河南省郑州市第四十八中学2022--2023学年九年级上学期数学期中试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市第四十八中学2022--2023学年九年级上学期数学期中试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了下列方程，是一元二次方程的是，求 AC 的长；，解方程等内容，欢迎下载使用。
2022-2023 学年上学期九年级数学学科期中考试及答案
一．选择题（每小题 3 分，共 10 小题，共 30 分）
1．下列方程，是一元二次方程的是（）
A. B．3x2+x＝20
C．2x2﹣3xy+4＝0 D．ax2+bx+c＝0
2． 在四边形 ABCD 是菱形，其中 AB＝4cm，则四边形 ABCD 的周长是（ ）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
3． 用配方法解方程 x2+4x+3＝0 时，配方结果正确的是（）
A． （x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝1
4． 下列说法正确的是（ ）
A． 四边相等的四边形是正方形
B． 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D． 对角线相等的四边形是矩形
5． 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
6． 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.若关于 x 的方程 kx2﹣x+ ＝0 有两个实数根，则实数k的取值范围（ ）
A．k＜1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≤1 D．k≤1 且 k≠0
8．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 92 号汽油价格六月底是 7.5 元/升，八月底是 8.4 元/升．设该地 92 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 x，根据题意列 出方程，正确的是（ ）
A．7.5（1+x2）＝8.4 B．7.5（1+x）2＝8.4
C．8.4（1﹣x）2＝7.5 D．7.5（1+x）+7.5（1+x）2＝8.4
9. 如图，AB 与 CD 相交于点 E，点 F 在线段 BC 上，且 AC∥EF∥DB．若 BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2cm，BC＝3cm，点 E 从点 B 出发，沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，同时点 F 从点 C 出发，沿 CD 以 1cm/s 的速度向点 D 移动，当 E，F 两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF 是以 AF 为底边的等腰三角形时，则点 E 运动时间为（）
A． B． C．6 D．









第 9 题图

二． 填空题（每小题 3 分，共 5 小题，共 15 分）

11.如果线段a、b满足，那么的值等于 。

12.最近学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、 《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧 照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是_________.
13．四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D'．若∠D＝90°，∠B'＝108°，∠C'＝92°，则∠A＝


°．
14．如图，身高为 1.8 米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 B 处时，他头顶端的影子正
好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AB＝2 米，BC＝18 米，则旗杆 CD 的高度是


米．
15．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE＝DF＝2，BE 与 AF 相交
于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为

．




三．解答题（共 8 小题，共 75 分）

16． 解方程（每小题 4 分，共 16 分）：
（1）x2﹣4x+3＝0； （2）4x（x﹣1）＝3；



（3） （2x+1）2＝x2+2； （4）（x+1）（x﹣2）＝x﹣2．


17．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根．

（1）求 k 的取值范围；

（2） 当 k＝________时，方程有一个负整数解为﹣1．




18．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF．

（1）求证：∠BAC＝∠DAC．

（2）若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是菱形．









19．（8 分）如图，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求 AC 的长；
（2）若 AB＝ ，求证：△ADE∽△ABC．








20．（8 分）第 24 届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数， 最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四 节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．

（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为；

（2）李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽 同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．


21．（8 分）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市 场发现当每个背包的售价为 40 元时，月均销量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个．

（1）设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为个．

（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元？

22． （8 分）小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点 C 处平放一面镜子，并在镜子上 做一个标记，然后向后退去，直至站在点 D 处恰好看到建筑物 AB 的顶端 A 在镜子中的像与镜 子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面 1.65m，BC、CD 的长分别为 60m、3m，求这座 建筑物的高度．






23．（11 分）（1）正方形 ABCD，E、F 分别在边 BC、CD 上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与 AC 交于点 G

