2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（北师大版A卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（北师大版A卷）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程7x2−2x−1=0的常数项是( )
A. 7B. −2C. −1D. 1
2. 小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是( )
A. 各内角的度数B. 各边的长度C. 三角形的周长D. 三角形的面积
3. 足球运动是一项古老的健身体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏，后来经阿拉伯人传到欧洲发展成现代足球.如图，足球的表面是由正五边形和正六边形组成，下列关于正五边形、正六边形的对称性的命题，正确的是( )
A. 正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 正六边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 正五边形是中心对称图形，但不是轴对称图形
D. 正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
4. 某型号的手机经过连续两次降价后，每部售价由原来的2185元降到1580元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列出正确的方程是( )
A. 1580(1+x)2=2185B. 1580(1−x)2=2185
C. 2185(1−x)2=1580D. 2185(1+x)2=1580
5. 如图，点A是反比例函数y=kx在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB=2，则k的值为( )
A. −2
B. 2
C. −4
D. 4
6. 从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是( )
A. 盖面朝下的频数为550B. 该试验总次数是1000
C. 盖面朝下的频率为0.55D. 盖面朝下的概率为0.5
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A. BD=ACB. DC=ADC. ∠AOB=60°D. OD=CD
8. 如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，DE=2AB，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，则下列说法错误的是( )
A. 直线AD一定经过点OB. ∠EDF=2∠BAC
C. B为OE的中点D. S四边形BCFE=3S△OBC
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点P(a,a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB：BP=3：2，则tan∠PAO的值是( )
A. 23B. 32C. 25D. 52
10. 已知点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a<0)的图象上，若−13，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y2>y3>y1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若x1、x2是方程x2−x−12=0的两个根，则x1+x2的值是 ．
12. 若反比例函数y=kx的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则实数k的值可以是 .(写出一个符合条件的实数即可)
13. 在日常生活中，存在大量的物理变化与化学变化.如图，把6种生活现象写在无差别不透明卡片的正面，并背面朝上，从中随机抽取一张卡片，则抽中的卡片内容属于物理变化的概率为 ．
14. 将抛物线y=5x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC折叠后，点B恰好落F在BA延长线上的点E处.若tanD=43，则sin∠ACE的值为 ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，AD平分∠BAC，交BC边于点D，点E在AB边上.若△BDE是直角三角形，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：x(x−2)=x−2．
18. (本小题8.0分)
平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为60°，∠B为30°，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.8m，求铁板BC边被掩埋部分CD的长.(结果精确到0.1m，2≈1.4，3≈1.73)
19. (本小题8.0分)
如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转发盘，记下指针所指区域内的数字(当指针落在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向某一区域内为止)，然后，将两次记录的数据相乘.请利用画树状图或列表格的方法，求乘积结果为负数的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kx(k≠0)经过点A(1,2)，B(2,m).直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA.求证：四边形ABCD是矩形．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m−2)x+2m−8=0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
22. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)求作菱形ADEF，使得D，E，F分别在边AB，BC，AC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若CF=2，AD：DB=2：3，求CE的长．
23. (本小题10.0分)
