2022喀什六中高一上学期期中考试数学试题含解析

喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试

高一数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（　　）

A. {﹣1，0，1} B. {0，1}

C. {﹣2，﹣1，0，1} D. {﹣2，﹣1，0}

【答案】B

【解析】

【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．

【详解】∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|0≤x≤2}，

∴M∩N＝{0，1}．

故选：B．

2. “”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.

【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，

所以“”的否定是：

故选：C

3. 函数的定义域为（　　）

A.  B. 且

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由对数式的真数大于，分式的分母不为，联立不等式组求解．

【详解】解：由，得，

∴且．

∴函数的定义域为．

故选：C．

4. 若非零实数，满足，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.

【详解】取，满足，而，A不成立；

取，满足，而，B不成立；

因，即有，C成立；

取，满足，而，即，D不成立．

故选：C

5. 已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A. a∈(0,1) B. a∈[,1) C. a∈(0,] D. a∈[,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

6. 已知集合，，若，则实数的范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】解不等式得，进而根据集合关系求解即可.

【详解】解：解不等式得，故

因为，，

所以，即实数的范围是

故选：D

7. 已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（    ）

A.  B. 1

C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．

【详解】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，

所以f′(x)＝2x＋2，

所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，

因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，

所以f′(x1)f′(x2)＝－1．

所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，

所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，

所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，

即x1＝－，x2＝－时等号成立．

所以x2－x1的最小值为1．

故选：B．

8. 函数的图象如图，则函数的单调递增区间是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】由图象知 ，故对函数进行求导，根据 时函数取到极值点知，故可求出，再根据二次函数的单调性即可得答案．

【详解】由题图可知，，

∵，∴，

由图可知，

∴，解得，

∴

∵，的对称轴为，且开口向上，

∴函数的单调递增区间是.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1<x2，则（    ）

A. 当x1+x2>-2时，f(x1)<f(x2)

B. 当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)

C. 当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)

D. f(x1)与f(x2)的大小与a有关

【答案】AB

【解析】

【分析】根据二次函数的图象及二次函数的对称性，逐一判断每个选项的正误即可.

【详解】二次函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)的图象开口向上，对称轴为x=-1，

当x1+x2=-2时，x1，x2关于x=-1对称，则有f(x1)=f(x2)，B正确；

当x1+x2>-2时，而x1<x2，则x2必大于-1，于是得x2-(-1)>-1-x1，有| x2-(-1)|>|-1-x1|,

因此，点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，即f(x1)<f(x2)，A正确，C错误；

显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小只与x1，x2离-1的远近有关，与a无关，D错误.

故选：AB

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则一定有

B. 若，，且，则的最小值为0

C. 若，，，则的最小值为4

D. 若关于的不等式的解集是，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A，利用不等式的性质可判断；对B，可得，利用单调性可求；对C，利用基本不等式可求出的范围；对D，可得2和3是方程的两个根，求出可判断.

【详解】对A，由可得，则，又，，即，故A正确；

对B，若，，且，则，

可得，由在上单调递减可得当时，取得最小值为0，故B正确.

对C，，当且仅当等号成立，

即，解得或，

因为，，所以，即的最小值为4，故C正确；

对D，可得2和3是方程的两个根，则，解得，则，故D错误.

故选：ABC.

11. 已知函数，若，则实数a的值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，结合函数的解析式，分与两种情况讨论，求出的根，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，

当时，，

其中当时，，此时，解可得，符合题意；

当时，，此时，解可得或，符合题意；

当时，必有，

此时，变形可得或，

若，解可得，

若，无解；

综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；

故选：ACD．

12. 已知函数在区间上单调递增，则a，b的取值可以是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得 ，再结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得，分析可得的关系，据此分析选项可得答案.

【详解】根据题意,

其定义域为，

若函数在区间上单调递增，必有，

即且，

据此分析选项CD符合．

故选：CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设实数x、y满足，则的最大值是_______．

【答案】##

【解析】

【分析】对的符号进行分类讨论，结合基本不等式求得的最大值.

【详解】若异号，则，

若，则，

若，则，

若同正数，则，当且仅当时等号成立.

