2023-2024学年江苏省无锡市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了以下计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. B.
C. D.
2.以下计算正确的是
．( )
A. (−5)2=−5B. 38=±2C. ±327=±3D. (− 2)2=−2
3.下列不能判定△ABC是直角三角形的是
( )
A. a2+b2−c2=0B. a∶b∶c=3∶4∶5
C. ∠A∶∠B∶∠C=3：4∶5D. ∠A+∠B=∠C
4.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形
( )
A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 以上均不对
5.如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID=4，则△ABC的面积为
( )
A. 18B. 30C. 36D. 72
6.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E.若∠ABC=∠ACD=90∘，且AC=CD，AB=3，BD=15，则BC的长为
( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.如图所示，在2×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，则点A到BC的距离为
( )
A. 2B. 2 2C. 2 105D. 105
8.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠OEB=46∘，则∠AOC=( )
A. 92∘B. 88∘C. 46∘D. 86∘
9.如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=12cm2，则△ABC的面积
( )
A. 24cm2B. 30cm2C. 36cm2D. 不能确定
10.如图Rt▵ABC中，AB=AC=3,AO=1，若将AD绕A点逆时针旋转90∘，得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE2的最小值为
( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 1
11.如图，分别以Rt▵ABC的三边长AB，AC，BC为边长向外作正方形，正方形中标注的数字代表所在正方形的面积，则x所在的正方形的面积为 ．
12.已知等腰三角形的两边长是5cm和11cm，则它的周长是 ．
13.如图，从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为6m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是 m．
14.如图，△ABC≌△ADE,∠B=30∘,∠C=80∘,∠CAD=30∘，则∠CAE= °.
15.如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90∘，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD=56∘，则∠BED的度数为 ．
16.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，，已知AC=6，DE=2，则BC的长为 ．
17.若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 cm，宽为 cm．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=30∘,BC=6,AC=5,P为三角形内一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．
19.若实数m，n满足等式2m+42+ 4−n=0．
(1)求m，n的值；
(2)求3n−2m的平方根．
20.计算：
(1)4 5+ 45− 20
(2) 12− 6÷ 2+(1− 3)2
21.已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，求这个数的立方根．
22.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．(提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD)
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，且AC=BC，D是AB的中点，E是AB延长线上一点，AF⊥EC交EC的延长线于F，AF的延长线交DC的延长线于点G，连接GE．
(1)求证：①∠ACG=∠CBE；②△ACG≌△CBE；
(2)若∠GAE=60∘，求∠CEG的度数．
24.下面是小李同学探索 107的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是 107，且10< 107<11，
∴设 107=10+x，其中0
∵图中S正方形=102+2×10⋅x+x2，S正方形=107，
∴102+2×10⋅x+x2=107，
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即 107≈10.35．
(1) 76的整数部分是 ；
(2)仿照上述方法，探究 76的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
25.著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2)，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=4，BC=5，AB=6，设AH=x，求x的值．
26.如图1，在四边形ABDE中，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90∘，∠BCD为锐角；
(1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求∠DOE的度数．
(2)在图1中，△ACE与▵BCD面积相等吗？请说明理由．
(3)如图3，已知BD=5，△ACE的面积为10．G在BD边上，GC的延长线经过AE中点F.求CG的长．
(4)如图2，若AC=3，CD=4.则四边形ABDE面积最大值为 ；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形．根据轴对称图形的定义则可得到答案．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键在于熟练掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】可以先求出(−5)2的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出327的值，再添加±号；负数的偶数次方等于正数．
【详解】A．(−5)2=25， (−5)2= 25=5，不符合题意；
B．38=2，不符合题意；
C．327=3，±327=±3，符合题意；
D．− 22= 2× 2=( 2)2=2，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
解：A.由a2+b2−c2=0，可得a2+b2=c2，故是直角三角形，不符合题意；
B.可设a=3k，b=4k，c=5k，则(3k)2+(4k)2=(5k)2，能构成直角三角形，不符合题意；
C.∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，所以∠C最大，∠C=180°×53+4+5=75°，故不是直角三角形，符合题意；
D.∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4.【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键．
5.【答案】C
【解析】过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到IE=IF=ID=4，然后根据三角形面积公式得到S△ABC=S△ABI+S△IBC+S△IAC=2(AB+BC+AC)．
【详解】解：过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE=IF=ID=4，
∴S△ABC=S△ABI+S△IBC+S△IAC
=12×AB×4+12×BC×4+12×AC×4
=2(AB+BC+AC)
=2×18
=36．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
6.【答案】C
【解析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△CDF≌△ACB(AAS)，得到DF=BC,CF=AB，令DF=BC=x，则BF=x+3，运用勾股定理可求得BF2+DF2=BD2，代入求出x即可．
