江苏省无锡市梁溪区2023-2024学年八年级上学期 期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市梁溪区2023-2024学年八年级上学期 期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.已知等腰三角形中的一个内角为50∘，则这个等腰三角形的顶角为
( )
A. 50∘B. 80∘C. 50∘或100∘D. 50∘或80∘
3.如图，在ΔABC和ΔDEF中，∠A=∠D，AC=DF，要使得ΔABC≅ΔDEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是
( )
A. BF=CEB. AC//DFC. ∠B=∠ED. AB=DE
4.如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65∘，则∠DBC的度数是
( )
A. 25∘B. 20∘C. 30∘D. 15∘
5.下列各组数中可以作为直角三角形的三边长的是
( )
A. 5，12，13B. 7，21，25C. 6，7，8D. 9，10，15
6.下列说法中，错误的有
( )
A. 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
B. 周长相等的两个等边三角形全等
C. 两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等
7.如图，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB于点E，SΔABC=9，DE=2，AB=5，则AC的长是
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90∘，AC=6，BC=8.某同学将纸片折叠使点A落在B处，折痕记为n.则n的长度是
( )
A. 154B. 3C. 125D. 5
9.如图，在等边ΔABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60∘得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是
( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
10.在ΔABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=α，∠BAD=β，且AB=AC=CD，则β与α之间不可能存在的关系式是
( )
A. β=90∘-32αB. β=180∘-32αC. β=32α-90∘D. β=120∘-32α
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.等边三角形有 条对称轴．
12.已知ΔABC≅ΔDEF，∠A=40∘，∠B=70∘，则∠F= ∘．
13.已知一个等腰三角形的两条边分别是为3和8，则该等腰三角形的第三条边长为 ．
14.在RtΔABC中，∠ACB=90∘，BC=6，D是AB的中点，连结CD，CD=5，则ΔACB的面积等于 ．
15.如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1=2，S2=5，则BC2= ．
16.如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，如果∠EFB=75∘，那么∠AEM等于 ∘．
17.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB-∠PCD= ∘.(点A，B，C，D，P是网格线交点)
18.如图，RtΔABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在ΔABC外作等边ΔBDE.若F是DE的中点，当CF取最小值时，ΔBDE的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB．
求证：点E为AC中点．
20.(本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，DE//AB.交AC于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F．
求证：F为线段CD中点．
21.(本小题8.0分)
如图，ΔABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
(1)若ΔAEG的周长为10，求线段BC的长；
(2)若∠BAC=104∘，求∠EAG的度数．
22.(本小题8.0分)
如图所示，在ΔABC中，AC=8，BC=6，在ΔABE中，DE为AB上的高，DE=12，SΔABE=60，求ΔABC的面积．
23.(本小题8.0分)
方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．
(1)在图1中画一个格点正方形，使其面积等于5；
(2)在图2中确定格点C，使ΔABC为等腰三角形(如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号)；
(3)在图3中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC.(不写画法，保留画图痕迹)
24.(本小题8.0分)
如图，长方形ABCD，把长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F．
(1)请证明点F在线段BD的垂直平分线上；
(2)若BD2=24，DF=3，求AD的长．
25.(本小题8.0分)
如图1．ΔABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ΔABC形外作等腰RtΔABE和等腰RtΔACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
(1)试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由(1)中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若BC=10，AG=12.请直接写出SΔAEF=__．
26.(本小题8.0分)
如图，在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=CD=4cm，BC=AD=3cm，点E从点D开始以3cm/s的速度沿DC边向点C运动，点F从点B开始以4cm/s的速度沿射线CB的方向运动，连接AE，AF，连接EF交AB于点G，如果E、F同时出发，当点E运动到点C时E、F都停止运动，设运动时间为t s．
(1)判断ΔAEF的形状，并说明理由；
(2)当ΔAEG成为以AG为腰的等腰三角形时，求出t的值；
(3)当点G是EF中点时，点M、N分别在AF、AE上，且GM⊥GN，当AN=2时，请直接写出AM的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念进行解答即可．
【解答】解：由图形可知，A不是轴对称图形；B、C、D是轴对称图形．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】先知有两种情况(顶角是50∘和底角是50∘时)，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，ΔABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50∘；
②当底角是50∘时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50∘，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=180∘-50∘-50∘=80∘，
∴这个等腰三角形的顶角为50∘和80∘．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加BF=CE，可得，BC=EF，不能得出ΔABC≅ΔDEF，符合题意；
B、添加AC//DF，可得，∠ACB=∠DFE，利用ASA得出ΔABC≅ΔDEF，不符合题意；
C、添加∠B=∠E，利用AAS得出ΔABC≅ΔDEF，不符合题意；
D、添加AB=DE，利用SAS得出ΔABC≅ΔDEF，不符合题意；
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【解答】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65∘，
