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2022-2023学年山西省运城市夏县九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省运城市夏县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．∠DAB＝∠ABCC．AC＝BDD．∠DAB＝∠BCD
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12（ ）
A．13B．12C．6.5D．6
4．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足＝（ ）
A．黄金分割B．平移C．旋转D．轴对称
5．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝9D．（x+4）2＝9
6．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＞﹣C．m≥﹣D．m≥﹣
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意（ ）
A．25（1﹣2x）2＝16B．25（1﹣x）2＝16
C．25（1﹣2x）＝16D．25（1﹣x）＝16
8．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，A，B两个转盘分别被平均分成三个，四个扇形，B盘各一次，转动过程中，如果指针恰好指在分割线上，则重转，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形ABCD的对角线长分别为8和10，P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PF∥CD交AD于点F，连接EF，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．20C．40D．80
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
12．一个不透明的口袋中装有20个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.8左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数为 ．
13．已知m，n是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则式子m+n﹣mn的值为 ．
14．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣7（a2+b2）﹣8＝0，则a2+b2＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，F，若BE＝3，AF＝5，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：x2+2x﹣1＝0．
17．如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）利用尺规作∠BAD的平分线AE，交边BC于点E，连接DE．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABED是菱形．
19．太原地铁正式运营以来，缓解了南北主干道的交通压力，如图所示的是地铁1号线康宁街站地铁闸口示意图．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择C闸口的概率是 ．
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择同一闸口通过的概率．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求AB的长．
21．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全以上证明过程．
（2）应用以上结论解答问题：如图，在△ABC中，DG∥EC，求证：＝．
22．为满足市场需求，某超市购进一批奥运吉祥物，进价为15元/个，平均每天能售出30个．根据市场调查，销售单价每降低1元
（1）若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出 个，每天的获利为 元．
（2）如果每天要获利225元，为了让更多的消费者拥有该吉祥物，则吉祥物的售价应定为多少元？
23．综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）求证：四边形CEGF是正方形．
（2）求的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形的CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC．
（1）求证：△ACB～△CDA．
（2）若DC＝6cm，AD＝8cm，点P从A点出发，同时点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．当其中一点到达终点时，设运动时间为t（s）
①t为何值时，四边形APQC的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年山西省运城市夏县九年级第一学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
【分析】方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝2或x﹣2＝0，
解得：x8＝2，x2＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．∠DAB＝∠ABCC．AC＝BDD．∠DAB＝∠BCD
【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∴不能判定四边形ABCD是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12（ ）
A．13B．12C．6.5D．6
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝6.5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
4．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足＝（ ）
A．黄金分割B．平移C．旋转D．轴对称
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．
解：若AC，BC＝，则点C为线段AB的黄金分割点．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
5．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝9D．（x+4）2＝9
【分析】先将原方程进行配方，然后选项进行对照，即可得到正确选项．
解：x2+4x﹣5＝0，
配方，得
（x+2）6＝9．
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣﹣﹣配方法，解题的关键是学生明确什么是配方法、如何运用配方法对一元二次方程配方．
6．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＞﹣C．m≥﹣D．m≥﹣
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝[﹣（2m+1）]7﹣4m2＞2，
解得：m＞﹣；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意（ ）
A．25（1﹣2x）2＝16B．25（1﹣x）2＝16
