湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一数学上学期入学考试试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一数学上学期入学考试试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：100分
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1. 一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．
【答案】8.5
【解析】
【分析】将该组8个数据从小到大排列，再求解第4，5个数据的平均数即可.
【详解】将该组8个数据从小到大排列有4，6，7，8，9，9，10，11，故这组数据的中位数为.
故答案为：
2. 计算___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由特殊角的正切值，幂与根式的运算计算．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查幂与根式的运算，考查特殊角的正切值，掌握根式和幂的运算法则是解题基础．
3. 化简：________．
【答案】3
【解析】
【分析】将分式通分求解即可.
【详解】
故答案为：3
4. ________．
【答案】
【解析】
【分析】
运用分母有理化，化简求值可得答案．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分母有理化运算，化简求值，属于基础题．
5. 已知，则____________.
【答案】12
【解析】
【分析】由完全平方公式变形求解．
【详解】由已知．
故答案为：12．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．
6. 如图，在中，，，，，则________.
【答案】70°
【解析】
【分析】
由，可得，再结合等腰三角形及内角和为的条件可得解.
【详解】,
,
又，，
,
,
,
,
故答案为：70°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键.
7. 已知，求的值________．
【答案】21
【解析】
【分析】先由题意得，再由立方和公式直接求解即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
因此.
故答案为：.
8. 如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE=________．
【答案】
【解析】
分析】由圆切线性质，设且，结合勾股定理求，即可得结果.
【详解】由圆切线的性质，，
若且，则，，
由，有，可得，
所以.
故答案为：
9. 不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】分情况讨论，当时，可得，当时，不等式显然成立，综上可得答案.
【详解】根据题意，
当时，可得，解得，
当时，不等式显然成立.
综上可得，，
故答案为：.
10. 若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是，即三角形的一边是，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定的范围．
【详解】解：方程有三根，
，有根，
方程的，得．
又原方程有三根，且为三角形的三边和长．
有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，
利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，
②根的判别式与根情况的关系判断，
③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
11. 如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】##
【解析】
【分析】设交上下两半圆于非的两点于，连接，，，根据阴影部分的面积直角三角形的面积（直角三角形的面积直角三角形的面积），结合三角形与圆的面积公式求解即可.
【详解】设交上下两半圆于非的两点于，连接，，．
设半圆的半径是，根据勾股定理，得
，
解得：．
是等腰直角三角形，
．
，．
．
阴影部分的面积直角三角形的面积（直角三角形的面积直角三角形的面积）
．
故答案为：
12. 如图，已知的半径是1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______.
【答案】或或
【解析】
【分析】设点，由题意可得：点到x轴的距离为1，即，代入解析式可求点坐标．
【详解】设点
与x轴相切
，
，
当时，，
解得：，
点
当时，，
解得：，
点，
故答案为：或或.
【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是解决问题的关键．
13. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=________．
【答案】
【解析】
【分析】联立直线与抛物线的方程可得坐标，再作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，此时的周长最小，再点到直线的距离，结合的长求解面积即可.
【详解】，解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
直线与轴的夹角是，
点到直线的距离是：，
的面积是：，
故答案为：．
14. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】应用凑配及十字相乘法进行因式分解.
【详解】
.
故答案为：
15. 二次函数（）的大致图象如图所示，顶点坐标为（，），下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有__________个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得、，进而判断②③；由有两个根和，且，即可判断④；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤.
【详解】抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交轴的负半轴，则，
，①错误；
抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，②正确，
，③正确，
抛物线交轴于，，
若方程有两个根和，且，则，④正确，
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，⑤正确，
故答案为：4
16. 若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】讨论二次函数对称轴与x=的位置关系，结合已知最大值求参数m.
【详解】，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
①当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：（舍去）；
②当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：．
③当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得（舍去）或，
综上所述，或.
故答案为：或
17. 如图，在菱形ABCD中，边AB=5，E，F分别在BC和AD上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE，则BF的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取，过作于，易得，进而求得、、，最后应用勾股定理求BF的长.
