2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是二元一次方程的是( )
A. x−5=6B. 3xy+4=−8C. 4x+2=3x+4D. x−y=4
2.下列各组解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是( )
A. x=1y=2B. x=6y=−1C. x=2y=1.5D. x=9y=−2
3.化简a4⋅(−a)3的结果是( )
A. a12B. −a12C. a7D. −a7
4.下列运算正确的是( )
A. (a−b)2=a2−b2B. a2⋅a3=a6
C. (a2)3=a6D. 4a2−2a2=2
5.运用乘法公式计算(a−2)2的结果是( )
A. a2−4a+4B. a2−2a+4C. a2−4D. a2−4a−4
6.已知x=1y=−2是方程2x−my=8的一个解，则m的值是( )
A. 3B. −3C. −2D. −12
7.如果x2−6x+a是一个完全平方式，则a的值为( )
A. −3B. 3C. −9D. 9
8.下列式子中，不能用平方差公式运算的是( )
A. (2−a)(−a−2)B. (3x+2y)(2y−3x)
C. (4m−2n)(4m+2n)D. (x−3)(3−x)
9.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是( )
A. m2−m+14B. 16a2+4a+1C. a2+4ab+4b2D. a2+2a+1
10.问题：聪明的你知道代数式x2−4x+5的最小值为多少吗？解：因为x2−4x+5=x2−4x+4+1=x2−4x+22+1=(x−2)2+1，又因为(x−2)2≥0，所以(x−2)2+1≥1，所以x2−4x+5的最小值为1.请用上述方法，解决代数式x2+6x+6的最小值为( )
A. 3B. −3C. 6D. −6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.请写出一个解为x=3y=4的二元一次方程组______．
12.方程2x−y=7用含x的式子表示y是______．
13.计算：(12)2023×41012= ______．
14.计算：y(y+4)−2(y+1)= ______．
15.若多项式y2−(k−2)y+25是完全平方式，则k的值为______．
16.已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，c的大小并用“>”把它们连接起来：______．
17.若a2+b2−2a−6b+10=0，则a+b= ______．
18.在对多项式x2+ax+b进行因式分解时，M同学看错了b，分解为(x+2)(x+4)；N同学看错了a，分解为(x−1)(x−9).(两人后面因式分解没有错误)，则a= ______，b= ______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解方程组：
(1)(用代入法)y−x=24y+2x=14；
(2)(用加减法)2x+y=34x+3y=3．
20.(本小题6分)
因式分解：
(1)4x3y2−8x2y3；
(2)a2−6ab+9b2．
21.(本小题6分)
计算(第1小题用简便方法计算，第2小题先化简再求值)
(1)6002−603×597；
(2)m(m+2n)−(n−3m)(m+n)，其中m=12，n=3．
22.(本小题8分)
我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释.如(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2就能用图1图形的面积表示．
(1)请你写出图2所表示的一个等式：______
(2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2．
23.(本小题10分)
已知mx=2，my=3，求：
(1)mx+y的值；
(2)m2y的值；
(3)m2x+3y的值．
24.(本小题10分)
某中学七年级(1)班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
(1)求篮球和排球的单价各是多少；
(2)商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
25.(本小题10分)
阅读下列材料：某同学在计算3×(4+1)×(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3×(4+1)×(42+1)=(4−1)×(4+1)(42+1)=(42−1)(42+1)=162−1.他很受启发.后来在求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成(2−1)得：(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=⋅⋅⋅=(232−1)(232+1)=264−1．
解答问题：
(1)计算：2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)；
(2)化简：(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).
26.(本小题10分)
如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(______)×( ______).
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(______)+q( ______)(提示：提公因式)=( ______)×( ______).
