江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，下列所添条件不恰当的是（ ）
A．AF＝ECB．AE＝CFC．∠A＝∠CD．∠D＝∠B
3．（3分）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3B．PD＝3C．PD≤3D．不能确定
4．（3分）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长7cm，则其腰长为（ ）
A．7cm或9cmB．7cm
C．9cmD．以上都不对
5．（3分）若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边角平分线的交点
B．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
6．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEBB．CD∥ABC．DE＝GED．CD＝BE
7．（3分）下列说法：
①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；
②全等三角形的中线相等；
③如果直角三角形的两边长分别为3、4，那么斜边长为5；
④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
9．（3分）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）16的算术平方根是 ．
12．（3分）比较大小： 1（填写“＞”或“＜”）．
13．（3分）直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是 cm．
14．（3分）如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E、点F分别是AC、BD的中点，AC＝6．则EF的长为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+7）3＝﹣27．
21．（8分）已知某正数的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，y的立方根是﹣2，求这个正数及3x+y的平方根．
22．（8分）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝42°，求∠C的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．
（1）若EF＝3，BC＝8，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC＝28°，∠ACB＝48°，求∠EMF的度数．
24．（8分）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示CP的长；
（2）若点P到直线AB的距离等于CP，求t的值；
（3）直接写出在整个运动中，△ABP为等腰三角形时t的值．
26．（10分）在等边△ABC中，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，连接DE，已知AB＝12，AE＝9．
（1）如图1，当点D为AC中点时，求DE2的值；
（2）如图2，以DE为边，向下作等边△DEF，连接BF，当BF＝EF时，求AD的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，G为线段BD上一点，连接EG，将线段EG绕点E逆时针旋转60°得到线段EH，连接HG．当AH+HD的值最小时，请直接写出△DGC的面积．
2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，下列所添条件不恰当的是（ ）
A．AF＝ECB．AE＝CFC．∠A＝∠CD．∠D＝∠B
【分析】根据全等三角形的判定方法，对各个选项中的条件逐一判断即可．
【解答】解：∵AD＝BC，DF＝BE，
∴添加条件AF＝EC时，则△ADF≌△CBE（SSS），故选项A不符合题意；
添加条件AE＝CF时，则AE+EF＝CF+EF，故AF＝CE，则△ADF≌△CBE（SSS），故选项B不符合题意；
添加条件∠A＝∠C时，无法判断△ADF≌△CBE，故选项C符合题意；
添加条件∠D＝∠B时，则△ADF≌△CBE（SAS），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
3．（3分）如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3B．PD＝3C．PD≤3D．不能确定
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC＝3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观．
4．（3分）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长7cm，则其腰长为（ ）
A．7cm或9cmB．7cm
C．9cmD．以上都不对
【分析】分为两种情况：7cm是等腰三角形的腰或97m是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：∵若7cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：25﹣2×7＝11（cm），此时三角形的三边长分别为7cm，7cm，11cm，符合三角形的三边关系；
若7m为等腰三角形的底边，则腰长为：（25﹣7）÷2＝9（cm），此时三角形的三边长分别为9cm，9cm，7cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为9cm或8cm，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．（3分）若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边角平分线的交点
