2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列银行图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.    在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    多边形每一个内角都等于，则从此多边形一个顶点发出的对角线有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

5.    下列各图中，正确画出边上的高的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    如图，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    下列说法正确的是(    )

A. 三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点
B. 三条线段、、，如果，则以这三条线段为边能够组成三角形
C. 如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等
D. 若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等

8.    如图，，，增加下列一个条件，仍不能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于，若，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：
    的面积等于的面积；
    ；
    ；
    ．
    其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是_________。
14. 小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是______．
15. 如图，已知，于，且，，则 ______ ．

16. 如图，在中，，，是上一点，且，，则的长为______．

17. 如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为______．

18. 已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为______秒时，和全等．
     

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图坐标系中，按要求完成作图：
    作出关于轴对称的图形；
    求出的面积；
    在轴上画出点，使最小，写出点的坐标______．

20. 本小题分
    在中，：：：：，、分别是、上的高，、交于如图，求的度数．

21. 本小题分
    已知：如图，在中，为上一点，平分，，．
    求证：≌；
    ．

22. 本小题分
    如图，和是的外角，点是和的平分线的交点，点叫做的旁心．
    已知，那么______度．
    猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．

23. 本小题分
    如图，已知：，，是的中线，求证：．

24. 本小题分
    操作发现：如图，是等边知识链接：等边三角形三条边都相等，三个内角都是的边上一动点点与点不重合，连接，以为边在上方作等边，连接你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
    深入探究：
    Ⅰ如图，当动点在等边边上运动时点与点不重合连接，以为边分别作等边和等边，连接、，探究、与有何数量关系？并证明你探究的结论．
    Ⅱ如图，当动点在等边边的延长线上运动时，其他作法与图相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得出的结论，不必证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意．
故选D．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的三边关系。根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断。
【解答】

解：，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B.，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C.，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D.，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意。
故选D。

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称点的坐标为，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解答．
本题考查的是关于轴的对称点的坐标特点，掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有条．
多边形的每一个内角都等于，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是，而任何多边形的外角是，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，即可求得对角线的条数．
【解答】
解：多边形的每一个内角都等于，
每个外角是，
多边形边数是，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】根据三角形高的定义，过点与边垂直，且垂足在边上，然后结合各选项图形解答．
解：根据三角形高线的定义，只有选项中的是边上的高．
故选：．
本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出的面积．
【解答】
解：是上的中线，
，
是中边上的中线，
，
，
的面积是，
．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：三角形内部到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，所以选项不符合题意；
B.若，，，则，但、、不符合三角形三边的关系，所以选项不符合题意；
C.如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，若相等的高一个在三角形外部，一个在三角形内部，则这两个三角形不全等，所以选项不符合题意；
D.若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，通过中线倍长证明两边的夹角相等，那么这两个三角形全等，所以选项符合题意．
故选：．
根据三角形角平分线的性质对选项进行判断；利用反例对选项进行判断；通过高的位置不同可对选项进行判断；根据三角形全等的判定方法对选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了三角形三边的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
A、添加，可以利用证明≌，不符合题意；
B、添加，得出，利用证明≌，不符合题意；
C、添加，根据不能得出≌，符合题意；
D、添加，利用证明≌，不符合题意；
故选：．
全等三角形的判定定理有，，，，根据以上判定定理判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
根据翻折不变性可知：，
，
，
，
故选：．
根据三角形外角的性质可知，只要求出即可．
本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：、是、的角平分线，
，，
又，
，，
，，
，，
，
故选A．
利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得．
本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别为、的垂直平分线，
，，
，，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：是中线得到，
，故正确；
，是高，
，
是角平分线，
，
，，
，
，故正确；
，，
，
而，
，故正确．
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
故选：．
根据三角形中线定义和三角形面积公式可对进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对进行判断．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】
解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为时，符合三边关系，其周长为．
故该三角形的周长为．
故答案为：．  

14.【答案】： 

【解析】解：电子表的实际时刻是：．
故答案为：：．
镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的实际应为．
此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，；
；
，，，
≌；
，；
．
故填．
本题可先根据判定≌，从而可得出对应边、，那么所求两边和即为的长，由此可得出所求的解．
本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、本题利用角互余得到角相等时关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可知，再根据，可得，进一步可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：设点的运动时间为秒，则，
当点在线段上时，
四边形为长方形，
，，
此时有≌，
，即，解得；
当点在线段上时，
，，
，，
，
，
此时有≌，
，即，解得；
综上可知当为秒或秒时，和全等．
故答案为：或．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
由条件可知，当点在线段上时可知，当点在线段上时，则有，分别可得到关于的方程，可求得的值．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
的面积．

如图，点即为所求，．
故答案为：．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
连接交轴于点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：：：：：，，
，．
、分别是、上的高，
，
，．
在中，，
． 

【解析】利用三角形内角和定理，可求出，，由，分别是、上的高，可得出，进而可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
 

21.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌；
由可知，≌，
，
又，
，
． 

【解析】利用证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再证，然后由等腰三角形的判定即可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，
，，

，
故答案为：；
猜想：．
证明：平分，平分，
，，
，，

．
根据平分，平分，即可得到，，利用三角形外角性质，即可得出，，再根据进行计算即可．
利用中的方法，即可得到与的数量关系．
此题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角的性质的综合运用．解题时注意：三角形内角和是．
 

23.【答案】证明：延长至，使，连接，
在与中，

≌，
，，
，
，
在与中，

≌，
，
，
． 

【解析】延长至，使，连接，于是证得≌，根据全等三角形的性质得到，，推出，证得≌，于是得到，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：；
证明：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，；
，
即；
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等；

Ⅰ；
证明：由知，≌，
；
同理可得：≌，
，
；

ⅡⅠ中的结论不成立．新的结论是；
理由：，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等，
同理可得：≌，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得≌；然后由全等三角形的对应边相等知；
Ⅰ；利用全等三角形≌的对应边；同理≌，则，所以；
ⅡⅠ中的结论不成立．新的结论是；通过证明≌，则全等三角形的对应边相等；再结合中的结论即可证得．
本题属于三角形综合题，主要考查了考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．解题时注意：等边三角形的三条边都相等，三个内角都是全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．