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式x2+5x+6因式分解．
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=x2+2x+3x+2×3=(x2+2x)+(3x+2×3)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1)x2+7x+12；
(2)(y2+y)2−5(y2+y)+6．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数项的次数是2，故本选项不符合题意；
C、该方程只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程中含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，属于二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据二元一次方程的定义进行判断．
本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
2.【答案】B
【解析】解：A、把x=1y=2代入方程得：左边=1+4=5，右边=5，是方程的解，不符合题意；
B、把x=6y=−1代入方程得：左边=6−2=4，右边=5，不是方程的解，符合题意；
C、把x=2y=1.5代入方程得：左边=2+3=5，右边=5，是方程的解，不符合题意；
D、把x=9y=−2代入方程得：左边=9−4=5，右边=5，是方程的解，不符合题意，
故选：B．
将x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3.【答案】D
【解析】解：a4⋅(−a)3=−a7．
故选：D．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、(a−b)2=a2−2ab+b2，原式计算错误，不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原式计算错误，不符合题意；
C、(a2)3=a6，原式计算正确，符合题意；
D、4a2−2a2=2a2，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则进行计算．
本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：原式=a2−4a+4，
故选：A．
原式利用完全平方公式化简得到结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程的解，解答的关键是明确方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】
解：把x=1y=−2是代入方程得：2+2m=8，
解得：m=3，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：a=(62)2=9．
故选：D．
根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两种，据此即可求解．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8.【答案】D
【解析】解：A、(2−a)(−a−2)=−(2−a)(2+a)=−(4−a2)，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
B、(3x+2y)(2y−3x)=(2y+3x)(2y−3x)=4y2−9x2，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
C、(4m−2n)(4m+2n)=16m2−4n2，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
D、(x−3)(3−x)=−(3−x)(3−x)=−(3−x)2，运用完全平方公式，不能运用平方差公式运算，该选项是符合题意的；
故选：D．
根据两数之和与两数之差的乘积即为能够运用平方差公式，进行逐一分析，即可作答．
本题考查了平方差公式的应用，解答本题的关键要掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
9.【答案】B
【解析】解：A、m2−m+14=(m−12)2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
B、16a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
C、a2+4ab+4b2=(a+2b)2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D、a2+2a+1=(a+1)2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意．
故选：B．
根据完全平方公式分解因式的公式进行计算．
本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知a2±2ab+b2=(a±b)2是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：依题意得：x2+6x+6=x2+6x+6+3−3=x2+6x+9−3=(x+3)2−3，
∵(x+3)2≥0，
∴(x+3)2−3≥−3，
∴所以x2+6x+6的最小值为−3，
故选：B．
模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．
本题考查了配方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握配方法：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
11.【答案】x+y=7x−y=−1(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，只要保证方程组中的每个方程都满足x=3y=4即可，
则x+y=7x−y=−1(答案不唯一)
将x=3y=4的代入验证，符合要求．
故答案是：x+y=7x−y=−1(答案不唯一)．
首先写出两个x，y的计算的式子，即可写出方程组，答案不唯一．
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是解题的关键．
12.【答案】y=2x−7
【解析】解：方程2x−y=7，
解得：y=2x−7．
故答案为：y=2x−7．
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y即可．
13.【答案】2
【解析】解：(12)2023×41012
=(12)2023×(22)1012
=(12)2023×22024
=(12×2)2023×2
=12023×2
=2．
故答案为：2．
先整理(12)2023×41012=(12)2023×(22)1012，再利用积的乘方的逆运用，进行计算即可．
本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等内容的逆运用，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】y2+2y−2
【解析】解：y(y+4)−2(y+1)
=y2+4y−2y−2
=y2+2y−2，
故答案为：y2+2y−2．
先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
本题主要考查了单项式乘以多项式，正确记忆相关知识点是解题关键．
15.【答案】−8或12
【解析】解：多项式y2−(k−2)y+25=y2−(k−2)y+52是完全平方式，
∴y2−(k−2)y+25=y2±2⋅5y+52，
∴−(k−2)=±10，
∴k=12或k=−8，
故答案为：−8或12．
根据所给多项式可得两平方项分别为y2、52，则一次项为±10y，据此可得答案．
本题主要考查了完全平方式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=(a±b)2．
16.【答案】a>c>b
【解析】解：∵a=2731，c=941，
∴a=(33)31=393，c=(32)41=382，
∵393>382>361，
∴a>c>b，
故答案为：a>c>b．
幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到a=393，c=382，据此可得答案．
