2022-2023学年山西省忻州市五台县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年山西省忻州市五台县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年第届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”如图的图片成中心对称的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

2. 已知一元二次方程，下列判断正确(    )

A. 该方程有两个不相等的实数根 B. 该方程有两个相等的实数根
C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况无法确定

3. 对于抛物线，下列判断正确的是(    )

A. 顶点
B. 抛物线向左平移个单位长度后得到
C. 抛物线与轴的交点是
D. 当时，随的增大而增大

4. 如图所示，在中，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值．下列各选项中，正确的是(    )

A. 函数的图象开口向上
B. 函数的图象与轴无交点
C. 函数的最大值大于
D. 当时，对应函数的取值范围是

7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    )
    

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，在中，，在平面内将绕点旋转到位置，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，，则的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是______只需写一个．
12. 将方程用配方法化为，则的值是______．
13. 的半径为，点到直线的距离为，当______时，与相切．
14. 如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：______．

15. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
    若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．
17. 本小题分
    如图，是的直径，点是上一点，且点是弦的中点．
    依题意画出弦；尺规作图不写作法，保留作图痕迹
    若，，求的半径．

18. 本小题分
    在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．按要求作图：
    画出关于原点的中心对称图形．
    将绕点逆时针旋转得到，则的坐标为______．
    求面积．

19. 本小题分
    已知，如图，是的直径，平分交于点，过点的切线交的延长线于求证：．
     
20. 本小题分
    如图，抛物线的顶点为，交轴于点，两点，交轴于点．
    求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
    判断的形状，并求出的面积．

21. 本小题分
    数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
    在图中画出绕点顺时旋转后的，并判断的形状是______；
    试判断的形状，并说明理由；
    由、两问可知： ______．

22. 本小题分
    已知直线与，是的直径，于点．
    如图，当直线与相切于点时，求证：平分；
    如图，当直线与相交于点，时，求证：．
     
23. 本小题分
    综合与探究
    抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点，已知．
    求、两点的坐标；
    求抛物线的解析式；
    在抛物线上是否存在一点，使的内心在轴上？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查成中心对称，掌握成中心对称的概念是解题的关键．
根据“一个图形绕一点旋转后能与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称”，对各个选项进行判断即可得出答案．
【解答】
解：题干中的图形旋转后，头应朝下，所以只有选项D中图形与题干中图形成中心对称，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：在方程中，，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
抛物线的顶点，故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，即本选项不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，本选项符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：．
根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，根据二次函数的性质和平移的规律逐一对照四个选项即可得出结论．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
．
故选：．
首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得：长方体的长为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
故选：．
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题意知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数的图象开口向下，故本选项不合题意；
B.函数的与轴的交点为和，故本选项不合题意；
C.当时，函数有最大值为，故本选项不合题意；
D.当时，对应函数的取值范围是，故D选项符合题意．
故选：．
由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
连接交于点，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
【解答】
解：连接交于点，连接，

点为运行轨道的最低点，
，
米，
在中，米，
点到弦所在直线的距离米，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，垂足为点，如图，
绕点旋转到位置，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
，垂足为点，如图，先根据旋转的性质得到，，则利用等腰三角形的性质得到，则根据平角的定义计算出，然后利用互余计算出的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
由题意可得，由勾股定理可得，根据锐角三角函数可求的长，再根据勾股定理可求的长，即可求的半径．
【解答】
解：如图，连接，，
是切线，
，
是直径，
，且，
，且，
，且，
，
，
，
，
，

故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，，
的直径，，，
，，
当点位置如图所示时，
，，，
，
，
；
当点位置如图所示时，
同理可得：，
，
，
在中，；
综上所述，的长为或，
故选：．
分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出的长，连接，由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
该抛武线的解析式为，
又二次函数的图象开口向上，
，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据顶点坐标知其解析式满足，由开口向上知，据此写出一个即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故答案为：．
把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值．
本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把顶点式化成一般式是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的半径为，
点到直线的距离为时，直线与的位置关系是相切，
故答案为：．
设圆的半径是，点到直线的距离是，当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离；根据以上结论判断即可．
本题考查了对直线与圆的位置关系的理解和运用，直线与圆的位置关系有三种：当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相离．只要比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小即可．
 

