山西省忻州市五台县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省忻州市五台县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省忻州市五台县九年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（　　）

A． B．
C． D．
2．已知一元二次方程x2+x+1＝0，下列判断正确（　　）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况无法确定
3．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
4．如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数是（　　）

A．55° B．110° C．125° D．150°
5．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（　　）

A．15（1﹣x）＝136.7 B．30（30﹣2x）•x＝600
C．15（15﹣x）•x＝600 D．x（15﹣x）•x＝600
6．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
﹣6
4
6
4
…
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
8．如图，在△ABC中，∠A＝52°，在平面内将△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，若A'B'⊥BC，则∠B的度数是（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°
9．如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝4，CE＝8，则⊙O的半径是（　　）

A． B．5 C．6 D．
10．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣5），那么这个二次函数的解析式可以是 　 　（只需写一个）．
12．将方程x2﹣mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是 　 　．
13．⊙O的半径为5cm，点O到直线AB的距离为d，当d＝　 　时，AB与⊙O相切．
14．如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：　 　．

15．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FMO＝50°，则∠FOE的度数为　 　．

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．
（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
17．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AP＝4，CD＝16，求⊙O的半径．

18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 　 　．
（3）求△A2B2C2面积．

19．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．

20．（8分）如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B（﹣1，0）两点，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

21．（12分）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
（1）在图中画出△APC绕点A顺时旋转60°后的△AP1B，并判断△AP1P的形状是 　 　；
（2）试判断△BP1P的形状，并说明理由；
（3）由（1）、（2）两问可知：∠APB　 　．

22．（12分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE＝∠BAF．

23．（13分）综合与探究
抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PAC的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年山西省忻州市五台县九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．2022年第19届亚运会在杭州举行，吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合，其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和“宸宸”（如图）的图片成中心对称的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选：D．
2．已知一元二次方程x2+x+1＝0，下列判断正确（　　）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况无法确定
【分析】把a＝1，b＝1，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：在方程x2+x+1＝0中，a＝1，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴方程x2+x+1＝0没有实数根．
故选：C．
3．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【解答】解：A、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点（1，3），故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣1+3）2+3，y＝﹣2（x+2）2+3，故错误，即本选项不符合题意，
C、当x＝0时，y＝1，抛物线与y轴的交点是（0，1），故正确，本选项符合题意，
D、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：C．
4．如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数是（　　）

A．55° B．110° C．125° D．150°
【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．
【解答】解：连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°，
∴∠BOD＝2∠BED＝110°．
故选：B．

5．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（　　）

A．15（1﹣x）＝136.7 B．30（30﹣2x）•x＝600
C．15（15﹣x）•x＝600 D．x（15﹣x）•x＝600
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）•x＝600．
故选：C．
6．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（　　）
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
﹣6
4
6
4
…
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象与x轴无交点
C．函数的最大值大于6
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6
【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣（x﹣）2+，
A．函数的图象开口向下，故本选项不合题意；
B．函数的与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故本选项不合题意；
C．当x＝时，函数有最大值为，故本选项不合题意；
D．当﹣1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6，故D选项符合题意．
故选：D．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．

8．如图，在△ABC中，∠A＝52°，在平面内将△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，若A'B'⊥BC，则∠B的度数是（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】A'B'⊥BC，垂足为O点，如图，先根据旋转的性质得到∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，则利用等腰三角形的性质得到∠CA′A＝∠A＝52°，则根据平角的定义计算出∠B′A′B＝76°，然后利用互余计算出∠B的度数．
【解答】解：A'B'⊥BC，垂足为O点，如图，
∵△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，
∴∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，
∵CA＝CA′，
∴∠CA′A＝∠A＝52°，
∴∠B′A′B＝180°﹣∠CA′A﹣∠CA′B′＝180°﹣52°﹣52°＝76°，
∵A'B'⊥BC，
∴∠A′OB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠B′A′B＝90°﹣76°＝14°．
故选：C．

9．如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝4，CE＝8，则⊙O的半径是（　　）

A． B．5 C．6 D．
【分析】由题意可得DE⊥EC，由勾股定理可得DE＝4，根据锐角三角函数可求DB的长，再根据勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径．
【解答】解：如图，连接OD，BD，

∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90，且AB＝BC，
∴AD＝CD＝4，且AO＝OB，
∴DO∥BC，且DE⊥OD，
∴DE⊥EC，
∴DE＝＝＝4，
∵tanC＝，
∴BD＝2，
∴AB＝＝10，
∴OA＝5
故选：B．
10．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，
同理可得：OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）；
综上所述，AC的长为4cm或2cm，
故选：C．

二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣5），那么这个二次函数的解析式可以是 　y＝2x2﹣5（答案不唯一）　（只需写一个）．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣5），
∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣5，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣5，
故答案为：y＝2x2﹣5（答案不唯一）．
12．将方程x2﹣mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是 　﹣5　．
【分析】把（x﹣3）2＝n化成一般式，然后根据题意即可得到m和n的值，从而可以求得m+n的值．
【解答】解：∵（x﹣3）2＝n，
∴x2﹣6x+9﹣n＝0，
∴m＝﹣6，9﹣n＝8，
∴n＝1，
∴m+n＝﹣6+1＝﹣5，
故答案为：﹣5．
13．⊙O的半径为5cm，点O到直线AB的距离为d，当d＝　5cm　时，AB与⊙O相切．
【分析】设圆O的半径是R，点O到直线AB的距离是d，当d＝R时，直线与圆相切；当d＜R时，直线与圆相交；当d＞R时，直线与圆相离；根据以上结论判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，
∴点O到直线AB的距离为5cm时，直线AB与⊙O的位置关系是相切，
故答案为：5cm．
14．如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：　先以直线l为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点A顺时针旋转70度　．