∴∠A=180∘-65∘×2=50∘，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50∘，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15∘，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵72+212=490，252=625，
∴72+212≠252，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵92+102=181，152=225，
∴92+102≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】全等图形以及轴对称的性质和线段垂直平分线的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，正确，不合题意；
B、周长相等的两个等边三角形全等，正确，不合题意；
C、两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，正确，不合题意；
D、有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，符合题意．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出ΔABD的面积，求出ΔADC面积，即可求出答案．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵SΔADB=12AB×DE=12×5×2=5，
∵ΔABC的面积为9，
∴ΔADC的面积为9-5=4，
∴12AC×DF=4，
∴12AC×2=4，
∴AC=4，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，折痕为DE，连接AE，
由折叠得AE=BE，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=BC-BE=8-AE，
在RtΔAEC中，AE2=CE2+AC2，
∴AE2=(8-AE)2+62，
∴AE=254，
在RtΔABC中，
AB= AC2+BC2= 62+82=10，
由折叠得AD=BD=12AB=5，GH⊥AB，
在Rt△DE中，AE2=DE2+AD2，
∴DE= AE2-AD2= (254)2-52=154，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】【分析】根据∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明ΔAPO≅ΔCOD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
【解答】解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60∘，
∴∠APO=∠COD．
在ΔAPO和ΔCOD中，
∠A=∠C∠APO=∠CODOP=OD,
∴ΔAPO≅ΔCOD(AAS)，
∴AP=CO，
∵CO=AC-AO=6，
∴AP=6．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．
【解答】解：当点D在线段BC上，
∵∠ABC=α，CA=AB，
∴∠C=∠ABC=α，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠CAD=180∘-∠C2=90∘-12α，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴90∘-12α=α+β，
即β=90∘-32α；
当点D在线段BC的延长线上，
同理可得：β=180∘-32α；
当点D在线段CB的延长线上，
同理可得：β=32α-90∘．
故选：D．
11.【答案】3
【解析】【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：3．
12.【答案】70
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A=40∘，∠B=70∘，
∴∠C=180∘-∠A-∠B=70∘，
∵ΔABC≅ΔDEF，
∴∠F=∠C=70∘，
故答案为：70．
13.【答案】8
【解析】【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为8；当等腰三角形的腰长为8，底边长为3；然后分别进行计算，即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为8，
∵3+3=6<8，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为8，底边长为3，
∴该等腰三角形的第三条边长为8，
综上所述：该等腰三角形的第三条边长为8，
故答案为：8．
14.【答案】24
【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线可求解AB的长，利用勾股定理求得AC的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：在RtΔABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=5，
∴AB=2CD=10，
∵BC=6，
∴AC= AB2-BC2= 102-62=8，
∴SΔACB=12AC⋅BC=12×6×8=24．
故答案为：24．
15.【答案】3
【解析】【分析】根据正方形的面积公式分别求出AC、AB，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵以AC、AB为边向外作正方形，S1=2，S2=5，
∴AC2=2，AB2=5，
在RtΔACB中，BC2=AB2-AC2=5-2=3．
故答案为：3．
16.【答案】30
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF=∠EFB，再根据翻折的性质和平角等于180∘列式计算即可得解．
【解答】解：∵矩形对边AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=75∘，
∵沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，
∴∠DEF=∠MEF，
∴∠AEM=180∘-75∘×2=30∘．
故答案为：30．
17.【答案】45
【解析】【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB=∠PCD，则∠PAB-∠PCD=∠PAB-∠EAB=∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断ΔPAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB-∠PCD的度数．
【解答】解：连接AE，PE，
则∠EAB=∠PCD，
故∠PAB-∠PCD=∠PAB-∠EAB=∠PAE，
设正方形网格的边长为a，则PA= a2+(2a)2= 5a，PE= 5a，AE= a2+(3a)2= 10a，
∵PA2+PE2=5a2+5a2=10a2=AE2，
∴ΔAPE是直角三角形，∠APE=90∘，
又∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA=45∘，
∴∠PAB-∠PCD=45∘，
故答案为：45．
18.【答案】18
【解析】【分析】连接BF，过点C作CH⊥BF.交BF的延长线于H，由等边三角形的性质可知∠ABF=30∘，则点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小，从而解决问题．
【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF.交BF的延长线于H，
∵ΔBDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF=30∘，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=60∘，AB=2AC=12，
∵∠ABF=30∘，
∴∠BD'H=∠AD'C=60∘，
∴ΔACD'是等边三角形，
∴AD'=AC=6，
∴BD'=AB-AD'=12-6=6，
∴ΔBDE的周长为：18，
故答案为：18．
19.【答案】证明：∵FC//AB，
∴∠A=∠FCE，
在ΔAED和ΔCEF中，
∠A=∠FCE ∠AED=∠FEC DE=FE ,
∴ΔAED≅ΔCEF(AAS)，
∴AE=CE，
∴点E为AC中点．