2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行.如图，某场比赛把足球看作点，足球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线y=a(x−10)2+h，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m，对手球门与甲球员的水平距离为18m，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m.假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门．
(1)当h=3时，足球是否能越过人墙？并说明理由；
(2)若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h的取值范围．
24. (本小题12.0分)
已知直线l：y=34x+3交y轴于点A，点B在线段OA上，且AB=2BO.有一抛物线的顶点坐标为P(2,9)，且经过点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点C在抛物线的对称轴上，动点D在直线l上，求BC+CD的最小值．
25. (本小题14.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F在BC边上，以EF为边，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH，延长EH交AD边于点P，延长GH交AD边于点Q．
(1)若点H为EP的中点，
①求证：BE=2BF；
②若EF=5，△HQP和△AEP的周长分别为m，n，求mn的值；
(2)若S△AEP=9S△BEF，求S△AEPS△HQP的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：一元二次方程7x2−2x−1=0的常数项是−1，
故选：C．
根据一元二次方程的一般形式即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，用放大镜观察得到的三角形和原本的三角形相似，
∴各内角的度数不会改变，各边的长度，周长和面积均变大了，
故选：A．
根据相似三角形的性质即可进行解答．
本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3.【答案】D
【解析】解：∵边数是奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，边数是偶数的正多边形即是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，正六边形即是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：D．
由边数是奇数的正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，边数是偶数的正多边形即是轴对称图形，又是中心对称图形，即可判断．
本题考查正多边形的性质，关键是掌握正多边形的对称性的特点．
4.【答案】C
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得2185(1−x)2=1580．
故选：C．
设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为2185(1−x)，第二次降价后售价为2185(1−x)2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由反比例函数系数k的几何意义可知S△AOB=12|k|=2，
∴|k|=4，
∵反比例函数图形在第二四象限，
∴k<0，
∴k=−4．
故选：C．
根据反比例函数系数k的几何意义可知S△AOB=12|k|，以及当k<0时反比例函数在二四象限，可求k值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟知反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象位置与k的关系．
6.【答案】D
【解析】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确；
B、该试验总次数是1000，此选项正确；
C、盖面朝下的频率是5501000=0.55，此选项正确；
D、1000次试验的盖面朝下的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误；
故选：D．
根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
7.【答案】B
【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形，
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC=AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
8.【答案】B
【解析】解：A、直线AD一定经过点O，原说法正确，不符合题意；
B、根据位置图形的性质可得∠EDF=∠BAC，原说法错误，符合题意；
C、根据位置图形的性质可得B为OE的中点，原说法正确，不符合题意；
D、S四边形BCFE=3S△OBC，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
根据位似图形的性质，判断选项A、B、C；根据面积比等于相似比的平方可判断D．
此题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
9.【答案】C
【解析】解：作PC⊥x轴于点C，
∵BO⊥x轴，
∴BO//PC，
∴ABBP=AOOC，
∵AB：BP=3：2，OC=a，PC=a，
∴AO=3a2，BO=3a5，
∴tan∠PAO=BOAO=3a53a2=25，
故选：C．
根据题意，可以用a的代数式表示出BO和AO，然后即可计算出tan∠PAO的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】B
【解析】解：∵y=ax2−2ax−3a(a<0)，
∴对称轴为x=−−2a2a=1，
∵−13，
∴|x3−1|>|x1−1|>|x2−1|，
∵a<0，
∴函数图象开口向下，
∴y2>y1>y3．
故选：B．
首先根据题意求出二次函数的对称轴，然后根据−13得出|x3−1|>|x1−1|>|x2−1|，最后根据函数图象开口向下，离对称轴越近函数值越大求解即可．
此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
11.【答案】1
【解析】解：∵x1、x2是方程x2−x−12=0的两个根，
∴x1+x2=−ba=−−11=1．
故答案为：1．
直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．若x1、x2是一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的两个根，则：x1+x2=−ba和x1⋅x2=ca．
