2022-2023学年山西省运城市万荣县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省运城市万荣县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝6B．x2﹣2x﹣6＝0C．xy﹣2＝8D．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
3．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
4．如图，如果∠B＝∠D，那么添加下列一个条件后（ ）
A．∠C＝∠AEDB．∠BAC＝∠DAEC．D．∠BAD＝∠CAE
5．某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，下列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）＝40B．28（1+x）2＝40
C．28（1+x2）＝40D．28[（1+x）+（1+x）2]＝40
6．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120°B．87°C．75°D．60°
8．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
9．如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一点，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值为；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．②③④C．①②④D．①③④⑤
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，则d＝ cm．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，线段AB与CD相交于点E，则的值为 ．
13．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，则CD的长为 ．
14．如图，这是一个质地均匀的转盘，转盘中四个扇形的面积都相等，转盘停止转动后，若指针指在分割线上，直到指针指向某一扇形为止，则指针指向的数字为偶数的概率为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，连接EF交CD于点H，若H是CD的中点 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；
（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．
17．如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，求证：四边形AECF是菱形．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分别为BC、AC边上的点，∠ADE＝∠B，求EC的长．
19．某校将举办“国学经典”的演讲比赛，九年级通过预赛确定出三名男生和两名女生，共5名同学作为推荐人选．
（1）若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为 ．
（2）若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2
21．某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，市场调查发现，当售价每千克降低1元时
（1）当售价为50元时，每天销售这种水果 千克，每天获得利润 元．
（2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？
22．如图1，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分别是BC，且BE＝BD，连接DE，点B落在点F的位置，连接AF．
（1）如图2，当点F在AC边上时，求BE的长．
（2）如图3，点D，E在运动过程中，求AF的长．
23．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一条直线上，连接DG（如图1）
操作发现
（1）图1中线段DG和BE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都变为矩形，且AD＝，AG＝AE
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若AD＝6，矩形AEFG在顺时针旋转过程中，当点D，E，请直接写出BE的值
2022-2023学年山西省运城市万荣县九年级第一学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝6B．x2﹣2x﹣6＝0C．xy﹣2＝8D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x﹣y＝6是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2﹣6x﹣6＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．xy﹣7＝8，不是一元二次方程；
D．＝4是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵＝，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
3．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78B．0.79C．0.8D．0.85
【分析】利用频率估计概率求解即可．
解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.78，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
4．如图，如果∠B＝∠D，那么添加下列一个条件后（ ）
A．∠C＝∠AEDB．∠BAC＝∠DAEC．D．∠BAD＝∠CAE
【分析】结合相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而即可选择．
解：添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，故A不符合题意；
添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，故B不符合题意；
添加C选项后，两边对应成比例，不能证明△ABC∽△ADE；
添加D选项后，∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，
∴两个三角形的两个对应角相等，可证明△ABC∽△ADE．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似．
5．某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，下列方程正确的是（ ）
A．28（1+x）＝40B．28（1+x）2＝40
C．28（1+x2）＝40D．28[（1+x）+（1+x）2]＝40
【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格×（1+涨价的百分率）＝40，把相应数值代入即可求解．
解：设平均每次涨价的百分率为x元，
第一次涨价后的价格为28（1+x）元，
连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高x，为28（1+x）×（6+x）元，
则列出的方程是28（1+x）2＝40．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．一元二次方程x2﹣x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据题意求出Δ的值，进而可得出结论．
解：∵一元二次方程x2﹣x+5＝3中，a＝1，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×5＝1﹣20＝﹣19＜6，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
7．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120°B．87°C．75°D．60°
【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．
