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2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若1＜＜2，则a可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．（2分）数轴上表示a、b两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a•b＞0 D．a÷b＜0
4．（2分）下列式子从左到右变形不正确的是（ ）
A．＝ B．＝﹣
C．＝a+b D．＝﹣1
5．（2分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AB⊥BC
6．（2分）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2分）某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，9l，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
9．（2分）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为 ．
10．（2分）若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 ．
11．（2分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa．当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3．
12．（2分）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ．
13．（2分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y＝kx+b
…
5
4
3
1
0
﹣1
…
y＝
…
1
3
﹣3
﹣
﹣1
…
则关于x的不等式≤kx+b的解集是 ．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数＝ 度．
15．（2分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝ ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣6+|1﹣|；
（2）﹣（2﹣）2．
18．（8分）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
19．（5分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数．
20．（7分）为了解社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成
如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数有 人；
（2）扇形“D”圆心角的度数为 ，补全条形统计图；
（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
22．（7分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
23．（6分）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
25．（9分）在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 ．（填序号）．
①AC、BD互相平分； ②AC⊥BD；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD+∠BCD＝180°．
（2）性质运用：如图2，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别作AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．若∠ADC＝90°，求证：四边形PNDM是正方形．
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝15，BC＝DC＝13，AC＝14，则筝形ABCD的面积是 ．
26．（8分）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y＝的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝的图象上也没有纵坐标为0的点．
（1）请在同一个平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象，
（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识．
①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出一个即可．
②说理：请简要解释你的猜想．
（3）请画出y＝（c为常数）的大致图象．
2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故正确．
故选：D．
2．（2分）若1＜＜2，则a可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：∵1＜＜2，
∴12＜a＜22，
即a可以是3．
故选：B．
3．（2分）数轴上表示a、b两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a•b＞0 D．a÷b＜0
【解答】解：∵a、b两数的点分别在原点左、右两侧，
∴a＜0，b＞0，
A、a+b＞0，是随机事件；
B、a﹣b＞0，是不可能事件；
C、a•b＞0，是不可能事件；
D、a÷b＜0，是必然事件；
故选：A．
4．（2分）下列式子从左到右变形不正确的是（ ）
A．＝ B．＝﹣
C．＝a+b D．＝﹣1
【解答】解：A．将的分子、分母都除以3可得，正确因此A不符合题意；
B．将的分子、分母都乘以﹣1可得﹣，正确因此B不符合题意；
C．将的分子、分母都除以a+b不等于a+b，因此C符合题意；
D．将的分子、分母都除以1﹣a可得﹣1，因此D不符合题意；
故选：C．
5．（2分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AB⊥BC
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：A．
6．（2分）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝＝＝，
∴AE+AF的最小值，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤1 ．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
8．（2分）某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，9l，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
【解答】解：跳绳次数在81.5～95.5这一组的有82，83，86，87，88，89，9l，共7个数，
则频率是．
故答案为：．
9．（2分）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为 6a2b2 ．
【解答】解：对分式和进行通分，
则它们的最简公分母为：6a2b2．
故答案为：6a2b2．
10．（2分）若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 （﹣3，﹣3） ．
【解答】解：设A（m，n），
由题意，
∴，