B．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点
D．点P是△ABC三边中线的交点
【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上解答．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEBB．CD∥ABC．DE＝GED．CD＝BE
【分析】利用AAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判断A，D选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断B选项正确，进而可求解．
【解答】解：A．∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
CD＝BE，故D选项不符合题意；
B．∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠ACD＝∠ABE＝36，
∵∠DCA＝∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
C．根据已知条件无法证明DE＝GE，故C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．
7．（3分）下列说法：
①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；
②全等三角形的中线相等；
③如果直角三角形的两边长分别为3、4，那么斜边长为5；
④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】画出图形，根据线段垂直平分线性质得出AB＝AC，即可判断①；
根据全等三角形对应边上的中线相等可判断②；
分为两种情况，即可判断③；
根据全等三角形的判定方法即可判断④．
【解答】解：①
如图，∵AD是高，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，
故正确；
②全等三角形对应边上的中线相等，
故错误；
③可能斜边是4，一条直角边是3，
故错误；
④它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，
故正确．
综上所述，正确的结论有2个
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和判断能力．
8．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
【分析】根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，求出∠DCB即可解答．
【解答】解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，
∴∠BCB′＝162°，
由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9．（3分）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，求得∠OP'P''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，
连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
∵∠AOB＝60°，
∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，
∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，
∵OP＝4，OC⊥P'P''，
∴OC＝OP'＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】方法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，是的FG＝DE．可证得正方形AFCD；通过解直角三角形AFB计算出FB＝3，所以BC＝1，证△AEB≌△AGB，再想办法求出BE即可解决问题；
方法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC＝DG，BF＝FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC＝BH，AD＝AH，由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2+AT2，可得（x+4）2＝42+（4﹣x）2，推出x＝1，推出BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，设AK＝EK＝y，DE＝z，根据AE2＝AK2+EK2＝AD2+DE2，BE2＝BK2+KE2＝BC2+EC2，可得42+z2＝2y2 ①，（5﹣y）2+y2＝12+（4﹣z）2 ②，由此求出y即可解决问题．
【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，
在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，
∴BG＝BE＝，
∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．
解法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．
∵BC∥AG，
∴∠BCF＝∠FDG，
∵∠BFC＝∠DFG，FC＝DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC＝DG，BF＝FG，
∵AB＝BC+AD，AG＝AD+DG＝AD+BC，
∴AB＝AG，∵BF＝FG，
∴BF⊥AF，∠ABF＝∠G＝∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH＝FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC＝BH，AD＝AH，