C．25（1﹣2x）＝16D．25（1﹣x）＝16
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：25（1﹣x）2＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可．
解：由题意得：BC＝2，AC＝4，且∠C＝90°，
图中直角边为，2，之比也为4：2，
则与图中△ABC的相似的是B，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
9．如图，A，B两个转盘分别被平均分成三个，四个扇形，B盘各一次，转动过程中，如果指针恰好指在分割线上，则重转，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的结果数，然后根据概率公式计算即可．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的结果数为3，
所以两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于3的概率＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
10．如图，菱形ABCD的对角线长分别为8和10，P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PF∥CD交AD于点F，连接EF，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．20C．40D．80
【分析】由四边形ABCD是两条对角线长分别为8和10的菱形得S菱形ABCD＝×8×10＝40，则S△ABC＝S△CDA＝S菱形ABCD＝20，设EF交AP于点O，可证明四边形AEPF是平行四边形，△OPF≌△OAE，则S阴影＝S四边形BEOC+S△OPF＝S四边形BEOC+S△OAE＝S△ABC＝20，于是得到问题的答案．
解：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，且对角线长分别为8和10，
∴S菱形ABCD＝×8×10＝40，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA＝S菱形ABCD＝×40＝20，
设EF交AP于点O，
∵PE∥BC，AF∥BC，AE∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠OPF＝∠OAE，
∴OP＝OA，
在△OPF和△OAE中，
，
∴△OPF≌△OAE（ASA），
∴S△OPF＝S△OAE，
∴S阴影＝S四边形BEOC+S△OPF＝S四边形BEOC+S△OAE＝S△ABC＝20，
故选：B．
【点评】此题重点考查菱形的性质、菱形的面积公式、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△OPF≌△OAE是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
解：因为，
可得：，d，
把，d代入，
可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例的性质解答．
12．一个不透明的口袋中装有20个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.8左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数为 16 ．
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
解：根据题意得：当实验的次数逐渐增大时，摸到红球的频率在0.8左右摆动，
因此摸到红球的概率为8.8，
∴这个不透明的口袋中红球的个数为20×0.6＝16（个）．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
13．已知m，n是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则式子m+n﹣mn的值为 2 ．
【分析】先根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵m，n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣2，
∴m+n﹣mn＝﹣3﹣（﹣5）＝6．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解答此题的关键．
14．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣7（a2+b2）﹣8＝0，则a2+b2＝ 8 ．
【分析】设t＝a2+b2（t≥0），则原方程转化为t2﹣7t﹣8＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
解：设t＝a2+b2（t≥7），则原方程转化为t2﹣7t﹣4＝0，
所以（t﹣8）（t+2）＝0．
所以t﹣8＝2或t+1＝0．
所以t＝2或t＝﹣1（舍去）．
所以a2+b6＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，F，若BE＝3，AF＝5，则 ．
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝4，再由勾股定理求出AC，再求得EF的长即可．
解：设AC与EF交于点O，如图，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝5+5＝8，
∴AB＝，
∴AC＝，
∴AO＝7，
∴EO＝，
∴EF＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：x2+2x﹣1＝0．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．
解：方程变形得：x2+2x＝4，
配方得：x2+2x+7＝2，即（x+1）6＝2，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15
【分析】由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可求出BC的长，再结合AC＝AB+BC，即可求出结论．
解：∵l1∥l2∥l4，
∴＝，即＝，
∴BC＝18，
∴AC＝AB+BC＝6+18＝24．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）利用尺规作∠BAD的平分线AE，交边BC于点E，连接DE．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABED是菱形．
【分析】（1）根据尺规作图：角的平分线的基本作法作出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BE，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AED，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19．太原地铁正式运营以来，缓解了南北主干道的交通压力，如图所示的是地铁1号线康宁街站地铁闸口示意图．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择C闸口的概率是 ．
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择同一闸口通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两名乘客选择同一闸口通过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，选择C闸口的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择同一闸口通过的结果有7种，