①如图（i），若 AC 平分∠EAF，直接写出线段 EF，BE，DF 之间等量关系；

②如图（ⅱ），若 AC 不平分∠EAF，①中线段 EF，BE，DF 之间等量关系还成立吗？若成立请证 明；若不成立请说明理由

（2）如图（ⅲ），矩形 ABCD，AB＝4，AD＝8．点 M、N 分别在边 CD、BC 上，AN＝，∠MAN

＝45°，求 AM 的长度．






参考答案与试题解析

一．选择题（共 10 小题）

1-5 BDDCC．

6-10 BDBAB．

二．填空题（共 5 小题）

11． ;12． ;13．70;14．18;15．．

三．解答题（共 8 小题）

16．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0，

（x﹣1）（x﹣3）＝0，

∴x﹣1＝0 或 x﹣3＝0，

∴x1＝1，x2＝3；

（2）4x（x﹣1）＝3，

∴4x2﹣4x﹣3＝0，

∵a＝4，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴Δ＝b2﹣4ac＝16+48＝64＞0，

∴x＝＝ ，

∴ ．

(3)（2x+1）2＝x2+2，

整理得：3x2+4x﹣1＝0，

∵Δ＝42﹣4×3×（﹣1）


＝16+12

＝28＞0，

∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；

(4)（x+1）（x﹣2）＝x﹣2，

（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（x+1﹣1）＝0，

x（x﹣2）＝0，

x＝0 或 x﹣2＝0，

x1＝0，x2＝2．

17．解：（1）∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）×1＞0 且 k﹣1≠0，

解得 k＜2 且 k≠1；

（2）∵x＝﹣1 是方程的解，

∴k﹣1+2+1＝0，

解得 k＝﹣2，

18．证明：（1）∵在△ABC 和△ADC 中，


，


∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，

（2）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD，

∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形 ABCD 是菱形．

19．解：∵FE∥CD，

∴ ＝ ， ∵AF＝3，AD＝5，AE＝4，
∴ ＝ ，

解得：AC＝ ；


（2）证明：∵AC＝ ，AE＝4，AD＝5，AB＝ ， ∴ ＝ ＝ ，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC．

20．解：（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为 ， 故答案为： ； （2）把写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片分别记为 A、B、C、D，

画树状图如下：








共有 16 种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有 4 种，

∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为 ＝ ．

21．解：（1）设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为 280﹣ ×20＝（680﹣10x）

个． 故答案为：（680﹣10x）．

（2）依题意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，

整理得：x2﹣98x+2352＝0，

解得：x1＝42，x2＝56．

答：当该这种书包销售单价为 42 元或 56 元时，销售利润是 3120 元．

22．解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，

故△ABC∽△EDC，

则 ＝ ，

∵小军的眼睛距地面 1.65m，BC、CD 的长分别为 60m、3m，

∴ ＝ ，

解得：AB＝33，

答：这座建筑物的高度为 33m．

23．解：（1）①如图（i），










∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵∠EAF＝45°，AC 平分∠EAF，

∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°，

∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴BE＝DF，AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AC⊥EF，

∴∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵AE 平分∠BAC，

∴BE＝EG，DF＝GF，

∴EF＝BE+DF；

②，①中线段 EF，BE，DF 之间等量关系还成立：EF＝BE+DF；

如图（ⅱ），延长 CD 到点 H，截取 DH＝BE，连接 AH，













在△AEB 与△AHD 中，


∵，


∴△AEB≌△AHD（SAS），

∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，

∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAF+∠DAH＝45°．即∠EAF＝∠HAF，

在△EAF 与△HAF 中，


∵，


∴△EAF≌△HAF（SAS）， ∴EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF，
（2）解法一：如图，取 AD，BC 的中点 P，Q，连接 QP，PQ 交 AM 于 H，连接 NH，










∵AD＝8，AB＝4，

∴AP＝AB＝BQ＝PQ＝4，∠B＝90°， ∴四边形 ABQP 是正方形，
Rt△ABN 中，AB＝4，AN＝2，

∴BN＝ ＝2，

∴NQ＝4﹣2＝2，

∵∠NAH＝45°，

由（1）同理得：NH＝BN+PH，

设 PH＝x，则 NH＝x+2，QH＝4﹣x，

Rt△NHQ 中，NH2＝QH2+NQ2，

∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，

x＝ ，

∵P 是 AD 的中点，PH∥DM，

∴AH＝HM，

∴DM＝2PH＝，

由勾股定理得：AM＝ ＝＝；

解法二：如图（iii），延长 AN，DC 交于点 G，过 M 作 MP⊥AG 于点 P，





















∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠B＝90°，

Rt△ABN 中，AB＝4，AN＝2，

∴BN＝2，CN＝8﹣2＝6，

∵AB∥CG，

∴△ABN∽△GCN，

∴＝， ∴NG＝6，

∵∠MAN＝45°，∠APM＝90°，


∴AP＝PM，

设 AP＝x，则 PM＝x，PG＝2x，

∵AG＝2+6＝x+2x， x＝，
∴AM＝x＝．

解法三：如图，过点 N 作 NK⊥AN，交 AM 于 K，过 K 作 KL⊥BC 于 L，










∴∠ANK＝∠B＝∠KLN＝90°，

∴∠ANB＝∠KNL，

∵∠MAN＝45°，

∴△ANK 是等腰直角三角形，

∴AN＝NK，

∴△ABN≌△NLK（AAS），

∴NL＝AB＝4，KL＝BN＝2，

设 CM＝x，则 DM＝4﹣x，

∵S 梯形 ABCM＝2S△ABN+S△ANK+S 梯形 KLCM，

∴ ×8（x+4）＝2×+×（2）2+ （x+2）×（8﹣2﹣4）， ∴x＝，

∴DM＝ ，

由勾股定理得：AM＝ ＝＝．