2022-2023学年四川省绵阳市涪城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省绵阳市涪城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列化简结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列分式：，其中最简分式的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  下列根式中，与可合并的二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  化简的结果为，则为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标，下列在边中垂线上的点是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，是▱的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在周长为的平行四边形中，，，交于点，交于点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，将一个矩形纸片折叠，使点与点重合．折痕为若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，梯形中，，且，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别为、、，则、、之间的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  嘉嘉将一个平行四边形纸片沿折叠，使点与点重合，点落到点处，打开后如图所示．嘉嘉又告诉同组的甲、乙、丙三位同学，，，他们分别给出了如下结论：
甲：；
乙：四边形的周长为；
丙：≌．
你认为说法正确的是(    )

A. 只有甲、乙正确 B. 只有乙、丙正确 C. 只有甲、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  使二次根式有意义的的取值范围是______．

14.  已知，，则代数式的值为______ ．

15.  已知实数、、满足等式，则 ______ ．

16.  如图，在中，为边上的中线，过点作的垂线交的延长线于点，过点作于点若的面积为，的面积为，则的面积为______ ．

17.  在四边形中，，对角线，相交于点以下条件：；从中选一个条件，可证明“四边形是平行四边形”的是______填序号

18.  如图，在平行四边形中，，连接，且，平分交与于点点在边上，，若，线段点在点的左侧在线段上运动，，连接，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共20.0分）

19.  计算



解方程

四、解答题（本大题共5小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，，垂足为如果，，，
求出、的长度；
是直角吗？证明你的结论．

21.  本小题分
计算：
直角三角形的三边长度如图所示，求的值．
先化简，再求值：，其中，．

22.  本小题分
为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购、两种医疗器械，购买台机器比购买台机器多花万元，并且花费万元购买器材和花费万元购买器材的数量相等．
求购买一台器材和一台器材各需多少万元；
医院准备购买、两种器材共台，若购买、器材的总费用不高于万元，那么最多购买器材多少台？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，于点．
求证：四边形是平行四边形；
若是等边三角形，，求的面积．

24.  本小题分
如图，分别以的直角边和斜边向外作等边，等边，取的中点，连接、，已知．
求证：四边形是平行四边形；
若，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法，注意二次根式要化简到最简．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故不是最简分式；
，故不是最简分式；
是最简分式；
，故不是最简分式；
故最简分式的个数有个．
故选：．
直接利用分式的基本性质化简，进而最简分式的定义得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误，
B、与被开方出不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误，
C、与被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误，
D、化简后与是同类二次根式，能合并二次根式，故本选项正确，
故选：．
首先把每一项都化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可推出能与合并的二次根式．
本题主要考查二次根式的化简，同类二次根式的定义，关键在于熟练掌握同类二次根式的定义，正确的对每一选项中的二次根式进行化简．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
故选：．
根据加法与减法互为逆运算可得，通过计算可得答案．
本题考查分式的加减运算，掌握通分和加减法法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足为，

是等边三角形，
是边的中垂线，
点坐标，
，
，
过点作轴于点，
在中，，，
，，
，
点坐标为：，
直线解析式为，
当时，．
故选：．
过点作的垂线，垂足为，先根据等边三角形的性质求出点坐标，中求出直线解析式，进而进行判断即可．
本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形为平行四边形，故B不符合题意；
由，不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；
，
，
，
，
四边形为平行四边形，故D不符合题意，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到，，由求得，，于是得到四边形为平行四边形，故B不符合题意；由，不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，于是得到四边形为平行四边形，故D不符合题意．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
．
，
，
，
故选：．
根据，则；再求出原式的平方的值，进而即可得到答案．
本题主要考查求分式的值，将已知分式的值转化为求的分式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
、互相平分，
是的中点．
又，
为线段的中垂线，
．
又的周长，
的周长．
又▱ 的周长为，