【解析】【分析】由“AAS “可证ΔAED≅ΔCEF，根据全等三角形的性质可得AE=CE．
20.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B．
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC．
∵EF⊥BC，
∴点F为线段CD中点．

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质以及线段中点的判定解答即可．
21.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA=EB，GA=GC，
∵ΔAEG的周长为10，
∴AE+EG+AG=10，
∴BC=BE+EG+GC=AE+EG+GC=10；
(2)∵∠BAC=104∘，
∴∠B+∠C=180∘-104∘=76∘，
∵EA=EB，GA=GC，
∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=76∘，
∴∠EAG=∠BAC-(∠EAB+∠GAC)=104∘-76∘=28∘．

【解析】【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
(2)根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=76∘，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可．
22.【答案】【解答】解：∵DE=12，SΔABE=12DE•AB=60，
∴AB=10．
∵AC=8，BC=6，62+82=102，
∴AC2+BC2=AB2，
∴由勾股定理逆定理得∠C=90∘．
∴SΔABC=12AC•BC=24．

【解析】【分析】由SΔABE=60，求得AB=10，根据勾股定理的逆定理得出ΔABC为直角三角形，从而得到∠C的度数．
23.【答案】解：(1)如图，正方形ABCD即为所求．
(2)如图，C1，C2，C3，C4即为所求．
(3)如图，点P即为所求．

【解析】【分析】(1)画出边长为 5的正方形即可．
(2)根据等腰三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可．
(3)取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠FDB=∠DBC，
由折叠得∠FBD=∠DBC，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=DF，
∴点F在线段BD的垂直平分线上．
(2)解：设AD=x，
∵BF=DF=3，
∴AF=x-3，
∠A=90∘，
∴AB2=BF2-AF2=32-(x-3)2=-x2+6x，
∵AB2+AD2=BD2，且BD2=24，
∴-x2+6x+x2=24，
解得x=4，
∴AD=4，
∴AD的长是4．

【解析】【分析】(1)先证明∠FDB=∠FBD=∠DBC，得BF=DF，则点F在线段BD的垂直平分线上；
(2)设AD=x，则AF=x-3，因为∠A=90∘，所以AB2=32-(x-3)2=-x2+6x，由AB2+AD2=BD2，且BD2=24，得-x2+6x+x2=24，解方程求出x的值即可．
25.【答案】(1)解：EP=FQ，
证明：∵∠EAB=90∘，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90∘，
∴∠PEA+∠EAP=90∘，∠EAP+∠BAG=90∘，
∴∠PEA=∠BAG，
在ΔEPA和ΔAGB中，
∠EPA=∠BGA∠PEA=∠BAGAE=AB,
∴ΔEPA≅ΔAGB(AAS)，
∴EP=AG，
同理ΔFQA≅ΔAGC，
则AG=FQ，
∴EP=FQ；
(2)解：EH=FH，
理由是：∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90∘，
在ΔEPH和ΔFQH中，
∠EHP=∠FHQ∠EPH=∠FQHEP=FQ,
∴ΔEPH≅ΔFQH(AAS)，
∴EH=FH；
(3)解：∵ΔEPH≅ΔFQH，ΔEPA≅ΔAGB，ΔFQA≅ΔAGC，
∴SΔFQASΔAGC，SΔFQH=SΔEPH，SΔEPA=SΔAGB，
∴SΔAEF=SΔEPA+SΔFQA
=SΔAGB+SΔAGC
=SΔABC
=12×BC×AG
=12×10×12
=60．
故答案为：60．

