2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷

1.     在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     如图，AC、BD相交于点O，，若用“SAS”说明≌，则还需要加上条件(    )

A.
B.
C.
D.

3.     满足下列条件的不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. BC：AC：：4：5 D. ：：：4：5

4.     如图，数学课上，老师让学生尺规作图画的角平分线小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断≌的依据是(    )

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

5.     已知一个等腰三角形有一个角为，则顶角是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

6.     下列说法正确的是(    )

A. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 全等三角形的面积相等
D. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

7.     在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有E、F、G、H四个格点，到三个顶点距离相等的点是(    )

A. 点E
B. 点F
C. 点G
D. 点H

8.     在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为(    )

A. 13 B. 12 C.  D. 6

9.     如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且，P在BD上，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，，，点D是AB的中点，将沿CD翻折得到，连接AE，BE，则线段BE的长等于(    )

A.
B.
C.
D. 2

11. 正方形有____________条对称轴．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是______ .
13. 如图，P是平分线上一点，于点E，，，则AP的长为______，点P到AB的距离是______.

14. 如图，点B在AE上，，要能证≌，只需再补充一个条件：______.

15. 如图，中，，，分别以边AC、BC为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为______ 结果中保留

16. 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知厘米，厘米，则______，______.

17. 如图，已知四边形ABCD中，，，，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______时，能够使与全等．

18. 如图，射线射线OB于点O，线段，，且于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为______.

19. 已知：如图，AC，DB相交于点O，，
    求证：≌；
     

20. 如图，中，，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、
    若，求的度数；
    若，BC的长为5，求的周长．

21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，
    直接写出的面积为______；
    画出关于y轴的对称的点D与点A对应，点E与点B对应，点E的坐标为______.

22. 已知在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．

23. 如图，已知
    用直尺和圆规按下列要求作图：保留作图痕迹
    ①作的角平分线AD；
    ②作，BE交CA的延长线于E；
    ③作，垂足为
    图中BF与EF相等吗？证明你的结论．

24. 在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画，并画的平分线
    把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、如图①度量PE、PF的长度，这两条线段______填“相等”或“不相等”
    把三角尺绕点P旋转如图②，PE与PF相等吗？请说明理由．
    探究：画，并画的平分线OC，在OC上任取一点P，作的两边分别与OA、OB相交于E、F两点如图③，PE与PF相等吗？请说明理由．
     
25. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
    如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若，，则______；
    如图2，四边形ABCD中，，，，，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
    若在“等腰四边形”ABCD中，，，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数．
     
26. 如图1，中，于D，且BD：AD：：3：4，
    试说明是等腰三角形；
    已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为秒，
    ①若的边与BC平行，求t的值；
    ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：  

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已有条件，，若用“SAS”说明≌必须添加边相等，根据判定方法可得应添加
【解答】
解：还需要加上条件，
在和中，
≌，
故选：

3.【答案】D 

【解析】解：A、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，：：：4：5，
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：
先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】A 

【解析】解：由作图可知，，，
在和中，
，
≌，
，
故选：
根据SSS证明三角形全等可得结论．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：分两种情况：
若该角为底角，则顶角为；
若该角为顶角，则顶角为
顶角是或故选
已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力．
 

6.【答案】C 

【解析】解：A、说明两三角形的形状相同，不能确定大小，故错误；
B、强调了两三角形的大小，没有确定形状，故错误；
C、由全等三角形的性质可以得出结论；
D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．
正确答案为为
故选
根据三角形全等条件可以得出全等从形状和大小两个方面同时满足就可以从备选答案中得出结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时弄清全等三角形的了两个必备条件是关键．
 

7.【答案】B 

【解析】解：，
到三个顶点距离相等的点是F，
故选：
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出是解题的关键．
 

8.【答案】C 

【解析】解：由勾股定理可知斜边长为：，
斜边上的中线长为，
故选：
先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

9.【答案】B 

【解析】解：如图，连接AE，
因为点C关于BD的对称点为点A，
所以，
根据两点之间线段最短可得AE就是的最小值，
正方形ABCD的边长为3，，
，
的最小值是
故选：
要求的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
 

10.【答案】A 

【解析】解：如图延长CD交AE于点H，作，垂足为

在中，，，

为AB的中点，

，
，解得
由翻折的性质可知，，
，
，，


，
为直角三角形．

故选：
延长CD交AE于点H，作，垂足为首先证明DC垂直平分线段AE，是直角三角形，求出AE的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
 