【详解】在菱形中，，，
，，
如图，在上截取，
则，
菱形中，，，
在和中，
，则．
，又，
．
过作于，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
18. 已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】设出三个方程的公共实数根，变形后可得，再将所求值的式子用代换化简即可.
【详解】设公共实数根为，
则，，，
三式相加得，
即，
因为，
所以，
所以



．
故答案为:3．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19. 随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有人都最喜欢演讲活动，其中，只有人是女同学，现从中任选人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选人来自同一个小组且恰有人是女同学的概率．
【答案】（1）400人，图见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题干所给的数据直接计算并补充图形即可.
（2）利用茎叶图列出所有结果进行计算即可.
【详解】（1）调查总数为（人）（或（人））
最喜欢书法活动的人数为（人）（补图），
最喜欢英语活动的人数占总数的百分比（补图），
最喜欢演讲活动的人数占总人数的百分比为（补图），
（或）（补图），
（2）用分别用、；、表示两个小组的位同学，其中，用表示女同学，
画树状图（或列表）如下：
共有种情况．选出的人来自同一个小组且恰有人是女同学的情况有种
所以选出的人来自同一个小组且恰有人是女同学的概率为．
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用判别式，即可求解；
（2）利用韦达定理表示，代入方程，即可求解.
【小问1详解】
关于的一元二次方程有实数根，

解得：．
【小问2详解】
方程的两个实数根为，，
，，
，即，
解得：．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的角度关系可得证明即可；
（2）先根据平行的性质，结合切割线定理证明，求得，再结合与三角形中的关系求得各边长关系，进而根据结合求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，
是直径，
，即，
，，
，
，
是切线．
小问2详解】
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
．
22. 平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．
【答案】（1）；
（2）满足要求的P为、；
（3），.
【解析】
【分析】（1）由抛物线所过点、对称轴得到与x轴的交点坐标，写出二次函数的两根式，结合C坐标求参数a，即可得解析式.
（2）作的外接圆，利用对称性、圆周角相等确定要求的点位置，根据已知条件求坐标；
（3）由题设的解析式为，找到A关于∠AQB的平分线的对称点A'，使，，在一条直线上，则，再由已知条件求Q的坐标，再由求面积.
【小问1详解】
，
抛物线的对称轴为直线．
抛物线与轴交于、，且为，
点坐标为，，得该抛物线的解析式为．
，抛物线与轴的正半轴交于点，
，点的坐标为．
将代入，解得．
此抛物线的解析式为．
【小问2详解】
作的外接圆，设抛物线的对称轴与轴的交点为点，
设圆与抛物线的对称轴位于轴上方的部分的交点为点，点关于轴的对称点为点，则、均为所求点．
圆心必在边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
、都是弧所对的圆周角，
，且射线上的其它点都不满足．
由（1）知：，，．
则圆心也在边的垂直平分线即直线上．
，由勾股定理得．
．
，由对称性得：．
符合题意坐标为、．
【小问3详解】
点、的坐标分别为、，
∴直线的解析式为，直线与轴所夹的锐角为．
点关于的平分线的对称点为，
若与的平分线的交点为，
则，，，，，三点在一条直线上．
，
．
作轴于点．
点在线段上，，，三点在一条直线上，
，．
点的坐标为．
点在线段上，
设，其中．
，
由两点间距离公式得：，解得．
经检验，在的范围内，则,．
此时．
23. 在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）或或.
【解析】
【分析】（1）证明三点在一条直线上，，再利用得解；
（2）直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）过点作于点，求出,分三种情况讨论解方程即得解.
【小问1详解】
在矩形ABCD中，,
因为，
所以三点在一条直线上，.
又由旋转知
所以.
【小问2详解】
当时，
当时，
当时，.
【小问3详解】
.
,
过点作于点（如图），
因为为等边三角形，
，
所以，
，
，
，
当时，（舍去）.
当时，（舍去），
当时，（舍去），
综上所述，当为或或时，△MNC为等腰三角形.