12.【答案】2
【解析】解：根据题意，得k>0，
所以2符合．
故答案为：2．
根据“图象在其每个象限内，y的值随x值的增大而减小”得k>0，求解后再根据选项作出正确选择．
本题利用反比例函数的性质：当k>0时，图象在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
13.【答案】13
【解析】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有：冰化成水，衣服晾干2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为26=13，
故答案为：13．
用物理变化的张数除以总张数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14.【答案】y=5(x+2)2+3
【解析】解：将抛物线y=5x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：y=5(x+2)2+3；
故答案为：y=5(x+2)2+3．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的平移，正确记忆图形平移规律是解题关键．
15.【答案】35
【解析】解：∵△ABC沿AC折叠后，点B恰好落 F在BA延长线上的点E处，
∴点B、A、E三点共线，则AC⊥BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D=∠B，
∴tanD=tanB=ACAB=43，
设AC=4k，AB=3k，
根据勾股定理得：BC=AC2+AB2=5k，
∴sin∠ACB=ABBC=3k5k=35，
∵△ACE由△ACB翻折得到，
∴∠ACE=∠ACB，则sin∠ACE=sin∠ACB=35；
故答案为：35．
根据题意可得AC⊥BE，根据tanD=43和勾股定理，求出BC，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的方法．
16.【答案】8或16912
【解析】解：如图，

∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=AC2+BC2=52+122=13，
当∠BED=90°时，
∵∠DAC=∠DAE，∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE(AAS)，
∴AE=AC=5，DE=DC，
∴BE=AB=AE=13−5=8，
设DC=DE=m，则82+m2=(12−m)2，
∴m=103，
∴CD=103，BD=263．
当∠BDE′=90°时，△BDE′∽△BCA，
∴BE′BA=BDCB，
∴BE′13=26312，
∴BE′=16912．
综上所述，BE的长为8或16912．
分两种情形：∠BED=90°或∠BDE′=90°，两种情形分别求解即可．
本题考查解直角三角形，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(x−1)=0，
x−2=0或x−1=0，
所以x1=2，x2=1．
【解析】先移项得到x(x−2)−(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】解：由题意可知：三角形ABC是直角三角形，
则在直角三角形中，sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=2sin60°≈1.7(m)，
∴CD=BC−BD=1.7−0.8≈0.9(m)．
【解析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD=BC−BD即可求解．
本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．
19.【答案】解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，乘积结果为负数的情况有4种，
则P(乘积结果为负数)=412=13．
【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为负数的情况数，即可求出所求的概率；
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】证明：∵双曲线y=kx(k≠0)经过点A(1,2)，
∴k=1×2=2，
∵双曲线y=kx(k≠0)经过点B(2,m)，
∴m=22=1，
∴AO=BO=5，
∵反比例函数y=2x的图象是中心对称图形，对称中心是点O，
∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=AO+CO=2AO，BD=BO+DO=2BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】根据待定系数法可求k值，再代入计算可求m，可得AO=BO=5，再根据反比例函数图象的中心对称性可得AO=CO，BO=DO，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定和矩形的判定，关键是熟悉待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象的中心对称性．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(m−2)]2−4×(2m−8)
=m2−4m+4−8m+32
=m2−12m+36
=(m−6)2．
∵(m−6)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2)解：用因式分解法解此方程x2−(m−2)x+2m−8=0，
可得(x−2)(x−m+4)=0，解得x1=2，x2=m−4，
若方程有一个根为烉数，则m−4<0，
故m<4．
【解析】(1)证明Δ≥0即可；
(2)先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图1，作法：1.作∠BAC的平分线AE交BC于点E，
2.作AE的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点F，
3.连结DE、FE，
四边形ADEF就是所求得菱形．
证明：设DF交AE于点F，
∵DF垂直平分AE，
∴AD=ED，AF=EF，∠AID=∠AIF=90°，
∵AI=AI，∠DAI=∠FAI，
∴△AID≌△AIF(ASA)，
∴AD=AF，
∴AD=ED=AF=EF，
∴四边形ADEF是菱形．
(2)设AD=2x，DB=3x，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF=EF=DE=2x，DE/​/AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DEAC，
∴3x5x=2x2+2x，解得x=32，