∴A（﹣3，﹣3）．
故答案为：（﹣3，﹣3）．
11．（2分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa．当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 0.6 m3．
【解答】解：设函数解析式为p＝，
∵当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，
∴k＝Vp＝24000，
∴p＝，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴≤40000，
解得：V≥0.6，
即气球的体积应不小于0.6m3．
故答案为：0.6．
12．（2分）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 n＜2且n≠ ．
【解答】解：，
解方程得：x＝n﹣2，
∵关于x的方程的解是负数，
∴n﹣2＜0，
解得：n＜2，
又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣，
∴n﹣2≠﹣，
即n≠．
故答案为：n＜2且n≠．
13．（2分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y＝kx+b
…
5
4
3
1
0
﹣1
…
y＝
…
1
3
﹣3
﹣
﹣1
…
则关于x的不等式≤kx+b的解集是 x≤﹣1或0＜x≤3 ．
【解答】解：由表可知，一个交点坐标为（﹣1，3），
反比例函数的解析式为y＝﹣，
另一个交点为（3，﹣1），
故关于x的不等式≤kx+b的解集是x≤﹣1或0＜x≤3．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数＝ 60 度．
【解答】解：连接BD，BF
∵∠BAD＝80°
∴∠ADC＝100°
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD
∴AF＝BF，BF＝DF
∴AF＝DF
∴∠FAD＝∠FDA＝40°
∴∠CDF＝100°﹣40°＝60°．
故答案为：60．
15．（2分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝ 3.5 ．
【解答】解：延长BE交AC于H，
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴AH＝AB＝5，BE＝EH，
∴HC＝AC﹣AH＝7，
∵BE＝EH，BF＝FC，
∴EF＝HC＝3.5，
故答案为：3.5．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 ．
【解答】解：延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，如图所示：
在正方形OABC中，OA＝OC，∠OCB＝∠OAB＝∠COA＝90°，
∴∠OAG＝∠OCN，
∴△OCN≌△OAG（SAS），
∴∠CON＝∠GOA，OG＝ON，
∵∵∠MON＝45°，
∴∠CON+∠AOM＝45°，
∴∠AOM+∠GOA＝45°，
∵OM＝OM，
∴△MON≌△MOG（SAS），
∴MN＝MG，
即MN＝MA+CN，
设AM＝x，
∵MN＝2，
∴CN＝2﹣x，
∵M，N在反比例函数上，
∴CN•OC＝AM•OA，
∵OC＝OA，
∴2﹣x＝x，
解得x＝1，
设正方形边长为a，则BM＝a﹣1，BN＝a﹣1，
在△BMN中，根据勾股定理，得2（a﹣1）2＝4，
解得a＝或1﹣（舍），
∴M点坐标为（，1），
将M点坐标代入反比例函数解析式，
得k＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣6+|1﹣|；
（2）﹣（2﹣）2．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+﹣1
＝﹣1；
（2）原式＝2﹣（4﹣4+3）
＝2﹣7+4
＝6﹣7．
18．（8分）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝；
（2）分式方程﹣＝0，
去分母得：x+1﹣2＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x2﹣1＝0，
∴x＝1是增根，
则分式方程无解．
19．（5分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数．
【解答】解：﹣÷
＝﹣
＝﹣
＝，
∵为整数，且x为整数，
∴＝﹣2，＝﹣1，＝1，＝2，
∴x＝﹣2或x＝﹣3或x＝1或x＝0，
又∵x（x+2）≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠0，﹣2，±1，
∴x＝﹣3时，该代数式的值也为整数．
20．（7分）为了解社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成
如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数有 500 人；
（2）扇形“D”圆心角的度数为 36° ，补全条形统计图；
（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人）．
即参与问卷调查的总人数为500人．
故答案为：500；
（2）360°×10%＝36°；
500×15%﹣15＝60（人）．
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：36°；
（3）8000×（1﹣40%﹣10%﹣15%）＝2800（人）．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
【解答】证明：连接AE、CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵DF＝BE，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
22．（7分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【解答】解：提出问题：乙公司有多少人？
设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，
答：乙公司有250人．
23．（6分）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，点P即为旋转中心．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）把x＝2代入y＝3x中，得y＝2×3＝6，
∴点A坐标为（2，6），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC＝2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣6），
∴B到OC的距离为6，
∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×6＝12，
（3）∵S△ABC＝12，
∴S△OPC＝12，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2＝12，解得x＝1或﹣1，
∴P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）．
25．（9分）在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 ②③④ ．（填序号）．
①AC、BD互相平分； ②AC⊥BD；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD+∠BCD＝180°．