的周长为．
故选：．
利用平行四边形、等腰三角形的性质，将的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
本题考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
 

9.【答案】 

【解析】解：矩形纸片折叠点与点重合，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
故选：．
根据翻折变换的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后对应线段相等，难点在于利用勾股定理列出方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，，，
，，
，
，
为直角三角形，且，
，
，
，
解得．
故选：．
根据平行四边形的性质可求解，的长，利用勾股定理的逆定理可得，再根据勾股定理可求解的长，由得面积公式可计算求解的长．
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理及逆定理，三角形的面积，利用勾股定理求解的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
那么，
，，，
．
故选：．
过点作交于点，得到平行四边形和，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．
本题考查了勾股定理，解题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，，，，
根据折叠，可得，，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
故丙正确，
≌，
，
，
，
，
，
故甲正确；
，，
四边形是平行四边形，，
根据折叠，可得，
，
，
四边形是菱形，
，，
，，
≌，
，
又，
根据勾股定理，可得，
菱形的周长为，
故乙不正确，
故选：．
根据平行四边形的性质以及折叠的性质可证≌；根据全等三角形的性质可得，根据，可知；根据平行四边形的性质以及折叠的性质可知四边形是菱形，根据勾股定理可得的长，进一步即可求出四边形的周长．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键，本题综合性较强．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
的取值范围是：．
故答案为：．
利用二次根式的性质和分式有意义的条件解答即可．
本题主要考查了二次根式的性质，不等式的解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
，，
，，
原式，
故答案为：．
先化简所求式子，然后根据，，可以得到，，从而可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键判断、的正负，计算出所求式子的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
解得且，
所以，
所以，等式可化为，
由非负数的性质得，，
解得，
故的值为．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，难点在于求出并整理等式．
 

16.【答案】 

【解析】解：的面积为，的面积为，
的面积的面积的面积，
为边上的中线，
，
的面积的面积，
，，
，
，
≌，
的面积的面积，
的面积的民间的面积，
故答案为：．
根据已知可得的面积，再利用三角形中线的定义可得，从而可得的面积的面积，然后利用垂直定义可得，从而利用证明≌，进而可得的面积的面积，最后利用三角形面积的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：选，
理由：，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：．
根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，过点作，使，
连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点在线段上时，的最小值为，
的最小值为，
，，
的最小值为，
故B的最小值为．
故答案为：．
在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，应用平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明≌，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

；


；



；
，
方程两边同乘得：，
，
解得：，
检验：当时，，
故是原方程的解． 

【解析】先计算绝对值和化简，再计算加减法即可求解；
先分母有理化、根据平方差公式计算，再计算加法即可求解；
先通分，再根据同分母分式的减法法则计算即可求解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“同时考查了分母有理化、平方差公式和解分式方程．
 

20.【答案】解：，，，，
；
；，，
，
是直角三角形，
是直角． 

【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理解答即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

21.【答案】解：在直角中，，
，
解得：，舍去，


，
当，时，
原式

． 

【解析】利用勾股定理进行求解即可；
根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，勾股定理，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解：设购买一台器材需要万元，则购买一台器材需要万元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一台器材需要万元，购买一台器材需要万元．
设购买器材台，则购买器材台，
依题意，得：．
解得．
所以的最大值为．
答：最多购买器材台． 

【解析】设购买一台器材需要万元，则购买一台器材需要万元，根据数量总价单价结合花费万元购买器材和花费万元购买器材的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买器材台，则购买器材台，根据题意列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过作于，
则，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由平行线的性质得，再证，则，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
过作于，由等边三角形的性质得，则，，再证≌，得，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：中，，
，
又是等边三角形，是的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：的面积的面积的面积，，，，
四边形的面积的面积的面积的面积的面积． 

【解析】先证≌，得，再证，然后证，即可得出结论；
由得：的面积的面积的面积，，，则四边形的面积的面积的面积的面积的面积，即可求解．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．