∴两名乘客选择同一闸口通过的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求AB的长．
【分析】（1）由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，则四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝BC＝CD，设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，
设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，
由（1）得：∠DFC＝∠AEB＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：（8﹣x）8+42＝x5，
解得：x＝5，
∴AB＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全以上证明过程．
（2）应用以上结论解答问题：如图，在△ABC中，DG∥EC，求证：＝．
【分析】（1）设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，则＝＝，＝＝，设点B到直线DE的距离为m，则点C到直线DE的距离也等于m，所以S△BDE＝S△DEC＝DE•m，则＝，所以＝；
（2）由DG∥EC，得＝，由EG∥BC，得＝，所以＝．
【解答】（1）证明：如图，分别连接EB，
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝＝，
设点B到直线DE的距离为m，
∵DE∥BC，
点C到直线DE的距离与点B到直线DE的距离相等，都等于m，
∴S△BDE＝S△DEC＝DE•m，
∴＝，
∴＝．
（2）证明：∵DG∥EC，
∴＝，
∵EG∥BC，
∴＝，
∴＝．
【点评】此题重点考查三角形的面积公式、两条平行线之间的距离处处相等、根据面积等式证明线段的比相等、平行线分线段成比例定理的证明与应用等知识与方法，正确地用代数式表示三角形的面积的比是解题的关键．
22．为满足市场需求，某超市购进一批奥运吉祥物，进价为15元/个，平均每天能售出30个．根据市场调查，销售单价每降低1元
（1）若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出 39 个，每天的获利为 273 元．
（2）如果每天要获利225元，为了让更多的消费者拥有该吉祥物，则吉祥物的售价应定为多少元？
【分析】（1）利用日销售量＝30+3×销售单价降低的钱数，可求出日销售量，再利用每天的获利＝每个的销售利润×日销售量，即可求出每天的获利；
（2）设吉祥物的售价应定为x元，则每个的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出（105﹣3x）个，利用每天的获利＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：30+3×（25﹣22）
＝30+3×6
＝30+9
＝39（个），
（22﹣15）×39
＝7×39
＝273（元）．
∴若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出39个．
故答案为：39，273；
（2）设吉祥物的售价应定为x元，则每个的销售利润为（x﹣15）元，
根据题意得：（x﹣15）（105﹣6x）＝225，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x4＝20，x2＝30，
又∵要让更多的消费者拥有该吉祥物，
∴x＝20．
答：吉祥物的售价应定为20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）求证：四边形CEGF是正方形．
（2）求的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形的CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系
【分析】（1）由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠BCA＝45°，得出△CEG是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得，GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理即可得出结果；
（3）连接CG，证得△ACG∽△BCE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∵∠BCA＝45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
（2）解：由（1）知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴，GE∥AB，
∴＝＝；
（3）解：线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE
连接CG，如图（2）所示：
由旋转性质得：∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cs45°＝，，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC．
（1）求证：△ACB～△CDA．
（2）若DC＝6cm，AD＝8cm，点P从A点出发，同时点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．当其中一点到达终点时，设运动时间为t（s）
①t为何值时，四边形APQC的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，进而得到∠ACB＝∠ADC；再根据DC∥AB可得∠ACD＝∠CAB，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答；
（2）①如图，过点Q作QH⊥AB于H．由勾股定理可得；再根据△ACB～△CDA可得，进而得到AB，BC的长；用t表示出BQ，AP，BP，再证明△BHQ～△ADC可求得，最后根据S四边形APQC＝S△ABC﹣S△BPQ列关于t的方程求解即可；②分△BPQ～△ADC和△BHQ～△ADC两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC．
∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴△ACB～△CDA．
（2）解：①如图，过点Q作QH⊥AB于H．
在Rt△ACD中，DC＝6cm，由勾股定理，得．
∵△ACB～△CDA，
∴，
∴，
解得．
由题意可得．
∵QH⊥AB，
∴∠BHQ＝∠ADC＝90°．
∵∠ABC＝∠CAD，
∴△BHQ～△ADC，
∴，即，可得
∴＝，解得，
∴当t＝2或时，四边形ACQP的面积等于．
②∵∠DAC＝∠B，
当△BPQ～△ADC时，
∴．即，
解得，
当△BPQ～△ACD时，
∴．即，
解得t＝，
综上，或时，以B，P．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四边形综合、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明．
如图，在△ABC中，D，E是边AB，且DE∥BC．求证：＝．
证明：如图，分别连接EB，DC．
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝…
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明．
如图，在△ABC中，D，E是边AB，且DE∥BC．求证：＝．
证明：如图，分别连接EB，DC．
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝…