由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，
在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2+AT2，
∴（x+4）2＝42+（4﹣x）2，
∴x＝1，
∴BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，
设AK＝EK＝y，DE＝z，
∵AE2＝AK2+EK2＝AD2+DE2，BE2＝BK2+KE2＝BC2+EC2，
∴42+z2＝2y2 ①，
（5﹣y）2+y2＝12+（4﹣z）2 ②
由②得到25﹣10y+2y2＝17﹣8z+z2 ③，
①代入③可得z＝ ④
④代入①可得y＝（负根已经舍弃），
∴S△ABE＝×5×＝，
解法三：过点B作BG⊥AC于G，BH⊥AD于H．
设BC＝x，AB＝x+4，AH＝4﹣x，
在Rt△ABH中，（x+4）2﹣（4﹣x）2＝42，
解得x＝1，
在Rt△BCG中，∠BCG＝45°，
∴BG＝CG＝，
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣＝，
tan∠BAG＝＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴tan∠EAD＝tan∠BAC＝，
在Rt△ADE中，DE＝AD•tan∠EAD＝，
∴CE＝4﹣＝，
∴S△ABE＝S梯形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE＝×（1+4）×4﹣×4×﹣×1×＝．
故选：D．
【点评】本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）16的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解决．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个正数的算术平方根．
12．（3分）比较大小： ＜ 1（填写“＞”或“＜”）．
【分析】估算出的大小，即可判断出所求．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴＜＜1，
故答案为：＜
【点评】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．
13．（3分）直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是 4.8 cm．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可．
【解答】解：∵直角三角形两直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边长为 ＝10cm．
∵直角三角形面积＝×一直角边长×另一直角边长＝×斜边长×斜边的高，
代入题中条件，即可得：斜边高＝4.8cm．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的应用，看清条件即可．
14．（3分）如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 50° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，再根据全等三角形对应角相等可得∠D＝∠C．
【解答】解：∵∠CBD＝40°，BD⊥EC，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣40°＝50°，
∵△ADB≌△ECB，
∴∠D＝∠C＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 13 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E、点F分别是AC、BD的中点，AC＝6．则EF的长为 3 ．
【分析】连接AF根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【解答】解：连接AF，由题意可得，
∵AB＝AD，点F是BD的中点，
∴∠AFD＝90°，
∵点E是AC的中点，AC＝6，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，证明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ 115°或25° ．
【分析】当A′E∥BC时，∠A′EA＝∠C＝90°，根据翻折可得∠A′ED＝∠AED＝45°，再根据三角形内角和定理，分两种情况画图，即可解决问题．
【解答】解：如图，当A′E∥BC时，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝A′EA＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣20°﹣45°＝115°．
或者：由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝135°
∴∠DEC＝45°，
∴∠ADE＝∠DEC﹣∠A＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：115°或25°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝4﹣1+3
＝3+3
＝6；
（2）
＝2﹣（2﹣）﹣
＝2﹣2+﹣（﹣）
＝2﹣2++
＝+．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（8分）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+7）3＝﹣27．
【分析】（1）先求得x2的值，然后再依据平方根的定义求解即可；
（2）直接再利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）（x+7）3＝﹣27，
