求，
(2)5月份
【解析】
【分析】(1)由指数函数与幂函数的增长速度判断函数模型，再由待定系数法求得解析式；
(2)建立并求解函数不等式，通过对数运算性质求值.
【小问1详解】
因为两个函数模型，在上都是增函数．
随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢．
因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
所以第一个函数模型满足要求．
由题意知，解得，所以．
【小问2详解】
由，解得，
又，故，
所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上．
21. 在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围(点是边中点).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
(2)先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
【小问2详解】
由(1)得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
22. 已知函数(，且)满足.
(1)求a的值；
(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由题可得，即求；
(2)分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
解得.
【小问2详解】
由题意可知函数的图象在上连续不断.
①当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
又因为，
所以.
根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以上有且只有一个零点.
②当时，，所以，
所以在上没有零点.
③当时，，所以，
所以在上没有零点.
综上所述，在定义域上有且只有一个零点.
因为，即.
所以，
又因为在上单调递减，
所以，
即.
【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有零点；③当时，函数没有零点.