14.【答案】先以直线为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点顺时针旋转度 

【解析】解：甲树是这样由乙树变换得到的：先以直线为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点顺时针旋转度．
由图易知，关于直线对称，那么可先以直线为对称轴作轴对称变换，得到与地面垂直的图形，最后的图形与地面的夹角是，所以应把所得的图象绕点顺时针旋转度．
旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹可知，垂直平分，
点是的中点，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，可得到，进而得出的度数．
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线以及垂径定理、圆周角的应用．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根，
，
若，，则方程变形为，解得．
本题答案不唯一 

【解析】计算判别式的值得到，则可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
利用方程有两个相等的实数根得到，设，，方程变形为，然后解方程即可本题答案不唯一．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

17.【答案】解：画出弦，如图．

如图，连接，

于点，是的直径，
，，
，
．
设的半径为，则，，
在中，，
，
即，
解得，
即的半径为． 

【解析】过点作的垂线即可；
设的半径为，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理和尺规作图等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求，的坐标为为．
故答案为：；
．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图旋转变换，中心对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：连接．

与相切于，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由切线的性质可知，证明即可解决问题；
 

20.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
与轴交于点，
，
解得，
抛物线解析式为，
令，可得，
点坐标为；
令，可得，
解得或，
点坐标为，
，，，
，，，
，
是以为斜边的直角三角形，
． 

【解析】由顶点坐标和点坐标，可求得抛物线的解析式，容易求出、的坐标；
根据点的坐标，利用勾股定理可求得、、的长，可判断的形状，并根据直角三角形面积公式求面积．
本题主要考查抛物线与轴的交点，待定系数法及勾股定理的逆定理，根据抛物线的顶点坐标写出其顶点式求得抛物线的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】等边三角形   

【解析】解：如图，为所作；

绕点顺时旋转后的，
，，
为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
为直角三角形．
理由如下：
绕点顺时旋转后的，
，
为等边三角形，
，
在中，，，，
，
为直角三角形．
为等边三角形，
，
为直角三角形．
，
．
故答案为：．
先画图，再利用旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形；
根据旋转的性质得到，再利用为等边三角形得到，然后利用勾股定理得逆定理可证明为直角三角形．
利用为等边三角形得到，再利用为直角三角形得到，从而得到．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了全边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理得逆定理．
 

22.【答案】解：连接，
直线与相切于点，
；
又，
，
；
又，
，
，
即平分；
如图，连接，
是的直径，
，
，
，
在中，四边形是圆的内接四边形，
，
． 

【解析】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
连接，易得，根据平行线的性质就可以得到，再根据得到，就可以证出结论；
如图，连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，由三角形外角的性质，可求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论．
 

23.【答案】解：根据题意知，，即，
，
解得：或，
，；

，
，
，
，
代入抛物线得：，
，
抛物线解析式为；

存在，
假设存在点，使三个内角的角平分线的交点在轴上，则此时轴就是的角平分线．
点关于轴的对称点必在直线上．设为，
，
，
直线过，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
直线与二次函数相交于点，
，
解得：或，
当时，，
当时，，即为点，
存在一点，使三个内角的角平分线的交点在轴上，且点的坐标为． 

【解析】令可得，解之可得；
根据，得，可得的值，即可得抛物线解析式；
假设存在点，使三个内角的角平分线的交点在轴上，则此时轴就是的角平分线，从而得知点的对称点在直线上，待定系数法可得直线的解析式，由直线的解析式和抛物线解析式可得点的坐标．
本题是二次函数综合题、考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的内心等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用解方程求两个函数的交点坐标．