解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形时菱形．
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，错误．
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意．
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题是考查菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．
9．如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由菱形的性质得AC＝2OA＝2，OB＝OD，AB＝2，AC⊥BD，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，即可解决问题．
解：∵菱形ABCD的边长为2，对角线AC，OA＝1，
∴AC＝5OA＝2，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝5OB＝2，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一点，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①∠PFE＝∠BAP；②AP＝EF；④EF的最小值为；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．②③④C．①②④D．①③④⑤
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质即可得到结论．
解：连接PC，延长AP交EF于点H
在正方形ABCD中，AD＝CD，PD＝PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF，故②正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝45°，
而∠BAP≠45°，
∴∠ABP≠∠BAP，
∴AP≠BP，故③选项错误；
在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠BAP＝∠PCB，
∴∠BAP＝∠PFE，
故①选项正确；
∵AB＝AD＝1，
根据勾股定理得BD＝，
当AP⊥BD时，AP最小，
此时AP最小值为BD＝，
∵AP＝EF，
∴EF的最小值为，
故④选项正确；
根据勾股定理，得PB5＝2PE2，PD6＝2PF2，
∴PB3+PD2＝2（PE5+PF2）＝2EF3＝2PA2，
∴．
故⑤选项符合题意；
综上，正确的选项有①②④⑤，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，垂线段最短，勾股定理等，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，则d＝ 6 cm．
【分析】根据成比例线段的定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得a：b＝c：d，即ad＝cb，
代入a＝3cm、b＝2cm，
得8d＝2×9，
解得：d＝6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例线段，掌握成比例线段的定义是解决问题的关键．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，线段AB与CD相交于点E，则的值为 ．
【分析】A、G、C、F四点均为格点，连接AF，则点G、点C均在AF上，连接DG、BF，可证明△ADG∽△CBF，得∠GAD＝∠FCB，＝＝，所以AD∥BC，则△ADE∽△BCE，所以＝＝，于是得到问题的答案．
解：如图，A、G、C、F四点均为格点，则点G，连接DG，
∵AG＝1，DG＝CF＝2，
∴＝＝，
∵∠AGD＝∠CFB＝90°，
∴△ADG∽△CBF，
∴∠GAD＝∠FCB，＝＝，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△BCE是解题的关键．
13．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，则CD的长为 1 ．
【分析】根据黄金分割的定义得到，继而将，代入得：，解之即可求解．
解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴，
∵AB＝AD+CD+BC，，
∴，
将，代入，
得：，
∴，
整理得：，
∴CD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查黄金分割比例：把线段AB分成两条线段AC和BC，（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即）叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，并且线段AB的黄金分割点有两个，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例．
14．如图，这是一个质地均匀的转盘，转盘中四个扇形的面积都相等，转盘停止转动后，若指针指在分割线上，直到指针指向某一扇形为止，则指针指向的数字为偶数的概率为 ．
【分析】根据题意先得出偶数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，其中偶数有2个扇形面，
∴指针指向的数字为偶数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AF＝4，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，连接EF交CD于点H，若H是CD的中点 7 ．
【分析】根据线段中点的定义可得CH＝DH，然后利用“角边角”证明△DFG和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝CE，FH＝EH，设DF＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求FG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DFH和△CEH中，
，
∴△DFH≌△CEH（ASA），
∴DF＝CE，FG＝EG，
设DF＝x，
则BE＝BC+CE＝AD+CE＝4+x+x＝8+2x，
在Rt△DEG中，FG＝＝，
∴EF＝2，
∵EH垂直平分BF，
∴BE＝EF，
∴4+2x＝4，
解得x＝3，
∴AD＝AF+DF＝8+3＝7，
∴BC＝AD＝2．
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）解方程：x2﹣4x﹣21＝0；
（2）解方程：x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）．
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
解：（1）∵x2﹣4x﹣21＝6，
∴（x﹣7）（x+3）＝5，
∴x﹣7＝0或x+7＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）x7﹣3x﹣1＝7，
Δ＝（﹣3）2﹣5×1×（﹣1）＝13＞4，
∴x＝，
∴x4＝，x6＝．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法和因式分解法解一元二次方程．
17．如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，求证：四边形AECF是菱形．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线MN；
（2）设AC与EF相交于点O，证得△AOE≌△COF得到OE＝OF，进而证得四边形AECF为平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF相交于点O，
∵EF是AC的垂直平分，
∴EF⊥AC，且AO＝CO，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D、E分别为BC、AC边上的点，∠ADE＝∠B，求EC的长．
【分析】先根据等腰三角形的性质，得到∠B＝∠C，再利用三角形内角和定理，得到∠BAD＝∠EDC，进而证明△ABD△DCE得到，即可求出EC的长．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ADE+∠EDC+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB＝4，BC＝5，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