11.【答案】4 

【解析】

【分析】
本题主要考查正方形的性质．根据正方形是轴对称图形的性质分析．
【解答】
解：根据正方形的性质得到，如图：

正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有4条．
故答案为  

12.【答案】22或26 

【解析】解：当6为底时，其它两边都为6，10、10可以构成三角形，周长为26；
当6为腰时，其它两边为6和10，可以构成三角形，周长为
故答案为：22或
因为等腰三角形的两边分别为6和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点P作于点D，则PD长即为点P到AB的距离，

在中，由勾股定理得，
，
是平分线上一点，于点E，，
，
故答案为：；
根据勾股定理以及角平分线的性质即可求解．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在和中

≌
故答案为：
根据全等三角形的判定定理加条件．
本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：以AB为直径大半圆的面积，
这两个半圆的面积的和为
故答案为：
根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积．
此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆的面积，重在验证勾股定理．
 

16.【答案】， 

【解析】解：四边形ABCD是长方形，
，
折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
，
在中，根据勾股定理得，，
所以，；
由折叠可知，，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
即
故答案为：2，
根据矩形的对边相等可得，根据翻折变换的性质可得，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据计算即可得解；
根据翻折变换的性质可得，设，表示出CE，再利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

17.【答案】2或 

【解析】解：设点Q的运动的时间为t s，点Q的运动速度为，则，，，
点E为AB的中点，
，
，
当，时，根据“SAS”可判定≌，
即，，
解得，；
当，时，根据“SAS”可判定∽，
即，，
解得，；
综上所述，点Q的运动速度为或
故答案为：2或
设点Q的运动的时间为t s，点Q的运动速度为，则，，，由于，则当，时，≌，所以，，当，时，SAS”可判定∽，所以，，然后分别解方程即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

18.【答案】8 

【解析】解：如图，取CD的中点F，连接EF，

，M为CD的中点，射线射线OB于点O，
，
，，
，
，
，
即点E到点O的最大距离为8，
故答案为：
取CD的中点F，连接EF，利用直角三角形斜边上中线的性质得OF的长，再利用勾股定理可得EF的长，最后利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系求线段的最值是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌；
由知，≌，

 

【解析】由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定≌；
由等边对等角得结论．
此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
又垂直平分AB，
，
，
；
垂直平分AB，
，
，
又，，
周长为 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；

如图，即为所求，，
故答案为：；
把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E即可．
本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图，连接BD，

在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，，

为直角三角形，



 

【解析】先根据勾股定理求出BD，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．
 

23.【答案】解：如图，AD、和AF为所作；

与EF相等．
理由如下：，
，
，，
平分，
，
，
，
，
 

【解析】利用基本作图先作BAC的平分线，再作，然后过A点作BE的垂线即可；
先证明，则，，接着证明，所以为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．
 

24.【答案】相等 

【解析】解：由度量可知，，
故答案为：相等．
，理由如下：
当时，如图①，
，OC平分，
，
，且，
，
，
，
≌，
；
当PE与OA不垂直时，如图②，作于点M，于点N，
，，，
≌，
，
，且，
，
，
，
，
≌，
，
综上所述，
，理由如下：
如图③，在OF上取一点G，使，连接PG，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，，且，
，
，
，

由测量可知，；
，分两种情况，当时，证明≌，可得；当PE与OA不垂直时，作于点M，于点N，先证明≌得，再证明≌，可得；
在OF上取一点G，使，连接PG，先证明≌，可得，，再由同角的补角相等证明，则，得
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

25.【答案】45 

【解析】解：如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，
，，
，，
，
，
，
故答案为：
如图2，连接BD，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形ABCD是“等腰四边形”．
如图3，，
根据题意得，，
，，
≌，
，
，，
；
如图4，，
，
，
，
，
，
；
如图5，，设，
作于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，
，DE垂直平分CF，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，的度数为或或
由“等腰四边形”的定义及题中所给的条件，可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求出的度数；
连接BD，先证明是等边三角形，则，可得，再根据勾股定理证明，由此证得四边形ABCD是“等腰四边形”；
分三种情况，一是，则≌，可求得；二是，则是等边三角形，先得到，再求出的度数，则可求得的度数；三是，作于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，先证明是等边三角形，再求出的度数．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解第题时应进行分类讨论，以免丢解．
 

26.【答案】证明：设，，，
则，
在中，，
，
，
是等腰三角形；
解：，而，
，
则，，，
①当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与BC平行时，t值为5或
②当点M在BD上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点M运动到点A，
；
如果，
过点E做EF垂直AB于F，

，
，
在中，；
，，

则在中，，

综上所述，符合要求的t值为9或10或 

【解析】设，，，则，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
由的面积求出BD、AD、CD、AC；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．