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．∠DAB＝∠ABCC．AC＝BDD．∠DAB＝∠BCD
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12（ ）
A．13B．12C．6.5D．6
4．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足＝（ ）
A．黄金分割B．平移C．旋转D．轴对称
5．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝9D．（x+4）2＝9
6．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＞﹣C．m≥﹣D．m≥﹣
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意（ ）
A．25（1﹣2x）2＝16B．25（1﹣x）2＝16
C．25（1﹣2x）＝16D．25（1﹣x）＝16
8．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，A，B两个转盘分别被平均分成三个，四个扇形，B盘各一次，转动过程中，如果指针恰好指在分割线上，则重转，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形ABCD的对角线长分别为8和10，P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PF∥CD交AD于点F，连接EF，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．20C．40D．80
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
12．一个不透明的口袋中装有20个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.8左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数为 ．
13．已知m，n是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则式子m+n﹣mn的值为 ．
14．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣7（a2+b2）﹣8＝0，则a2+b2＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，F，若BE＝3，AF＝5，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：x2+2x﹣1＝0．
17．如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）利用尺规作∠BAD的平分线AE，交边BC于点E，连接DE．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABED是菱形．
19．太原地铁正式运营以来，缓解了南北主干道的交通压力，如图所示的是地铁1号线康宁街站地铁闸口示意图．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择C闸口的概率是 ．
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择同一闸口通过的概率．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求AB的长．
21．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全以上证明过程．
（2）应用以上结论解答问题：如图，在△ABC中，DG∥EC，求证：＝．
22．为满足市场需求，某超市购进一批奥运吉祥物，进价为15元/个，平均每天能售出30个．根据市场调查，销售单价每降低1元
（1）若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出 个，每天的获利为 元．
（2）如果每天要获利225元，为了让更多的消费者拥有该吉祥物，则吉祥物的售价应定为多少元？
23．综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）求证：四边形CEGF是正方形．
（2）求的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形的CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC．
（1）求证：△ACB～△CDA．
（2）若DC＝6cm，AD＝8cm，点P从A点出发，同时点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．当其中一点到达终点时，设运动时间为t（s）
①t为何值时，四边形APQC的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年山西省运城市夏县九年级第一学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x＝2B．x＝0
C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
【分析】方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝2或x﹣2＝0，
解得：x8＝2，x2＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．∠DAB＝∠ABCC．AC＝BDD．∠DAB＝∠BCD
【分析】根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∴不能判定四边形ABCD是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12（ ）
A．13B．12C．6.5D．6
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝6.5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
4．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足＝（ ）
A．黄金分割B．平移C．旋转D．轴对称
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．
解：若AC，BC＝，则点C为线段AB的黄金分割点．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
5．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝9D．（x+4）2＝9
【分析】先将原方程进行配方，然后选项进行对照，即可得到正确选项．
解：x2+4x﹣5＝0，
配方，得
（x+2）6＝9．
故选：C．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣﹣﹣配方法，解题的关键是学生明确什么是配方法、如何运用配方法对一元二次方程配方．
6．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＞﹣C．m≥﹣D．m≥﹣
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝[﹣（2m+1）]7﹣4m2＞2，
解得：m＞﹣；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意（ ）
A．25（1﹣2x）2＝16B．25（1﹣x）2＝16
C．25（1﹣2x）＝16D．25（1﹣x）＝16