（2）性质运用：如图2，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别作AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．若∠ADC＝90°，求证：四边形PNDM是正方形．
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝15，BC＝DC＝13，AC＝14，则筝形ABCD的面积是 168 ．
【解答】解：（1）∵BA与BC不一定相等，DA与DC不一定相等，
∴BD不一定是AC的平分线，故①错误；
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC垂直平分BD．
∴AC⊥BD，故②正确．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC．
∴AC平分∠BAD和∠BCD，故③、④正确；
∵∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC＝360°，而∠ABC+∠ADC不一定是180°，
∴∠BAD+∠BCD不一定是180°，故⑤错误；
故答案为：②③④．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，
同（1）得：△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
∴四边形MPND是正方形．
（3）如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H．
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴S△ABC＝S△ADC．
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH2＝AB2﹣AH2＝152﹣AH2．
在Rt△CBH中，由勾股定理得：BH2＝CB2﹣CH2＝132﹣（14﹣AH）2．
∴152﹣AH2＝132﹣（14﹣AH）2，
∴AH＝9．
∴BH＝12．
∴S△ABC＝×14×12＝84．
∴筝形ABCD的面积为168．
故答案为：168．
26．（8分）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y＝的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝的图象上也没有纵坐标为0的点．
（1）请在同一个平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象，
（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识．
①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出一个即可．
②说理：请简要解释你的猜想．
（3）请画出y＝（c为常数）的大致图象．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：
图中去掉（﹣1，0）的点，
（2）①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；
②因为只有1和﹣1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或﹣1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或﹣1，即两个函数图象的交点．
（3）当c＝0时，
当c＞0时，
当c＜0时，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/9 8:56:33；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.com；学号：21522783
2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）若1＜＜2，则a可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．（2分）数轴上表示a、b两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a•b＞0 D．a÷b＜0
4．（2分）下列式子从左到右变形不正确的是（ ）
A．＝ B．＝﹣
C．＝a+b D．＝﹣1
5．（2分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AB⊥BC
6．（2分）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2分）某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，9l，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
9．（2分）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为 ．
10．（2分）若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 ．
11．（2分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa．当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3．
12．（2分）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ．
13．（2分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y＝kx+b
…
5
4
3
1
0
﹣1
…
y＝
…
1
3
﹣3
﹣
﹣1
…
则关于x的不等式≤kx+b的解集是 ．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数＝ 度．
15．（2分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝ ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣6+|1﹣|；
（2）﹣（2﹣）2．
18．（8分）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
19．（5分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数．
20．（7分）为了解社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成
如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数有 人；
（2）扇形“D”圆心角的度数为 ，补全条形统计图；
（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
22．（7分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
23．（6分）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
25．（9分）在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 ．（填序号）．
①AC、BD互相平分； ②AC⊥BD；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD+∠BCD＝180°．
（2）性质运用：如图2，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别作AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．若∠ADC＝90°，求证：四边形PNDM是正方形．