【分析】由图易知A，B关于直线l对称，那么可先以直线l为对称轴作轴对称变换，得到与地面垂直的图形，最后的图形与地面的夹角是20°，所以应把所得的图象绕点A顺时针旋转70度．
【解答】解：甲树是这样由乙树变换得到的：先以直线l为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点A顺时针旋转70度．
15．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FMO＝50°，则∠FOE的度数为　20°　．

【分析】弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，根据垂径定理即可得到∠MOE＝∠BOE＝∠AOB，进而得出∠FOE的度数．
【解答】解：由作图痕迹可知，PQ垂直平分FM，
∴点E是的中点，
∴，
∴∠MOE＝∠BOE＝∠AOB，
又∵∠FMO＝50°，∠OFM＝90°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠FOE＝20°，
故答案为：20°．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．
（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＝a2+4，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得a≠0，
∵Δ＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，
而a2＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4a＝0，
若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．
17．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AP＝4，CD＝16，求⊙O的半径．

【分析】（1）过点P作AB的垂线即可；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）画出弦CD，如图．

（2）如图，连接OD，

∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝16，
∴PD＝8．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣4，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10，
即⊙O的半径为10．
18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 　（﹣2，0）　．
（3）求△A2B2C2面积．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应B2，C2即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标为为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）；
（3）＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
19．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．

【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，纵坐标OD∥AE即可解决问题；
【解答】证明：连接OD．

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE＝180°，
∴∠E＝90°，
∴DE⊥AE．
20．（8分）如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B（﹣1，0）两点，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

【分析】（1）由顶点坐标和A点坐标，可求得抛物线的解析式，容易求出B、D的坐标；
（2）根据点的坐标，利用勾股定理可求得AD、AC、CD的长，可判断△ACD的形状，并根据直角三角形面积公式求面积．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵与x轴交于点B（﹣1，0），
∴0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）令y＝0，可得﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A点坐标为（3，0），
∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），
∴AD＝＝3，CD＝＝，AC＝＝2，
∴AD2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝（2）2＝AC2，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴S△ACD＝AD•CD＝×3×＝3．
21．（12分）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
（1）在图中画出△APC绕点A顺时旋转60°后的△AP1B，并判断△AP1P的形状是 　等边三角形　；
（2）试判断△BP1P的形状，并说明理由；
（3）由（1）、（2）两问可知：∠APB　150°　．

【分析】（1）先画图，再利用旋转的性质得到AP＝AP1，∠PAP1＝60°，则可判断△AP1P为等边三角形；
（2）根据旋转的性质得到BP1＝CP＝5，再利用△AP1P为等边三角形得到P1P＝AP＝3，然后利用勾股定理得逆定理可证明△BP1P为直角三角形．
（3）利用△AP1P为等边三角形得到∠APP1＝60°，再利用△BP1P为直角三角形得到∠BPP1＝90°，从而得到∠APB＝150°．
【解答】解：（1）如图，△AP1B为所作；

∵△APC绕点A顺时旋转60°后的△AP1B，
∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，
∴△AP1P为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）△BP1P为直角三角形．
理由如下：
∵△APC绕点A顺时旋转60°后的△AP1B，
∴BP1＝CP＝5，
∵△AP1P为等边三角形，
∴P1P＝AP＝3，
在△BP1P中，∵P1P＝3，PB＝4，BP1＝5，
∴P1P2+PB2＝BP12，
∴△BP1P为直角三角形．
（3）∵△AP1P为等边三角形，
∴∠APP1＝60°，
∵△BP1P为直角三角形．
∴∠BPP1＝90°，
∴∠APB＝60°+90°＝150°．
故答案为：150°．
22．（12分）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE＝∠BAF．

【分析】（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC＝∠ACO，再根据OA＝OC得到∠ACO＝∠CAO，就可以证出结论；
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB＝90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO；
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B，
∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∴∠BAF＝∠DAE．

23．（13分）综合与探究
抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PAC的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令y＝0可得ax2﹣a＝0，解之可得；
（2）根据OA＝1，OC＝2OA得C（0，﹣2），可得a的值，即可得抛物线解析式；
（3）假设存在点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是∠PAC的角平分线，从而得知点C（0，﹣2）的对称点C′（0，2）在直线AP上，待定系数法可得直线AP的解析式，由直线AP的解析式和抛物线解析式可得点P的坐标．
【解答】解：（1）根据题意知，y＝0，即ax2﹣a＝0，
∴a（x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝1，
∴A（﹣1，0），B（1，0）；

（2）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OC＝2OA＝2，
∴C（0，﹣2），
代入抛物线y＝ax2﹣a（a＞0）得：﹣a＝﹣2，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣2；

（3）存在，
假设存在点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是∠PAC的角平分线．
∴C点关于x轴的对称点必在直线PA上．设为C'，
∵C（0．﹣2），
∴C'（0，2），
∴直线AP过A（﹣1，0）C'（0，2），
设直线AP的解析式为y＝kx+2，
∴﹣k+2＝0，解得k＝2，
∴直线AP的解析式为y＝2x+2，
∵直线AP与二次函数y＝2x2﹣2相交于P点，
∴2x+2＝2x2﹣2，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，y＝6，
当x＝﹣1时，y＝0，即为点A，
∴存在一点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，且点P的坐标为（2，6）．