湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三数学上学期月考（二）试卷（Word版附解析）

雅礼中学2023届高三月考试卷（二）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，时量120分钟，满分150分.

第I卷

一、选择题：本题共8小题 ，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先解出集合，再利用集合的交集运算求得结果.

【详解】由得，故，

由得，故，

所以.

故选：B.

2. 在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．

【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，

要求的圆的标准方程为，

故选：A．

3. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C

【解析】

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

4. 在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出总的事件个数，再求恰好有2个1的种数，根据概率公式即可求解.

【详解】每个位置可排0或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为，恰好有2个1的排列的个数共有，

故概率为：，

故选：D

5. 已知圆锥的母线长为 2 ， 轴截面顶角的正弦值是， 过圆锥的母线作截面，则截面面积的最大值是（    ）

A. 1 B.  C. 1 或 2 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】截面形状为等腰三角形，结合面积的正弦形式可得结果.

【详解】∵轴截面顶角的正弦值是，∴轴截面顶角为或，

设截面三角形顶角为，则截面面积为

当轴截面顶角为时，截面面积的最大值是；

当轴截面顶角为时，截面面积的最大值是.

故选：C

6. 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，令则

，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即

于是，，

则故A、B可能；对于D，，，则，与图矛盾，不可能，故选D

7. 已知分别是双曲线的左、右焦点， 过的直线与双曲线的右支相交于、两点， 且． 若， 则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由双曲线的定义可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得离心率的值.

【详解】解：因为，，

由双曲线的定义可得：，

，则，

易得，

在中，由余弦定理可得，

化简得，

所以双曲线的离心率.

故选：B.

8. 在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是

A. 36 B. 24 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】要求三棱锥的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值

【详解】易知，则＝2，

欲使三棱锥的体积最大，只需高最大，

通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值，

所以.

故选．

【点睛】本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（    ）

A. 利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高

B. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化

C. 调查剧院中观众观后感时，从排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法

D. 样本数据、、、、、、、、、的第百分位数是

【答案】AD

【解析】

【分析】利用回归分析可判断A选项；利用平均数和方差公式可判断B选项；利用简单随机抽样的概念可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，

则说明线性回归模型的拟合精度较高，A对；

对于B选项，设样本数据、、、的期望为，方差为，

在每个数据上减去同一个数，新数据为、、、，

则新数据期望为，

新数据的方差为

，

所以，期望发生了变化，而方差不变，B错；

对于C选项，调查剧院中观众观后感时，从排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，

这种抽样是简单随机抽样，不是分层抽样，C错；

对于D选项，样本数据由小到大排列依次为：、、、、、、、、、，

共个数，因为，故该样本第百分位数为，D对.

故选：AD.

10. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；

对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.

故选：ABC.

11. 已知函数， 则下列结论正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 在区间单调递减

C. 的周期是 D. 的最大值为 2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据偶函数的定义即可判断A,根据复合函数的单调性即可判断B,根据周期的定义即可判断C，根据三角函数的性质即可判断D.

【详解】的定义域为,，故是偶函数，故A正确，

当时，，且在分别单调递增和单调递减，由复合函数的单调性可知均在单调递减，因此在区间单调递减，故B正确，

由于，故不是的周期，故C错误，

由于，所以，而，故，故D错误，

故选：AB

12. 下列不等关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合函数、指数函数、幂函数的单调性逐项判断各选项，可得出合适的选项.

【详解】构造函数，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则.

对于A选项，，即，即，可得，

又因为，所以，，A对；

对于B选项，，即，即，可得，

在中，令，则，化简得，

故，

所以，即，所以，，故，B对；

对于C选项，因为，则，

故，故，C错；

对于D选项，因为，即，则，即，

所以，，又，因此，，D对.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

第Ⅱ卷

三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 已知且， 则的夹角是_____．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意易得，结合夹角余弦公式可得结果.

【详解】∵且，

∴，即，

∴此时夹角为锐角，

∴的夹角是.

故答案为：

14. 已知函数(为常数)为奇函数， 且为增函数， 则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据奇函数计算出的值，再利用导数和基本不等式即可计算出实数的取值

【详解】因为(为常数)为奇函数且定义域为,所以，

为为增函数等价于恒成立

即

令（当且仅当时取等号）

故答案为：

15. 已知抛物线，直线与相交于两点，若使得，则_____．

【答案】2

【解析】

【分析】设，联立直线与方程，可得，的值，同时求出，的值，由，可得，代入各值可得的值.