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：25（1﹣x）2＝16，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可．
解：由题意得：BC＝2，AC＝4，且∠C＝90°，
图中直角边为，2，之比也为4：2，
则与图中△ABC的相似的是B，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
9．如图，A，B两个转盘分别被平均分成三个，四个扇形，B盘各一次，转动过程中，如果指针恰好指在分割线上，则重转，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的结果数，然后根据概率公式计算即可．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于6的结果数为3，
所以两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和等于3的概率＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
10．如图，菱形ABCD的对角线长分别为8和10，P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PF∥CD交AD于点F，连接EF，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．20C．40D．80
【分析】由四边形ABCD是两条对角线长分别为8和10的菱形得S菱形ABCD＝×8×10＝40，则S△ABC＝S△CDA＝S菱形ABCD＝20，设EF交AP于点O，可证明四边形AEPF是平行四边形，△OPF≌△OAE，则S阴影＝S四边形BEOC+S△OPF＝S四边形BEOC+S△OAE＝S△ABC＝20，于是得到问题的答案．
解：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，且对角线长分别为8和10，
∴S菱形ABCD＝×8×10＝40，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA＝S菱形ABCD＝×40＝20，
设EF交AP于点O，
∵PE∥BC，AF∥BC，AE∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠OPF＝∠OAE，
∴OP＝OA，
在△OPF和△OAE中，
，
∴△OPF≌△OAE（ASA），
∴S△OPF＝S△OAE，
∴S阴影＝S四边形BEOC+S△OPF＝S四边形BEOC+S△OAE＝S△ABC＝20，
故选：B．
【点评】此题重点考查菱形的性质、菱形的面积公式、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△OPF≌△OAE是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
解：因为，
可得：，d，
把，d代入，
可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例的性质解答．
12．一个不透明的口袋中装有20个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.8左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数为 16 ．
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
解：根据题意得：当实验的次数逐渐增大时，摸到红球的频率在0.8左右摆动，
因此摸到红球的概率为8.8，
∴这个不透明的口袋中红球的个数为20×0.6＝16（个）．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
13．已知m，n是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则式子m+n﹣mn的值为 2 ．
【分析】先根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵m，n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣2，
∴m+n﹣mn＝﹣3﹣（﹣5）＝6．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解答此题的关键．
14．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣7（a2+b2）﹣8＝0，则a2+b2＝ 8 ．
【分析】设t＝a2+b2（t≥0），则原方程转化为t2﹣7t﹣8＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
解：设t＝a2+b2（t≥7），则原方程转化为t2﹣7t﹣4＝0，
所以（t﹣8）（t+2）＝0．
所以t﹣8＝2或t+1＝0．
所以t＝2或t＝﹣1（舍去）．
所以a2+b6＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，F，若BE＝3，AF＝5，则 ．
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝4，再由勾股定理求出AC，再求得EF的长即可．
解：设AC与EF交于点O，如图，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝5+5＝8，
∴AB＝，
∴AC＝，
∴AO＝7，
∴EO＝，
∴EF＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：x2+2x﹣1＝0．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．
解：方程变形得：x2+2x＝4，
配方得：x2+2x+7＝2，即（x+1）6＝2，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝15
【分析】由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可求出BC的长，再结合AC＝AB+BC，即可求出结论．
解：∵l1∥l2∥l4，
∴＝，即＝，
∴BC＝18，
∴AC＝AB+BC＝6+18＝24．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）利用尺规作∠BAD的平分线AE，交边BC于点E，连接DE．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABED是菱形．
【分析】（1）根据尺规作图：角的平分线的基本作法作出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BE，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AED，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19．太原地铁正式运营以来，缓解了南北主干道的交通压力，如图所示的是地铁1号线康宁街站地铁闸口示意图．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择C闸口的概率是 ．
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择同一闸口通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两名乘客选择同一闸口通过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，选择C闸口的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择同一闸口通过的结果有7种，