x+7＝﹣3，
x＝﹣10．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
21．（8分）已知某正数的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，y的立方根是﹣2，求这个正数及3x+y的平方根．
【分析】根据正数的两个平方根相加为0，解出x；由y的立方根是﹣2，得出y，进而进行计算，得出答案．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，
∴x+3+2x﹣15＝0，
解得x＝4，
∵y的立方根是﹣2，
∴y＝﹣8，
∴3x+y＝4，
∴3x+y的算术平方根为2．
【点评】本题考查了平方根和立方根，解题关键在于分析题意，进行正确计算．
22．（8分）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝42°，求∠C的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEC≌△BED；
（2）由全等三角形的性质可得DE＝EC，即可求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BED＝∠AEC，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
（2）由（1）知：△AEC≌△BED，
∴DE＝EC，∠1＝∠2＝42°，
∴∠C＝（180°﹣∠1）＝69°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．
（1）若EF＝3，BC＝8，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC＝28°，∠ACB＝48°，求∠EMF的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠BFC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得FM＝BC＝4，EM＝BC＝4，从而进行计算即可解答；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得出BM＝EM，FM＝CM．从而利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠BEM＝28°，∠ACB＝∠CFM＝48°，然后利用三角形外角的性质求出∠EMC和∠BMF的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵CE⊥BA，BF⊥CA，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵M为BC的中点，BC＝8，
∴FM＝BC＝4，EM＝BC＝4，
∵EF＝3，
∴△EFM的周长＝EF+FM+EM＝3+4+4＝11，
∴△EFM的周长为11；
（2）∵∠BEC＝90°，M为BC的中点，
∴BM＝EM＝BC，
∴∠ABC＝∠BEM＝28°，
∴∠EMC＝∠ABC+∠BEM＝56°，
∵∠BFC＝90°，M为BC的中点，
∴FM＝CM＝BC，
∴∠ACB＝∠CFM＝48°，
∴∠BMF＝∠ACB+∠CFM＝96°，
∴∠∠EMF＝180°﹣∠EMC﹣∠BMF＝28°，
∴∠EMF的度数为28°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
24．（8分）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）作∠BAC的平分线，与BC的交点即为点D．
（2）根据垂线的作图方法，过点A作BC的垂线AM，再根据作一个角等于已知角的作图方法，作∠CAM＝∠ACN，此时∠BCN＝90°，延长BA与CN交于点P，作∠BPC的平分线，与BC的交点即为点D．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求．
（2）如图2，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、翻折变换（折叠问题），熟练掌握尺规作图的基本作图方法以及翻折的性质是解答本题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示CP的长；
（2）若点P到直线AB的距离等于CP，求t的值；
（3）直接写出在整个运动中，△ABP为等腰三角形时t的值．
【分析】（1）先求出AC，CP＝AC﹣AP，可得CP；
（2）点P到直线AB的距离等于CP，设AP为x，则CP、PD可以表示出来，根据三角形相似对应边成比例，可得AP的长度，点P的运动速度是每秒2个单位长度，可求得t的值；
（3）分类讨论：AP＝BP时、AP＝AB时、BP＝AB时，可求得对应的t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动，
∴CP＝AC﹣AP＝8﹣2t，
（2）过P作PD⊥AB，交AB于点D，
由题意得，PD＝CP，
设AP为x，则PD＝CP＝8﹣x，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∵∠ACB＝90°＝∠ADP，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴＝，＝，解得：x＝5，即AP＝5，
∵点P以每秒2个单位长度的速度运动，
∴2t＝5，解得：t＝；
（3）∵△ABP为等腰三角形，由题意得，AP＝2t，
①AP＝BP时，
设AP为x，则CP为8﹣x，BP为x，
在Rt△BPC中，BP2＝CP2+BC2，
x2＝（8﹣x）2+62，
解得：x＝，
∵AP＝2t，
∴2t＝，
解得：t＝，
②AP＝AB时，
AP＝AB＝10，
∵AP＝2t，
∴2t＝10，
解得：t＝5，
③BP＝AB时，
∵AB＝BP，∠ACB＝90°，
∴BC为AP的垂直平分线，
∴CP＝AC＝8，
∴AP＝AC+CP＝8+8＝16，
∵AP＝2t，
∴2t＝16，
解得：t＝8，
