福建省漳州市长泰县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022−2023学年福建省漳州市长泰县九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据最简二次根式意义逐项进行判断即可．

【详解】解：A．＝＝，因此选项A不符合题意；

B．＝，因此选项B不符合题意；

C．，被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，因此选项C符合题意；

D．＝2，因此选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了最简二次根式，理解“最简二次根式”的意义是解决问题的关键．

2. 使二次根式有意义的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．

【分析】解：由题意得：，

解得：，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．

3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（    ）

A. 1，-1，-3 B. 1，-3，-1 C. 2，-3，-1 D. 2，-3，-2

【答案】D

【解析】

【分析】把一元二次方程化为一般形式求解即可．

【详解】解：一元二次方程化为一般式得：，

∴一元二次方程的二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-2，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中叫二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b为一次项系数；c为常数项．

4. 用配方法解方程时，方程可变形为（　　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据配方法可直接进行排除选项．

【详解】由配方法解方程时，方程可变形为；

故选A．

【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．

5. 关于x的方程是一元二次方程的条件是（    ）

A.  B.

C.  D. a为任意实数

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解即可．

详解】解：由题意得：，

解得：．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

6. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　）

A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3

【答案】B

【解析】

【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误；

B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确；

C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误；

D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误．

故选：B．

7. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是（    ）

A. 4 B. 9 C. 10 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．

【详解】解：，，，，

，

即，

解得．

故选：D．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．

8. 下列两个图形一定相似的是（    ）

A. 有一个角为的两个等腰三角形

B. 两个直角三角形

C. 有一个角为的两个等腰三角形

D. 两个矩形

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．

【详解】解：A、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角都等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；

B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；

C、一个角为的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；

D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．

9. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（　）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可判断出线段EF为的中位线，即，即可求出该菱形周长．

【详解】∵E为AB中点，F为AC中点，

∴线段EF为的中位线，

∴．

∵四边形ABCD为菱形，

∴该菱形的周长=4×8=32．

故选：D．

【点睛】本题考查菱形的性质以及三角形中位线的判定和性质．掌握三角形中位线的长度等于第三边的一半是解答本题的关键．

10. 如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．

【详解】解：∵点C在第一象限，

∴当点C为直角顶点时，有两种情形，

当点A为直角顶点时，也有两种情形，

共有4种情形．

故选：D．

【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置）

11. ＝______________．

【答案】2．

【解析】

【分析】将12分解为4×3，按照二次根式的性质化简二次根式即可．

【详解】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．

解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．

12. 方程的解为 _______.

【答案】

【解析】

【详解】解：∵x（x-1）=0，
 

∴x=0或x-1=0．

∴，

故答案为：

13. 若3a﹣2b＝0，则值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据得，，代入即可得出答案．

【详解】，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查比例的性质，根据、的等量关系代换是解题的关键．

14. 一元二次方程的两个解分别为和，则_______．

【答案】2

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系求解．

【详解】解：根据根与系数的关系得，

所以．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．

15. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____．

【答案】

【解析】

【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．

【详解】解：根据题意得到，

解得k≤．

故答案为：k≤．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

16. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在_______s时，与相似．

【答案】或

【解析】

【分析】分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可

【详解】解：设x秒后与相似，

当时，

，

即，

解得，

当时，

，

即，

解得，

即秒或秒后与相似．

故答案为：或．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答）

17. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】先化简绝对值，根据完全平方公式进行计算，再算加减，即可解答．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

18. 解方程：．

【答案】

【解析】

【分析】利用因式分解法求解即可．

【详解】解：，

，

，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

19. 先化简，再求值：，其中：．

【答案】；

【解析】

【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，求另一个根及k值．

【答案】它的另一个根是7，k的值为4

【解析】

【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解可求a，再把代入方程易求k．

【详解】解：设它的另一个根是a，则

，

解得，

把代入方程，得

，

解得．

答：它的另一个根是7，k的值为4．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义以及根与系数的关系．

21. 如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，DF∥AC．求证：△ADE∽△DBF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行线性质∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠DFB，进而可证△ADE∽△DBF．

【详解】证明：∵DE∥BC，DF∥AC，

∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠C，∠DFB＝∠C，

∴∠AED＝∠DFB，

∴△ADE∽△DBF．

【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键．

22. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；

（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．

试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：

∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．

考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．

23. 疫情期间，学校利用一段长度仅为5米的围墙搭建一个矩形临时隔离点，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，求的长度．

【答案】的长度为3米

【解析】

【分析】设长x米，则长米，根据矩形隔离点的面积为12平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙的长度为5米，即可得出AB的长度为3米．

【详解】解：设长x米，则长米，

依题意得：，

整理得：，

解得：，

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意．

答：的长度为3米．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24. 已知：如图，在四边形中，平分，．

（1）尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若，，

①求的长；

②在（1）的条件下，连接交于点F，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）①的长为，②

【解析】

【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作即可解决问题；

（2）①证明，过点C作于点G，根据角平分线的性质可得，然后证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题；

②由，，可得，根据相似三角形性质得，进而可以解决问题．

【小问1详解】

解：如图，点E即为所求；

【小问2详解】

解：①∵平分，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图，连接,交于点,过点C作于点G，

∵平分，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的长为；

②∵，，

∴

∴，

∴．

【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，熟练运用相关知识是解题关键．

25. 如图（1）所示，在中，，D是上一点（不与A，B重合），，交于点E，连结．设的面积为S，的面积为．

（1）当时，面积是6，求的面积的值；

（2）当时，求S值（结果用含字母的代数式表示）；

（3）如图（2）所示，在四边形中，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连结．设，四边形的面积为S，的面积为，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

【答案】（1）2    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由，得，得，便可求得结果；

（2）由，得，再由，便可得结果；

（3）延长交于点O，由，得，由，得，由，便可得出结果．

【小问1详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵的面积是6，

∴；

小问2详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

【小问3详解】

延长交于点O，如图，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线分线段成比例，证明和是解题的关键，属于中考常考题型．