∴两名乘客选择同一闸口通过的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求AB的长．
【分析】（1）由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，则四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝BC＝CD，设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，
设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，
由（1）得：∠DFC＝∠AEB＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：（8﹣x）8+42＝x5，
解得：x＝5，
∴AB＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）请补全以上证明过程．
（2）应用以上结论解答问题：如图，在△ABC中，DG∥EC，求证：＝．
【分析】（1）设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，则＝＝，＝＝，设点B到直线DE的距离为m，则点C到直线DE的距离也等于m，所以S△BDE＝S△DEC＝DE•m，则＝，所以＝；
（2）由DG∥EC，得＝，由EG∥BC，得＝，所以＝．
【解答】（1）证明：如图，分别连接EB，
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝＝，
设点B到直线DE的距离为m，
∵DE∥BC，
点C到直线DE的距离与点B到直线DE的距离相等，都等于m，
∴S△BDE＝S△DEC＝DE•m，
∴＝，
∴＝．
（2）证明：∵DG∥EC，
∴＝，
∵EG∥BC，
∴＝，
∴＝．
【点评】此题重点考查三角形的面积公式、两条平行线之间的距离处处相等、根据面积等式证明线段的比相等、平行线分线段成比例定理的证明与应用等知识与方法，正确地用代数式表示三角形的面积的比是解题的关键．
22．为满足市场需求，某超市购进一批奥运吉祥物，进价为15元/个，平均每天能售出30个．根据市场调查，销售单价每降低1元
（1）若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出 39 个，每天的获利为 273 元．
（2）如果每天要获利225元，为了让更多的消费者拥有该吉祥物，则吉祥物的售价应定为多少元？
【分析】（1）利用日销售量＝30+3×销售单价降低的钱数，可求出日销售量，再利用每天的获利＝每个的销售利润×日销售量，即可求出每天的获利；
（2）设吉祥物的售价应定为x元，则每个的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出（105﹣3x）个，利用每天的获利＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：30+3×（25﹣22）
＝30+3×6
＝30+9
＝39（个），
（22﹣15）×39
＝7×39
＝273（元）．
∴若吉祥物的售价定为22元时，平均每天能售出39个．
故答案为：39，273；
（2）设吉祥物的售价应定为x元，则每个的销售利润为（x﹣15）元，
根据题意得：（x﹣15）（105﹣6x）＝225，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x4＝20，x2＝30，
又∵要让更多的消费者拥有该吉祥物，
∴x＝20．
答：吉祥物的售价应定为20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）求证：四边形CEGF是正方形．
（2）求的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形的CEGF绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），试探究线段AG与BE长度之间的数量关系
【分析】（1）由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠BCA＝45°，得出△CEG是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得，GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理即可得出结果；
（3）连接CG，证得△ACG∽△BCE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∵∠BCA＝45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
（2）解：由（1）知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴，GE∥AB，
∴＝＝；
（3）解：线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE
连接CG，如图（2）所示：
由旋转性质得：∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cs45°＝，，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC．
（1）求证：△ACB～△CDA．
（2）若DC＝6cm，AD＝8cm，点P从A点出发，同时点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC向终点C匀速运动．当其中一点到达终点时，设运动时间为t（s）
①t为何值时，四边形APQC的面积等于？
②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，进而得到∠ACB＝∠ADC；再根据DC∥AB可得∠ACD＝∠CAB，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答；
（2）①如图，过点Q作QH⊥AB于H．由勾股定理可得；再根据△ACB～△CDA可得，进而得到AB，BC的长；用t表示出BQ，AP，BP，再证明△BHQ～△ADC可求得，最后根据S四边形APQC＝S△ABC﹣S△BPQ列关于t的方程求解即可；②分△BPQ～△ADC和△BHQ～△ADC两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC．
∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴△ACB～△CDA．
（2）解：①如图，过点Q作QH⊥AB于H．
在Rt△ACD中，DC＝6cm，由勾股定理，得．
∵△ACB～△CDA，
∴，
∴，
解得．
由题意可得．
∵QH⊥AB，
∴∠BHQ＝∠ADC＝90°．
∵∠ABC＝∠CAD，
∴△BHQ～△ADC，
∴，即，可得
∴＝，解得，
∴当t＝2或时，四边形ACQP的面积等于．
②∵∠DAC＝∠B，
当△BPQ～△ADC时，
∴．即，
解得，
当△BPQ～△ACD时，
∴．即，
解得t＝，
综上，或时，以B，P．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四边形综合、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明．
如图，在△ABC中，D，E是边AB，且DE∥BC．求证：＝．
证明：如图，分别连接EB，DC．
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝…
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．”进行了证明．
如图，在△ABC中，D，E是边AB，且DE∥BC．求证：＝．
证明：如图，分别连接EB，DC．
设点E到AB的距离为h1，点D到AC的距离为h2，
＝＝，＝…
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