∴EF=2x=3，
∵∠ACB=90°，
∴CE=EF2−CF2=32−22=5．
∴CE的长是5．
【解析】(1)根据菱形的对角线平分对角先想到作∠BAC的平分线AE交BC于点E，再由菱形的对角线互相垂直平分想到作AE的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点F，则以A、D、E、F四点为顶点的四边形就是所求的菱形；
(2)设AD=2x，DB=3x，由四边形ADEF是菱形得AD=AF=EF=DE=2x，DE/​/AC，证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得BDBA=DEAC，即3x5x=2x2+2x，解得x=32，则EF=2x=3，利用勾股定理可得CE的长是5．
此题重点考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大．
23.【答案】解：(1)当h=3时，足球能越过人墙，理由如下：
∵当h=3时，函数y=a(x−10)2+3的图象过点(0,0)，
∴0=a(0−10)2+3，
解得：a=−3100，
∴y与x的关系式为y=−3100(x−10)2+3，
当x=8时，y=−3100(8−10)2+3=2.88，
∵2.88>2.2，
∴足球能越过人墙；
(2)∵函数y=a(x−10)2+h的图象过点(0,0)，
∴0=100a+h，即a=−h100①，
由足球能越过人墙得：4a+h>2.2②，
由足球能直接射进球门得：0<64a+h<2.44③，
联立①②③得：a=−h1004a+h>2.20<64a+h<2.44，
解得：5524∴h的取值范围为5524【解析】(1)当h=3时，函数y=a(x−10)2+3的图象过点(0,0)，以此可求出a的值，再把x=8代入解析式中求出y，和2.2比较即可解答；
(2)由函数y=a(x−10)2+h的图象过点(0,0)可得a=−h100①，由足球能越过人墙得4a+h>2.2②，由足球能直接射进球门得0<64a+h<2.44③，联立①②③，求解即可．
本题主要考查二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握用待定系数法确定函数解析式，学会利用不等式解决实际问题是解题关键．
24.【答案】解：(1)当x=0时，y=34x+3=3，
∴OA=3，
∵AB=2BO，
∴BO=1，
∴B(0,1)，
∵抛物线的顶点坐标为P(2,9)，
∴设y=a(x−2)2+9，
∵抛物线经过点B(0,1)，
∴1=4a+9，
∴a=−2，
∴y=−2(x−2)2+9；
(2)如图，设点B关于对称轴的对称点B′，由对称的性质可知BC=B′C，

∴BC+CD=B′C+CD
当B′、C、D三点共线且B′D与l垂直时，BC+CD最小，
∵B(0,1)，对称轴为x=2，
∴B′(4,1)，
设直线l交x轴于点M，直线BB′交对称轴于点E，交直线l于点F，
∴∠DFB+∠DB′E=90°，
∵∠DFB+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠DB′E，
令y=0，得34x+3=0，解得x=−4，
∴M(−4,0)MO=4，
∴tan∠MAO=MOAO=43，
∴tan∠DB′E=CEEB′=CE2=43，
∴CE=83，
∴C(2,113)，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，2k+b=1134k+b=1，解得k=−43b=193，
∴直线CD的解析式为：y=−43x+193，
y=−43x+193y=34x+3，解得x=85y=215，
∴D(85,215)，
∴B′D=(85−4)2+(215−1)2=4，
∴BC+CD的最小值为4．
【解析】(1)首先算出A点坐标，根据AB=2BO得到点B的坐标，利用待定系数法即可得到抛物线的解析式；
(2)求出点B关于对称轴的对称点B′，根据对称可知BC+CD=B′C+CD，当B′、C、D三点共线且B′D与l垂直时，B′C+CD最小，之后只需算出点B′、点D的坐标，即可得到答案．
本题主要考查求二次函数的解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质、解直角三角形，对称性质，两点之间的距离公式、两条直线的交点问题等知识，掌握相关性质是解题的关键．
25.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠PEF=90°，EH=EF，
∴∠AEP+∠BEF=90°，
∴∠APE=∠BEF，
∴△BEF∽△APE，
∴BFAE=EFEP，
∵点H是EP的中点，
∴EP=2EH=2EF，
∵点E是AB的中点，即AE=BE，
∴BFBE=12，
∴BE=2BF；
②解：∵EF=5，
∴PH=EH=EF=5，
由①得BE=2BF，
∴BF=1，BE=2，
∵△BEF∽△APE且相似比为1：2，
∴AP=2BE=4，
∵∠QPH=∠EPA，∠QHP=∠A=90°，
∴△PQH∽△PEA，
∴mn=PHAP=54；
(2)解：令BF=a，
由(1)得△BEF∽△APE，
∴(BFAE)2=S△BEFS△AEP=19，
∴AE=3a，
∴BE=AE=3a，AP=9a，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=9a2+a2=10a，
∴EP=3EF=310a，
∴PH=EP−EH=EP−EF=210a，
∵∠A=∠QHP=90°∠APE=∠HPQ，
∴△QHP∽△EAP，
∴S△AEPS△HQP=(APHP)2=(9a210a)2=8140．
【解析】(1)①根据四边形ABCD为矩形以及四边形EFGH为正方形可得∠APE=∠BEF，即可证明△BEF∽△APE，于是得到BFAE=EFEP，进而得到答案；
②由EF求得PH的长，根据BE=2BF可得BE和BF的长，又根据△BEF∽△APE且相似比为1：2得到AP=2BE=4，之后证明△PQH∽△PEA，即可求得mn的值；
(2)设BF=a，根据△BEF∽△APE可得S△BEFS△AEP=19=(BFAE)2，进而求AE=3a，于是在Rt△BEF中，根据勾股定理得到EF=10a，进一步可得PH=210a，之后证明△QHP∽△EAP，进而得到答案．
本题是四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质与定理是解题的关键．

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3
−3
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0
0
0
0
0
2
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6
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1
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