【详解】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴∠F=90∘，
∵∠ABC=∠ACD=90∘，
∴∠F=∠ABC，
∵∠ACB+∠BAC=90∘，∠ACB+∠DCF=90∘，
∴∠DCF=∠BAC，
在△CDF和△ACB中，
{∠F=∠ABCDCF=∠BACCD=AC
∴△CDF≌△ACB(AAS)，
∴DF=BC,CF=AB，
∵AB=3,BD=15，
∴CF=3，
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，
令DF=BC=x，则BF=x+3，
∴x+32+x2=152
解得：x1=9,x2=−12(舍去)，
∴DF=BC=9，
故选：C．
【点睛】此题是一道几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】先用割补法求出三角形的面积、BC边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．
【详解】解：设点A到边BC的距离等于h，
△ABC的面积=2×3−12×1×1−12×1×3−12×2×2=2，
BC= 12+32= 10，
∵12BC⋅h=S△ABC，
∴h=2×2 10=2 105．
故选：C．
【点睛】本题考查了网格上的计算，勾股定理，熟练掌握网格计算和勾股定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到∠ABC=90∘−∠OEB=90∘−46∘=44∘，计算即可．
【详解】解：如图，连接BO并延长至点P，l1与线段AB交于F，
∵l1，l2是AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODE=∠OFA=90∘，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO
∴∠AOP=2∠ABO，∠COP=2∠CBO，
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2∠ABO+∠CBO=2∠ABC，
∵∠OEB=46∘，∠OFA=90∘，
∴∠ABC=90∘−∠OEB=90∘−46∘=44∘，
∴∠AOC=2∠ABC=2×44∘=88∘，
故选：B
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
9.【答案】A
【解析】延长AP交BC于点C，根据题意，易证△ABP≌△DBP(ASA)，因为▵APC和▵DPC同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出S△ABC=2S△BPC=24cm2．
【详解】如图所示，延长AP 交BC于点D，
，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90∘，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
在△ABP和△DBP中，
∠ABP=∠DBPBP=BP∠APB=∠DPB,
∴△ABP≌△DBP(ASA)，
∴AP=DP，
∴S△ABP=S△DBP，
∵▵APC和▵DPC同底等高，
∴S△APC=SDPC，
∴S△PBC=S△DPB+S△DPC=S△ABP+S△APC，
∴S△ABC=2S△BPC=24cm2，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
10.【答案】A
【解析】在AB上截取AQ=AO=1，利用SAS证明▵AQD≌▵AOE，推出QD=OE，当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，
∵将AD绕A点逆时针旋转90∘得到AE，
∴∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC =∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△AQD和△AOE中，
AQ=AO∠QAD=∠OAEAD=AE,
∴△AQD≌△AOE(SAS)，
∴QD=OE，
∵D点在线段BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD的值最小，即线段OE有最小值，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45∘，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∵AB=AC=3，AO=1，
∴QB=2，
∴由勾股定理得QD= 22QB= 2，
∴线段OE2有最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】14
【解析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，
由图可知：AB2=6,AC2=8，
∴x所在的正方形的面积为BC2=6+8=14，
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
12.【答案】27cm
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和11cm，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当三边是5cm，5cm，11cm时，
5+5<11，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是5cm，11cm，11cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+11+11=27cm，
故答案为：27cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】 11
【解析】根据题意得BC=5m、AC=6m，再利用勾股定理计算AB的长即可．
【详解】解：∵从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为6m的钢缆，
∴BC=5m，AC=6m，
∴AB= AC2−BC2= 62−52= 11m．
故答案为： 11．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意、运用勾股定理计算是解题的关键．
14.【答案】40
【解析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和可得∠EAD=∠CAB=70∘，可得∠CAE=∠DAB，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE,∠B=30∘,∠C=80∘，
∴∠EAD=∠CAB=180∘−∠B−∠C=70∘，
∴∠CAE=∠DAB
∵∠CAD=30∘，
∴∠CAE=∠DAB=70∘−30∘=40∘，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15.【答案】112∘
【解析】证明EA=EB=EC=DE，可得∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，可得∠DEB=2∠DAE+∠BAE=112∘．
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90∘，E为AC的中点，
∴EA=EB=EC=DE，
∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，
在▵AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，
同理可得到：∠BEC=2∠BAE，
∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+∠BAE=2×56∘=112∘，
故答案为：112∘．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的求解∠DEB=∠DEC+∠BEC是解本题的关键．
16.【答案】 13
【解析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE=AE，再通过角度可证明∠B=∠CEB，得CE=BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
【详解】解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠A=∠ECA=36°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BCE=36°，
∴∠CEB=180°−∠B−BCE=180°−72°−36°=72°，
∴∠B=∠CEB，
∴CE=BC，
∵D是AC的中点，
∴CD=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE= DE2+CD2= 22+32= 13，
∴BC= 13，
故答案为： 13．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明CE=BC是解题的关键．
17.【答案】5 2
2