【解析】【分析】(1)求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90∘，∠PEA=∠BAG，根据AAS推出ΔEPA≅ΔAGB，推出EP=AG，同理ΔFQA≅ΔAGC，AG=FQ，即可得出答案．
(2)求出∠EPH=∠FQH=90∘，根据AAS推出ΔEPH≅ΔFQH即可；
(3)根据全等三角形ΔEPH≅ΔFQH，ΔEPA≅ΔAGB，ΔFQA≅ΔAGC，推出SΔFQASΔAGC，SΔFQH=SΔEPH，SΔEPA=SΔAGB，即可求出SΔAEF=SΔABC，根据三角形面积公式求出即可．
26.【答案】解：(1)ΔAEF是直角三角形．理由：
由题意得：DE=3t cm，BF=4t cm，
∴EC=DC-DE=(4-3t)cm，FC=BC+BF=(4+4t)cm，
∵AE2=AD2+DE2=32+(3t)2=9+9t2，
AF2=AB2+BF2=42+(4t)2=16+16t2，
∴AE2+AF2=25+25t2，
∵EF2=EC2+FC2=(4-3t)2+(3+4t)2=16-24t+9t2+9+24t+16t2=25+25t2，
∴AE2+AF2=EF2，
∴ΔAEF是直角三角形；
(2)①当AG=GE时，
则∠GAE=∠GEA，
由(1)知：ΔAEF是直角三角形，∠FAE=90∘，
∴∠FAG+∠GAE=90∘，∠GFA+∠GEA=90∘，
∴∠GFA=∠GAF，
∴GA=GF，
∴GE=GF=GA，
∴G为EF的中点，
∵AB//CD，
∴BG为ΔFEC的中位线，
∴BF=BC，
∴4t=3，
∴t=34；
②当AG=AE时，
则∠AGE=∠AEF，
∵AB//CD，
∴∠CEF=∠AGE，
∴∠AEF=∠FEC．
在ΔAEF和ΔCEF中，
∠FAE=∠C=90∘∠AEF=∠CEFEF=EF,
∴ΔAEF≅ΔCEF(AAS)，
∴AE=EC=4-3t，
∵AD2+DE2=AE2，
∴32+(3t)2=(4-3t)2，
∴t=724．
综上，当ΔAEG成为以AG为腰的等腰三角形时，t的值为34或724；
(3)AM=7732.理由：
当点G是EF中点时，由(2)①知：t=34，
∴DE=94，AE= 9+9t2=154，AF= 16+16t2=5．
过点G作GH⊥AE于点H，GK⊥AF于点K，如图，
∵∠FAE=90∘，GH⊥AE，GK⊥AF，
∴四边形AHGK为矩形，
∴GH//AF，GK//AE，∠KGH=90∘．
∵点G是EF中点，
∴GH，GK为三角形的中位线，
∴GH=AK=12AF=52，
GK=AH=12AE=158．
∵AN=2，
∴HN=AN-AH=18．
∵GM⊥GN，
∴∠HGN+∠HGM=90∘，
∵∠HGN+∠KGM=90∘，
∴∠KGM=∠HGN．
∵∠GKM=∠NHG=90∘，
∴ΔGKM∽ΔGHN，
∴KMKG=HNGN，
∴KM158=1852，
∴KM=332，
∴AM=AK-KM=52-332=7732．

【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理解答即可；
(2)利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当AG=GE时，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质得到点G为EF的中点，再利用三角形中位线的性质列出关于t的方程解答即可；②当AG=AE时，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质得到AE=EC，再利用勾股定理列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
(3)利用(2)①的结论得到符合条件的t值，进而求得线段AE，FA，过点G作GH⊥AE于点H，GK⊥AF于点K，利用三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．