本题主要考查了有理数比较大小，正确记忆相关知识点是解题关键．
17.【答案】4
【解析】解：a2+b2−2a−6b+10=0，
(a2−2a+1)+(b2−6b+9)=0，
(a−1)2+(b−3)2=0，
∴a−1=0，b−3=0，
解得，a=1，b=3，
∴a+b=4，
故答案为：4．
根据题意中的式子利用配方法可以求得a、b的值，从而可以解答本题．
本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
18.【答案】6 9
【解析】解：依题意，由甲的结果得：(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
由乙的结果得：(x−1)(x−9)=x2−10x+9，
可得a=6，b=9，
故答案为：6，9．
分别根据甲乙因式分解的结果确定出a与b的值，即可作答．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
19.【答案】解：(1)y−x=2①4y+2x=14②，
由①得：y=x+2③，
把③代入②得：4(x+2)+2x=14，解得x=1，
把x=1代入③得：y=3，
∴方程组的解为x=1y=3；
(2)2x+y=3①4x+3y=3②，
②−①×2得：y=−3，
把y=−3代入①得：2x−3=3，解得x=3，
∴方程组的解为x=3y=−3．
【解析】(1)先根据①得到y=x+2③，再把③代入②中求出y，进而求出x即可；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)4x3y2−8x2y3=4x2y2(x−2y)；
(2)a2−6ab+9b2=(a−3b)2．
【解析】(1)进行提取公因式，即可作答．
(2)运用完全平方公式进行分解因式，即可作答．
本题考查了提取公因式以及公式法进行因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=6002−(600+3)×(600−3)
=6002−(6002−32)
=6002−6002+9
=9；
(2)原式=m2+2mn−(nm+n2−3m2−3mn)
=m2+2mn+2mn+3m2−n2
=4m2+4mn−n2，
把m=12，n=3代入，可得：
原式=4×(12)2+4×(12)×3−32
=1+6−9
=−2．
【解析】(1)首先将原始整理为6002−(600+3)×(600−3)，再利用平方差公式进行运算，然后相加减即可；
(2)首先根据单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将m=12，n=3代入求值即可．
本题主要考查了运用平方差公式进行运算、整式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
22.【答案】(2m+n)(m+n)=2m2+n2+3mn
【解析】解：(1)依题意，∵大正方形的面积等于每个部分的面积之和，
∴(m+m+n)(m+n)=nm+mn+mn+m2+m2+n2=2m2+n2+3mn，
即(2m+n)(m+n)=2m2+n2+3mn；
故答案为：(2m+n)(m+n)=2m2+n2+3mn；
(2)∵(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2
∴(m+n)(m+n+n)=m2+mn+mn+mn+mn+n2+n2+n2
如图所示：
(1)结合图形，以及运用等面积法建立等式，即可作答．
(2)模仿上述原理：运用等面积法建立等式，进行作图即可．
本题考查了多项式与多项式乘法的应用，根据等面积法建立等式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵mx=2，my=3，
∴原式=mx×my=2×3=6；
(2)∵mx=2，my=3，
∴原式=(my)2=32=9；
(3)∵mx=2，my=3，
∴原式=(mx)2×(my)3=22×33=4×27=108．
【解析】(1)根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答．
(2)根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可作答．
(3)根据同底数幂相乘的逆运用，得出(mx)2×(my)3，代入数值，即可作答．
本题考查了同底数幂相乘以及逆运用、幂的乘方、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，
由题意可得y=x−25 2x+6y=570 ，
解方程组得x=90 y=65 ，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
(2)若按照①套餐打折购买费用为：2(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730(元)，
若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65=2040(元)，
又2040>1999，
所以2040−200=1840(元)．
而1840>1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
【解析】(1)设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，根据买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案；
(2)分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案．
本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
25.【答案】解：(1)原式=2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(28−1)(28+1)
=316−1；
(2)当m=n时，
原式=(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=2m×2m2×2m4×2m8×2m16
=32m31
当m≠n时，
原式=1m−n×(m−n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=1m−n(m2−n2)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=1m−n(m4−n4)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)
=1m−n(m16−n16)(m16+n16)
=m32−n32m−n．
综上：当m=n时，原式=32m31，当m≠n时，原式=m32−n32m−n．
【解析】(1)先整理2=3−1，则原式为(3−1)×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)，再利用题中的规律进行计算，即可作答．
(2)进行分类讨论，当m=n或m≠n两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键．
26.【答案】x+p x+q x+p x+p x+p x+p
【解析】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，
故答案诶：x+p，x+q；
说理验证：由题意得x2+(p+q)x+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，
故答案为：x+p，x+p，x+p，x+q；
(1)x2+7x+12
=x2+(3+4)x+3×4
=x2+3x+4x+3×4
=x(x+3)+4(x+3)
=(x+3)(x+4)；
(2)(y2+y)2−5(y2+y)+6
=(y2+y)2−(2+3)(y2+y)+(−2)(−3)
=(y2+y)2−2(y2+y)−3(y2+y)+(−2)(−3)
=(y2+y−2)(y2+y)−3(y2+y−2)
=(y2+y−2)(y2+y−3)
=(y+2)(y−1)(y2+y−3)．
观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式(x+p)进行分解因式即可；
(1)仿照题意分解因式即可；
(2)把(y2+y)看作一个整体仿照题意分解因式即可．
本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式，正确记忆相关知识点是解题关键．