【解析】设这个长方形的长为5xcm，宽为xcm，由题意可得：
5x⋅x=10，即5x2=10，
解得：x=± 2，
∵x>0，
∴x= 2，
∴该长方形的长为：5 2cm，宽为： 2cm．
故答案为(1)5 2；(2) 2．
18.【答案】 61
【解析】将▵APC绕点C顺时针旋转60∘，得到▵EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
【详解】如图，将▵APC绕点C顺时针旋转60∘，得到▵EDC，连接PD、BE，
∴△APC≅△EDC，∠PCD=∠ACE=60∘，CP=CD，CA=CE=5，
∴▵PDC是等边三角形，PA=DE，
∴PC=PD
∴PA+PB+PC=PB+PD+DE≥BE，
∵∠ACB=30∘,BC=6,AC=5,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=30∘+60∘=90∘．
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90∘，BC=6，CE=5，
∴BE= BC2+CE2= 62+52= 61，
即PA+PB+PC的最小值为 61．
故答案为： 61．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：∵2m+42+ 4−n=0
∴2m+4=0,4−n=0.
∴m=−2,n=4
【小题2】
由(1)知m=−2,n=4
∴3n−2m=3×4−2×(−2)=16
∴3n−2m的平方根为±4；

【解析】1.
直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
2.
结合(1)中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
【点睛】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m，n的值是解题关键．
20.【答案】【小题1】
4 5+ 45− 20
=5 5；
【小题2】
12− 6÷ 2+(1− 3)2
=2 3− 6÷ 2+1− 32=2 3− 3+1−2 3+3=4− 3．

【解析】1.
先化简二次根式，再进行加减运算；
2.
先化简二次根式，在计算乘除，最后算加减．
【点睛】本题考查的是二次根式的运算，能够准确的化简二次根式是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：
3a+2+a+14=0，
解得a=−4，
∴这个正数是100，
∴这个数的立方根是3100

【解析】本题考查了平方根、立方根的概念，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键．
根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出a的值，从而确定了这个正数，然后求出这个正数的立方根，得到答案．
22.【答案】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b−a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)
∴12b2+12ab=12c2+12a(b−a)
∴a2+b2=c2．
【解析】如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，根据S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=S△ADB+S△DCB即可求解．
【点睛】本题考查了等面积法证明勾股定理．解题得关键在于利用等面积法进行证明．
23.【答案】【小题1】
证明：①∵AC=BC,∠ACB=90∘，D是AB的中点，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45∘,∠CAB=∠CBA=45∘，
∵∠ACG+∠ACD=180∘=∠CBE+∠CBA，
∴∠ACG=∠CBE；
②∵EF⊥AG，
∴∠FCA+∠FAC=90∘，
∵∠FCA+∠BCE=90∘，
∴∠CAG=∠BCE，
又∵CA=BC，
∴△ACG≌△CBE(ASA)
【小题2】
解：∵EF⊥AG,∠GAE=60∘，
∴∠AEF=30∘，
∵△ACG≌△CBE，
∴∠AGC=∠CEB，
又∵∠ADG=∠CDE=90∘,AD=CD(等腰直角三角形的性质)，
∴△ADG≌△CDEAAS，
∴GD=DE，
∴∠DEG=45∘，
∴∠CEG=∠DEG−∠AEF=15∘．

【解析】1.
①利用等腰直角三角形的性质得到∠ACD=45∘,∠CBA=45∘，再根据平角的定义进行证明即可；②先证明∠CAG=∠BCE，再利用ASA证明△ACG≌△CBE即可；
2.
先求出∠AEF=30∘，由全等三角形的性质得到∠AGC=∠CEB，证明△ADG≌△CDEAAS，得到GD=DE，则∠DEG=45∘，即可得到∠CEG=∠DEG−∠AEF=15∘．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
24.【答案】【小题1】
8
【小题2】
解：∵面积为76的正方形边长是 76，且8< 76<9，
∴设 76=8+x，其中0 ，
∵图中S正方形=82+2×8⋅x+x2,S正方形=76，
∴82+2×8⋅x+x2=76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即 76≈8.75．

