2022-2023学年福建省漳州市长泰县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市长泰县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项依次是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 用配方法解方程时，方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 关于的方程是一元二次方程的条件是(    )

A.  B.  C.  D. 为任意实数

6. 在下列四组线段中，成比例线段的是(    )

A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、

7. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列两个图形一定相似的是(    )

A. 有一个角为的两个等腰三角形 B. 两个直角三角形
C. 有一个角为的两个等腰三角形 D. 两个矩形

9. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接如果，那么菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示，直线与轴交于，与轴交于，在第一象限内找点，使与相似，则共能找到的点的个数(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 方程的解是：______．
13. 已知：，则______．
14. 一元二次方程的两个解分别为和，则______．
15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
16. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是；动点从点出发，沿方向运动，速度是，若、同时出发，点运动到点时，、两点同时停止运动，在______时，与相似．

三、解答题（本题共10小题，共40分）

17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 先化简，再求值：，其中：．
20. 已知关于的一元二次方程有一个根是，求另一个根及值．
21. 如图，点、、分别在的三条边上，且，求证：∽．

22. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
    如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
    如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
23. 疫情期间，学校利用一段长度仅为米的围墙搭建一个矩形临时隔离点，如图所示，它的另外三边所围的总长度是米，矩形隔离点的面积为平方米，求的长度．

24. 已知：如图，在四边形中，平分，，
    尺规作图：在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法
    若，，
    求的长；
    在的条件下，连接交于点，求的值．

25. 如图所示，在中，，是上一点不与，重合，，交于点，连结设的面积为，的面积为．
    当时，的面积是，求的面积的值；
    当时，求值结果用含字母的代数式表示；
    如图所示，在四边形中，，，，是上一点不与，重合，，交于点，连结设，四边形的面积为，的面积为，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母的代数式表示．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的根式，叫最简二次根式，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：化为一般形式得，
二次项系数、一次项系数、常数项依次是，，，
故选：．
首先将一元二次方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程的定义可得，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
 

6.【答案】 

【解析】解：、因为：：，则、、、不是比例线段，所以选项错误；
B、因为：：，则、：、、是比例线段，所以选项正确；
C、因为：：，则、、、不是比例线段，所以选项错误；
D、因为：：，则、、、不是比例线段，所以选项错误．
故选：．
根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如  ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
即，
解得．
故选：．
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
C、一个角为的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：．
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，，
，
四边形是菱形，
菱形的周长是：．
故选：．
由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长．
此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在第一象限，
当点为直角顶点时，有两种情形，
当点为直角顶点时，也有两种情形，共有种情形．
故选：．
因为点在第一象限，所以只有点，点可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键．
将分解为，进而开平方得出即可．
【解答】
解：．  

12.【答案】或 

【解析】解：依题意得：
或
或
故本题的答案是或．
本题可根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，



，
故答案为：．
根据比例的性质求出，再代入求出答案即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，
所以．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得到，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设秒后与相似，
当∽时，，即，
解得，
当∽时，，即，
解得，
即秒或秒后与相似．
故答案为：或．
分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】解：设它的另一个根是，则
，
解得，
把代入方程，得
，
解得．
答：它的另一个根是，的值为． 

【解析】先设它的另一个根是，根据根与系数的关系可得，解可求，再把代入方程易求．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系．
 

21.【答案】证明：，，
，，，
，
∽． 

【解析】证明，，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：是等腰三角形．理由如下：
是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
是直角三角形．理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
 

23.【答案】解：设长米，则长米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长度为米． 

【解析】设长米，则长米，根据矩形隔离点的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙的长度为米，即可得出的长度为米．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，点即为所求；

平分，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，

平分，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
的长为；
，
，
． 

【解析】根据内错角相等，两直线平行，作即可解决问题；
证明，过点作于点，根据角平分线的性质可得，然后证明≌，可得，再利用勾股定理即可解决问题；
由，可得，进而可以解决问题．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解决本题的关键是得到．
 

25.【答案】解：，，
，
，
：：：，
：：：，
的面积是，
；
，
∽，：：，
，
，
，
：：，
；
延长，交于点，如图，

，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由，得：：：，得：：：，便可求得结果；
由∽，得，再由，便可得结果；
延长，交于点，由∽，得，由，得，由，便可得出结果．
本题考查了梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线分线段成比例，证明∽和∽是解题的关键，属于中考常考题型．