【详解】解：设，依题意得

,整理得,

所以，，

可得：，，

由，且，可得,

可得：，

整理可得：，

可得：，即解得，

故答案为：2

16. 已知三角形数表：

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．

【答案】95

【解析】

【分析】先找出每行的规律，再利用等比数列和等差数列的前项求解.

【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

设第组的项数为，则组的项数和为，

因为，令得

即出现在第13组之后，第组的和为，

组总共的和为，

若，

则项的和应与 互为相反数，

    设项总共有项，则其前项和为

所以

解得

当时，，

则的最小值为.

故答案为：95.

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距．

（1）求数列的通项公式；

（2）设， 求证： （且）．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求解坐标，求导，可得切线斜率，利用直线方程的点斜式，即得解；

（2）代入，可得，由，裂项相消，即可证明

【小问1详解】

由题意，令，解得

又在轴正半轴，故

，故切线斜率

抛物线在点处的切线方程为

令

所以它在轴上的截距．

【小问2详解】

由题意，

故

又对且时

得证

18. 在中， 角的对边分别为， 若．

（1）求证： ；

（2）对， 请你给出一个的值， 使不等式成立或不成立，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析   

（2）；证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据三角形的内角和即可求解，

（2）当时，由余弦定理以及正弦定理，结合不等式以及三角函数的性质，即可证明成立，当时，可举例子，即可证明不成立.

【小问1详解】

由且得

【小问2详解】

当时， 不等式成立， 即有． 证明如下：

由余弦定理有

由 （1） 知，

所以， 即．

或当时， 不等式成立， 即有． 证明如下：

由正弦定理有

(其中是外接圆的半径)

由 （1） 知．

而， 所以， 又，

所以， 即．

或，

而由余弦定理

由 （1） 知 ，

所以， 即．

或当时， 不等式不成立， 即不成立． 证明如下：

取， 则有，

由于故,因此

所以， 即．

说明此时不成立

19. 如图1，在中， 是边的中点，现把 沿折成如图2所示的三棱锥 ，使得．

（1）求证：平面平面 ；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）做辅助线可得，，且，再由余弦定理有．

又平面平面平面；（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面的法向所求角的余弦值.

试题解析： （1）在图1中，取的中点，连接交于，则，

在图2中，取的中点，连接，，因为，所以，且，

在中，由余弦定理有，

所以，所以．

又，所以平面，

又平面，所以平面平面

（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，则

，

，

显然平面法向量为设平面的法向量为，则由得；故所求角的余弦值.

考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、二面角.

20. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．
 

现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令

，

则是对两次排序的偏离程度的一种描述．

(Ⅰ)写出的可能值集合；

(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

【答案】(Ⅰ)｛0，2，4，6，8｝ (Ⅱ)见解析(Ⅲ) (i)1/216(ii)见解析

【解析】

【详解】解: ( 1 ) X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

:在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个,

所以a2 , a4中的奇数个数等于a1 , a3中的偶数个数,

与的奇偶性相同，

所以必为偶数,

X的值非赖,且易知其值不大于8，

.:.X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

( 2 )可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，

计算每种排列下的x的值，

在等可能的假定下，

得到

(3)①首先

将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得

②由于是一个很小的概率,

这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，

:我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.

21. 已知是圆上的任意一点， 线段的垂直平分线交于点．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设交轨迹于另两点． 记和的面积分别为． 求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出动点的轨迹的方程.

（2）设，根据余弦定理求出与的关系，从而得出，同理计算出，根据即可计算出答案.

【小问1详解】

由题意可知，

所以动点的轨迹是以A、F为焦点且长轴长为 4 的椭圆， 因此方程为

【小问2详解】

设，则， 则在中， 由余弦定理得，

则有． 同理．

所以．

设， 则． 同理可得

所以． 易知，

所以的取值范围是．

22. 已知函数 (为正有理数)．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明： 当时，．

【答案】（1）的增区间为，减区间为，   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由于在单调递减，所以，令，所以只要证即可，而，所以只要证明： 当时，，而，所以令，然后利用导数求的最大值小于等于零即可.

【小问1详解】

函数的定义域为．

（正有理数)，

当时，，，所以；

当时，，，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的增区间为，减区间为；

【小问2详解】

因为在单调递减， 所以．

记，

因此要证，只要证即可

而且，

因此只要证明： 当时，．

而．

令，则，

 令， 则．

令，则，

令，则，

所以在(0，1]上单调递增，

又，

又在(0，1]上连续，

故存， 使得当时，，当时，，

所以在上单调递减， 在单调递增．

又，所以．

即，所以单调递减，

所以，即．

综上所述，当时，．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当时，，构造函数，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.