19．某校将举办“国学经典”的演讲比赛，九年级通过预赛确定出三名男生和两名女生，共5名同学作为推荐人选．
（1）若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为 ．
（2）若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）根据概率的定义直接进行计算即可；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，再概率概率的定义进行计算即可．
解：（1）一共有5名学生，其中女由2名，则选中女生的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的有12种，
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法，用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，使BE＝AB，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接AC，若AD＝3，CD＝2
【分析】（1）由平行四边形的性质得出CD＝AB，CD∥AB，再证四边形BECD是平行四边形，然后证∠DBE＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠E＝90°，BE＝CD＝2，则AE＝AB+BE＝4，再由勾股定理得CE＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠DBE＝90°，
∴平行四边形BECD是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，
由（1）可知，四边形BECD是矩形，
∴∠E＝90°，BE＝CD＝2，
∴AE＝AB+BE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴AC＝＝＝，
即AC的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，市场调查发现，当售价每千克降低1元时
（1）当售价为50元时，每天销售这种水果 900 千克，每天获得利润 9000 元．
（2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设每千克这种水果应降价x元，由题意：使每天的利润为9750元，列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）售价为50元时，每天销售这种水果为：400+50×（60﹣50）＝900（千克），
故答案为：900，9000；
（2）设每千克这种水果应降价x元，
根据题意得：（60﹣40﹣x）（400+50x）＝9750，
整理得：x2﹣12x+35＝0，
解得：x＝8或x＝7，
∵要尽快减少库存，
∴x＝7，
答：每千克这种水果应降价8元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图1，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝6，D，E分别是BC，且BE＝BD，连接DE，点B落在点F的位置，连接AF．
（1）如图2，当点F在AC边上时，求BE的长．
（2）如图3，点D，E在运动过程中，求AF的长．
【分析】（1）由翻折的性质证明四边形BEFD是菱形，在Rt△DFC中，FC＝AC﹣AF＝8﹣BE，DF＝BE，DC＝BC﹣BD＝6﹣BE，根据勾股定理得DF2＝FC2+DC2，进而可以求出BE的长；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，证明四边形AEDF是平行四边，可得AF＝DE，DF＝AE，然后利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴AB＝＝10，
由翻折可知：BE＝FE，BD＝FD，
∵BE＝BD，
∴BE＝FE＝BD＝FD，
∴四边形BEFD是菱形，
∴AB∥DF，
∴＝，
∴＝，
解得BE＝；
∴BE的长为；
（2）如图，过点E作EG⊥BD于点G，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∵四边形BEFD是菱形，
∴EF∥BD，
∵AF∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边，
∴AF＝DE，DF＝AE，
∴BE＝AE＝6，
∴csB＝＝＝，
∴BG＝5，
∴EG＝＝4，
∵DG＝BD﹣BG＝BE﹣BG＝5﹣3＝3，
∴DE＝＝＝2，
∴AF＝7．
【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握翻折性质是解题的关键．
23．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形ABCD和正方形AEFG中，A，B在一条直线上，连接DG（如图1）
操作发现
（1）图1中线段DG和BE的数量关系是 BE＝DG ，位置关系是 BE⊥GD ．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都变为矩形，且AD＝，AG＝AE
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若AD＝6，矩形AEFG在顺时针旋转过程中，当点D，E，请直接写出BE的值
【分析】（1）延长BE交DG于点H，证明△AGD≌△AEB，得出BE＝DG，∠AEB＝∠AGD，求出∠BHG＝90°，即可证明结论；
（2）延长BE交DG于点H，交AD于点T，证明△AGD≌△AEB，得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，求出∠DHT＝90°，即可证明结论；
（3）延长BE交DG于点H，交AD于点T，证明△ADG∽△ABE，得出，求出即可；
（4）分两种情况讨论，当F在线段DE上时，当E在线段DF上时，分别画出图形，根据勾股定理，求出结果即可．
解：（1）延长BE交DG于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AG＝AE，∠EAG＝∠BAE＝90°，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴BE＝DG，∠AEB＝∠AGD，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠ABH+∠BGH＝90°，
∴∠BHG＝90°，
∴BE⊥GD．
故答案为：BE＝DG；BE⊥GD．
（2）成立；理由如下：
延长BE交DG于点H，交AD于点T
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AG＝AE，AD＝AB，
∴∠DAG+∠DAE＝∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△AGD≌△AEB（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∵∠ABE+∠ATB＝90°，∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHT＝90°，
∴BE⊥GD．
故答案为：BE＝DG；BE⊥GD．
（3）延长BE交DG于点H，交AD于点T
∵四边形ABCD和AEFG都是矩形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，
∴∠DAG+∠DAE＝∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∵，，
∴，
∴△ADG∽△ABE，
∴，
即．
（4）当F在线段DE上时，如图4所示：
∵四边形AEFG为矩形，
∴∠AEF＝∠GFE＝90°，GF＝AE＝2，
∴∠DFG＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据解析（3）可知，，
∴；
当E在线段DF上时，如图5所示：
∵四边形AEFG为矩形，
∴∠AEF＝∠GFE＝90°，GF＝AE＝2，，
∴∠AED＝90°，
∴，
∴，
∴，
根据解析（3）可知，，
∴；
综上分析可知，或．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意进行分类讨论．射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
8
17
40
79
158
390
780
击中靶心的频率
0.8
0.85
0.8
0.79
0.79
0.78
0.78