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝15，BC＝DC＝13，AC＝14，则筝形ABCD的面积是 ．
26．（8分）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y＝的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝的图象上也没有纵坐标为0的点．
（1）请在同一个平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象，
（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识．
①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出一个即可．
②说理：请简要解释你的猜想．
（3）请画出y＝（c为常数）的大致图象．
2021-2022学年江苏省南京师大附中新城初级中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2分）下列手机软件图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故正确．
故选：D．
2．（2分）若1＜＜2，则a可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：∵1＜＜2，
∴12＜a＜22，
即a可以是3．
故选：B．
3．（2分）数轴上表示a、b两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a•b＞0 D．a÷b＜0
【解答】解：∵a、b两数的点分别在原点左、右两侧，
∴a＜0，b＞0，
A、a+b＞0，是随机事件；
B、a﹣b＞0，是不可能事件；
C、a•b＞0，是不可能事件；
D、a÷b＜0，是必然事件；
故选：A．
4．（2分）下列式子从左到右变形不正确的是（ ）
A．＝ B．＝﹣
C．＝a+b D．＝﹣1
【解答】解：A．将的分子、分母都除以3可得，正确因此A不符合题意；
B．将的分子、分母都乘以﹣1可得﹣，正确因此B不符合题意；
C．将的分子、分母都除以a+b不等于a+b，因此C符合题意；
D．将的分子、分母都除以1﹣a可得﹣1，因此D不符合题意；
故选：C．
5．（2分）顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．AB⊥BC
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：A．
6．（2分）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝＝＝，
∴AE+AF的最小值，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤1 ．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
8．（2分）某班在大课间活动中抽查了20名学生30秒跳绳的次数，得到如下数据（单位：次）：
51，55，62，63，72，76，78，80，82，83，86，87，88，89，9l，96，100，102，108，109．则跳绳次数在81.5～95.5这一组的频率是 ．
【解答】解：跳绳次数在81.5～95.5这一组的有82，83，86，87，88，89，9l，共7个数，
则频率是．
故答案为：．
9．（2分）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为 6a2b2 ．
【解答】解：对分式和进行通分，
则它们的最简公分母为：6a2b2．
故答案为：6a2b2．
10．（2分）若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 （﹣3，﹣3） ．
【解答】解：设A（m，n），
由题意，
∴，
∴A（﹣3，﹣3）．
故答案为：（﹣3，﹣3）．
11．（2分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa．当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 0.6 m3．
【解答】解：设函数解析式为p＝，
∵当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，
∴k＝Vp＝24000，
∴p＝，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴≤40000，
解得：V≥0.6，
即气球的体积应不小于0.6m3．
故答案为：0.6．
12．（2分）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 n＜2且n≠ ．
【解答】解：，
解方程得：x＝n﹣2，
∵关于x的方程的解是负数，
∴n﹣2＜0，
解得：n＜2，
又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣，
∴n﹣2≠﹣，
即n≠．
故答案为：n＜2且n≠．
13．（2分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝中，若x与y的部分对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y＝kx+b
…
5
4
3
1
0
﹣1
…
y＝
…
1
3
﹣3
﹣
﹣1
…
则关于x的不等式≤kx+b的解集是 x≤﹣1或0＜x≤3 ．
【解答】解：由表可知，一个交点坐标为（﹣1，3），
反比例函数的解析式为y＝﹣，
另一个交点为（3，﹣1），
故关于x的不等式≤kx+b的解集是x≤﹣1或0＜x≤3．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数＝ 60 度．
【解答】解：连接BD，BF
∵∠BAD＝80°
∴∠ADC＝100°
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD
∴AF＝BF，BF＝DF
∴AF＝DF
∴∠FAD＝∠FDA＝40°
∴∠CDF＝100°﹣40°＝60°．
故答案为：60．
15．（2分）如图，在平行四边ABCD中，BC＝13，AC＝12，AE平分∠BAC，BA⊥AC，BE⊥AE，F是BC的中点，EF＝ 3.5 ．
【解答】解：延长BE交AC于H，
在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴AH＝AB＝5，BE＝EH，
∴HC＝AC﹣AH＝7，
∵BE＝EH，BF＝FC，
∴EF＝HC＝3.5，
故答案为：3.5．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝2，则k的值为 ．
【解答】解：延长BA到G，使得AG＝CN，连接OG，如图所示：
在正方形OABC中，OA＝OC，∠OCB＝∠OAB＝∠COA＝90°，
∴∠OAG＝∠OCN，
∴△OCN≌△OAG（SAS），
∴∠CON＝∠GOA，OG＝ON，
∵∵∠MON＝45°，
∴∠CON+∠AOM＝45°，
∴∠AOM+∠GOA＝45°，
∵OM＝OM，
∴△MON≌△MOG（SAS），
∴MN＝MG，
即MN＝MA+CN，
设AM＝x，
∵MN＝2，
∴CN＝2﹣x，
∵M，N在反比例函数上，
∴CN•OC＝AM•OA，
∵OC＝OA，
∴2﹣x＝x，
解得x＝1，
设正方形边长为a，则BM＝a﹣1，BN＝a﹣1，
在△BMN中，根据勾股定理，得2（a﹣1）2＝4，
解得a＝或1﹣（舍），
∴M点坐标为（，1），
将M点坐标代入反比例函数解析式，
得k＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣6+|1﹣|；