若同为负数，则，

，当且仅当时等号成立.

综上所述，的最大值为.

故答案为：

14. 已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.

【答案】    ① －1    ②. 1

【解析】

【分析】由题意，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，数形结合可得解

【详解】A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}．

由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}．

画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

故答案为：

15. 已知函数，如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是_________（填出所有正确答案的序号）.

【答案】②③

【解析】

【分析】求得函数在区间上的值域为，设函数在区间上的值域为，由题意可得，对实数分和两种情况讨论，求出，结合可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出结论.

【详解】当时，为增函数，则.

设函数在区间上的值域为，由题意可得，

分以下两种情况讨论：

（i）当时，函数区间上单调递增，在上单调递减，

此时，，此时，不符合题意；

（ii）当时，函数在区间上单调递减，此时，由，可得，

所以不符合题意，、满足不等式，、不满足不等式.因此，和是函数的包容数，

故答案为：②③.

16. 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解

【详解】函数，定义域为，

又，

因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，

因此，解得.

故答案为：

四、解答题

17. 已知且，．求

（1）；

（2）；

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

【分析】（1）先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可求得答案.

（2）根据并集运算的概念，即可求得答案.

【详解】由题意得：集合

集合或，

（1）或

（2）；

18. （1）已知，求在，上的值域；

（2）已知是一次函数，且满足，求的值域及单调区间．

【答案】（1），；（2）值域为：，，；单调增区间为：和．

【解析】

【分析】（1）根据函数的定义，求解出函数的解析式，再求其在[0，1]上的值域；
（2）依次求出的解析式，进而写出 的值域和单调区间.

【详解】（1）令，可得，

，

即有:，根据指数函数的性质可得： 在，上为单调增函数，

由得:，，

所以在[0，1]上的值域为，

（2）设，由得：

，

，，解得，，

，

在和上都为单调增函数

从而求得的值域为：

所以值域为，，；单调增区间为和无单调减区间.

19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为：，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现1件次品亏损15元.

（1）将日盈利额（万元）表示为日常量（万枚）的函数；

（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？

【答案】（1）；（2）3万枚.

【解析】

【分析】（1）要求日盈利额 (万元)，只要找日产量 (万枚)中正品与次品的数量，根据分段函数分段研究，针对不同的次品率得到不同的正品与次品数再乘以每件盈利即可；

（2）当时，日盈利为元，当时，，令，，再利用基本不等式即可求最值.

【详解】（1）当时，，所以，

当时，，

所以，

所以；

（2）由（1）知，当时，日盈利为元，

当时，，

令，则，

所以万元，

当且仅当，即时取等号，

所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.

20. 设函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若（1），，求的最小值．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．

【解析】

【分析】（1）化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

（2）结合基本不等式以及对分类讨论，由此求得的最小值.

【详解】（1）由题意可得，即为，

即，

当时，，由，解得或；

当时，，可得；

当时，，由，解得；

当时，，由，解得．

综上可得，时，解集为或；时，解集为；

时，解集为；时，解集为；

（2）由，，可得，，

可得，

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．

所以的最小值为．

21. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足.

（1）求，的解析式；

（2）若，求x的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由函数解析式、结合函数的奇偶性可得，则可求出函数、的解析式；（2）根据题意列出不等式，将不等式转化为且，，再由的单调性，奇偶性列出式子，可得的范围，即可求出答案．

【小问1详解】

定义在上的奇函数和偶函数满足

则

两个式子相加得到

两个式子相减得到

【小问2详解】

若，其中且，

即，且，，

变形可得：

，其中且，

又因为偶函数在上是单调递减的，

上是单调递增的，

故得到，其中且，

解可得：；

故答案为：且且．

即

22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”．

（1）若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围．

（2）对（1）中的函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）或.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可；

（2）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.

【小问1详解】

因为函数在内是单调增函数，

因此，，

因此是方程的两个不相等的实根，

等价于方程有两个不相等的实根.

由

解得或.

【小问2详解】

，

，

即为对恒成立.

令，易证在单调递增，

同理在单调递减.

因此，，

.

所以

解得.

又或，

所以的取值范围是.