【解析】1.
估算无理数 76的大小即可；
解：∵ 64< 76< 81，即8< 76<9，
∴ 76的整数部分为8，
故答案为：8；
2.
根据题目中所提供的解法进行计算即可．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
25.【答案】【小题1】
解：梯形ABCD的面积为12a+ba+b=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2=c2；
【小题2】
∵CA=x，
∴AH=x−0.9，
在Rt△ACH中，CA2=CH2+AH2，
即x2=1.22+x−0.92，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA−CH=1.25−1.2=0.05(千米)，
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
【小题3】
设AH=x，则BH=6−x，
在Rt△ACH中，CH2=CA2−AH2，
在Rt△BCH中，CH2=CB2−BH2，
∴CA2−AH2=CB2−BH2，
即42−x2=52−6−x2，
解得：x=94．

【解析】1.
梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
2.
设CA=x，则AH=x−0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
3.
在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2−AH2=CB2−BH2，列出方程求解即可得到结果．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
26.【答案】【小题1】
解：∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE，
即∠ACD=∠BCE，
∵△ACB、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC,DC=EC，
∴▵ACD≌▵BCE，
∴∠CEO=∠CDO，
∵∠CEO+∠OED+∠CDE=∠CED+∠CDE=90∘，
∴∠CDO+∠OED+∠CDE=∠CED+∠CDE=90∘，
即∠ODE+∠OED=90∘，
∴∠DOE=90∘；
【小题2】
解：面积相等，
理由如下：
过E作EG⊥AC交AC的延长线于G，过D作DF⊥BC于F，如图，
∴∠EGC=∠DFC=90∘
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACE+∠BCD=180∘，
∵∠ACE+∠ECG=180∘，
∴∠ECG=∠BCD，
∵CE=CD，
∴△EGC≌△DFC(AAS)，
∴EG=DF，
∵AC=BC，
∴S△ACE=12AC⋅EG=12BC⋅DF=S△BCD，
即△ACE与▵BCD面积相等；

【小题3】
解：过点E作EN//AC交CF的延长线于点N，如图，
则∠CAF=∠NEF，∠ACF=∠N；
∵点F是中点，
∴EF=AF，
∴△EFN≌△AFC(AAS)，
∴EN=AC，
∵AC=BC，
∴EN=BC；
∵∠N+∠ECF=180∘−∠NEC，∠ACE=∠ACF+∠ECF=180∘−∠BCD，
∴∠NEC=∠BCD，
∵CE=CD，
∴△CEN≌△DCB，
∴∠NCE=∠BDC；
∵∠DCE=90∘，
∴∠NCE+∠DCG=90∘，
∴∠BDC+∠DCG=90∘，
∴CG⊥BD；
∵△ACE与▵BCD面积相等
∴S△BDC=10=12BD×CD，
即12×5CG=10，
∴CG=4；

【小题4】
492

【解析】1.
证明▵ACD≌▵BCE，由对应角相等即可得出∠DOE=90∘；
2.
过E作EG⊥AC交AC的延长线于G，过D作DF⊥BC于F，证明△EGC≌△DFC，则EG=DF，从而可得△ACE与▵BCD面积相等；
3.
过点E作EN//AC交CF的延长线于点N，由点F是中点可证明△EFN≌△AFC，则EN=AC，再证明△CEN≌△DCB，可得CG⊥BD；由△ACE与▵BCD面积相等及等积关系可求得CG的长；
4.
△ABC,△DCE的面积为定值，且△ACE与▵BCD面积相等，则△ACE的面积最大时，四边形的面积最大；由于∠BCD为锐角，过D作DM⊥BC于M，则DM≤CD，当点M与点C重合时，DM最大，从而可求得四边形面积的最大值．
解：∵AC=3，CD=4，
∴S▵ABC=12×3×3=92,S▵DCE=12×4×4=8，
即△ABC,△DCE的面积为定值，
由(2)知，△ACE与▵BCD面积相等，
∴当△ACE的面积最大时，四边形ABDE的面积最大；
过D作DM⊥BC于M，如图，
∴DM≤CD，
当点M与点C重合时，DM最大，此时DC⊥BC，
而这时S△BCD=12×3×4=6，
∴四边形ABDE面积的最大值为92+8+2×6=492．
故答案为：492．

【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余关系，四边形内角和为360∘等知识，其中全等三角形的判定与性质的应用是解题的关键．