（2）﹣（2﹣）2．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+﹣1
＝﹣1；
（2）原式＝2﹣（4﹣4+3）
＝2﹣7+4
＝6﹣7．
18．（8分）（1）化简﹣；
（2）解方程﹣＝0．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝；
（2）分式方程﹣＝0，
去分母得：x+1﹣2＝0，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x2﹣1＝0，
∴x＝1是增根，
则分式方程无解．
19．（5分）化简代数式：﹣÷，直接写出x为何整数时，该代数式的值也为整数．
【解答】解：﹣÷
＝﹣
＝﹣
＝，
∵为整数，且x为整数，
∴＝﹣2，＝﹣1，＝1，＝2，
∴x＝﹣2或x＝﹣3或x＝1或x＝0，
又∵x（x+2）≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠0，﹣2，±1，
∴x＝﹣3时，该代数式的值也为整数．
20．（7分）为了解社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成
如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数有 500 人；
（2）扇形“D”圆心角的度数为 36° ，补全条形统计图；
（3）该社区中20～60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人）．
即参与问卷调查的总人数为500人．
故答案为：500；
（2）360°×10%＝36°；
500×15%﹣15＝60（人）．
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：36°；
（3）8000×（1﹣40%﹣10%﹣15%）＝2800（人）．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
21．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
【解答】证明：连接AE、CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵DF＝BE，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
22．（7分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【解答】解：提出问题：乙公司有多少人？
设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，
答：乙公司有250人．
23．（6分）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，点P即为旋转中心．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）把x＝2代入y＝3x中，得y＝2×3＝6，
∴点A坐标为（2，6），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC＝2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣6），
∴B到OC的距离为6，
∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×6＝12，
（3）∵S△ABC＝12，
∴S△OPC＝12，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2＝12，解得x＝1或﹣1，
∴P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）．
25．（9分）在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 ②③④ ．（填序号）．
①AC、BD互相平分； ②AC⊥BD；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD+∠BCD＝180°．
（2）性质运用：如图2，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别作AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．若∠ADC＝90°，求证：四边形PNDM是正方形．
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝15，BC＝DC＝13，AC＝14，则筝形ABCD的面积是 168 ．
【解答】解：（1）∵BA与BC不一定相等，DA与DC不一定相等，
∴BD不一定是AC的平分线，故①错误；
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC垂直平分BD．
∴AC⊥BD，故②正确．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC．
∴AC平分∠BAD和∠BCD，故③、④正确；
∵∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC＝360°，而∠ABC+∠ADC不一定是180°，
∴∠BAD+∠BCD不一定是180°，故⑤错误；
故答案为：②③④．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，
同（1）得：△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
∴四边形MPND是正方形．
（3）如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H．
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴S△ABC＝S△ADC．
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH2＝AB2﹣AH2＝152﹣AH2．
在Rt△CBH中，由勾股定理得：BH2＝CB2﹣CH2＝132﹣（14﹣AH）2．
∴152﹣AH2＝132﹣（14﹣AH）2，
∴AH＝9．
∴BH＝12．
∴S△ABC＝×14×12＝84．
∴筝形ABCD的面积为168．
故答案为：168．
26．（8分）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y＝的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝的图象上也没有纵坐标为0的点．
（1）请在同一个平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象，
（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识．
①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出一个即可．
②说理：请简要解释你的猜想．
（3）请画出y＝（c为常数）的大致图象．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：
图中去掉（﹣1，0）的点，
（2）①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；
②因为只有1和﹣1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或﹣1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或﹣1，即两个函数图象的交点．
（3）当c＝0时，
当c＞0时，
当c＜0时，
．
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