∴△ABP为等腰三角形时t的值为、5或8．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形、垂直平分线，关键是对等腰三角形的分类讨论．
26．（10分）在等边△ABC中，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，连接DE，已知AB＝12，AE＝9．
（1）如图1，当点D为AC中点时，求DE2的值；
（2）如图2，以DE为边，向下作等边△DEF，连接BF，当BF＝EF时，求AD的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，G为线段BD上一点，连接EG，将线段EG绕点E逆时针旋转60°得到线段EH，连接HG．当AH+HD的值最小时，请直接写出△DGC的面积．
【分析】（1）作DW⊥AB于点W，由等边三角形的性质得∠A＝60°，AC＝AB＝12，则∠ADW＝30°，而AD＝CD＝AC＝6，AE＝9，所以AW＝AD＝3，EW＝AE﹣AW＝6，则DW2＝AD2﹣AW2＝27，所以DE2＝DW2+EW2＝63；
（2）作EM∥BC交AC于点M，则△AEM是等边三角形，可证明△MEF≌△AED，则MF＝AD，∠EMF＝∠A＝60°，所以∠CMF＝60°＝∠A，则MF∥AB，作MN⊥AB于点N，FL⊥AB于点L，MN∥FL，EN＝AN＝AE，而BF＝EF，所以EL＝BL＝BE，则NL＝AB＝6，求得MF＝NL＝6，则AD＝6；
（3）作EM∥BC交AC于点M，作HQ⊥BC于点Q，交AB于点K，交EM于点I，则∠EIH＝∠BQH＝90°，所以∠EKI＝30°，作IJ⊥BD于点J，可证明△HEI≌△GEJ，得EI＝EJ＝，所以EK＝2EI＝3，BK＝6，则BQ＝BK＝3，可知点H在经过点Q且与BC垂直的直线QH上运动，作AR⊥QH交QH的延长线于点R，延长AR到点P，使PR＝AR，求得AP＝AD＝6，连接PD交QR于点T，连接AT、PH，可证明∠TPA＝∠ADP＝30°，由PT＝AT，得∠TAP＝∠TPA＝30°，则∠EAT＝30°，再证明△EMG≌△EAH，由PH+HD≥PD，PH＝AH，得AH+HD≥PD，所以当点H与点T重合时，AH＝HD的值最小，则∠EMG＝∠EAH＝∠EAT＝30°，所以∠DMG＝30°，由DM＝＝DG＝3，得DG＝，则S△DGC＝CD•DG＝3．
【解答】解：（1）如图1，作DW⊥AB于点W，则∠AWD＝∠EWD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝12，AE＝9，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝12，
∴∠ADW＝30°，
∵点D为AC中点，
∴AD＝CD＝AC＝6，
∴AW＝AD＝3，
∴EW＝AE﹣AW＝9﹣3＝6，
∴DW2＝AD2﹣AW2＝62﹣32＝27，
∴DE2＝DW2+EW2＝27+62＝63，
∴DE2的值为63．
（2）如图2，作EM∥BC交AC于点M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠AEM＝∠AME，
∴△AEM是等边三角形，
∴ME＝AE，
∵△DEF是等边三角形，
∴FE＝DE，∠DEF＝60°，
∴∠MEF＝∠AED＝60°﹣∠DEM，
∴在△MEF和△AED中，
，
∴△MEF≌△AED（SAS），
∴MF＝AD，∠EMF＝∠A＝60°，
∴∠CMF＝180°﹣∠EMF﹣∠AME＝60°＝∠A，
∴MF∥AB，
作MN⊥AB于点N，FL⊥AB于点L，MN∥FL，EN＝AN＝AE，
∵BF＝EF，
∴EL＝BL＝BE，
∴NL＝EN+EL＝（AE+BE）＝AB＝6，
∵∠LFM＝∠BLF＝90°，
∴MF⊥FL，
∴MF＝NL＝6，
∴AD＝6，
∴AD的长为6．
（3）△DGC的面积为3，理由如下：
如图3，作EM∥BC交AC于点M，作HQ⊥BC于点Q，交AB于点K，交EM于点I，
∴∠EIH＝∠BQH＝90°，
∴∠EKI＝30°，
作IJ⊥BD于点J，则∠BJE＝∠EJG＝90°，
∴∠EIH＝∠BJG，
∵∠EBI＝∠CBD＝∠ABC＝30°，BE＝AB﹣AE＝12﹣9＝3，∠BEM＝180°﹣∠AEM＝120°，
∴EJ＝BE＝，∠BEI＝90°﹣∠EBI＝60°，
∴∠JEM＝∠BEM﹣∠BEI＝60°，
由旋转得EH＝EG，∠GEH＝60°，
∴∠HEI＝∠GEJ＝60°+∠GEM，
在△HEI和△GEJ中，
，
∴△HEI≌△GEJ（AAS），
∴EI＝EJ＝，
∴EK＝2EI＝3，
∴BK＝BE+EK＝6，
∴BQ＝BK＝3，
∴点H在经过点Q且与BC垂直的直线QH上运动，
作AR⊥QH交QH的延长线于点R，延长AR到点P，使PR＝AR，则∠ARK＝90°，
∵∠AKR＝∠EKI＝30°，AK＝AB﹣BK＝6，
∴PR＝AR＝AK＝3，
∴AP＝AD＝6，
连接PD交QR于点T，连接AT、PH，
∵∠RAK＝90°﹣∠AKR＝60°，∠BAC＝60°，
∴∠PAD＝∠RAK+∠BAC＝120°，
∴∠TPA＝∠ADP＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵RQ垂直平分AP，
∴PT＝AT，
∴∠TAP＝∠TPA＝30°，
∴∠EAT＝∠RAK﹣∠TAP＝30°，
∵∠AEM＝∠GEH＝60°，
∴∠MEG＝∠AEH＝60°﹣∠AEG，
在△EMG和△EAH中，
，
∴△EMG≌△EAH（SAS），
∵PH+HD≥PD，PH＝AH，
∴AH+HD≥PD，
∴当点H与点T重合时，AH+HD＝PH+HD＝PD，此时AH＝HD的值最小，
∴∠EMG＝∠EAH＝∠EAT＝30°，
∴∠DMG＝∠AME﹣∠EMG＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠GDM＝90°，
∴MG＝2DG，
∵AC＝AB＝12，AM＝AE＝9，
∴CM＝AC﹣AM＝3，
∴DM＝CD﹣CM＝3，
∴DM＝＝＝DG＝3，
∴DG＝，
∴S△DGC＝CD•DG＝×6×＝3，
∴△DGC的面积为3．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、两点之间线段最短、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．