江苏省常州市金坛区2022-2023学年高三上学期阶段性质量检测一数学试题

金坛区2022年秋学期高三年级阶段性质量检测一

数学

注意事项：

1．本试题由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方．

3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．

一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，则（    ）

A．     B．2     C．     D．

2．若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件

A．充要条件     B．充分不必要     C．必要不充分     D．既不充分也不必要

3．设，随机变量X的分布列如下表：则当m在内增大时，以下结论正确的是（    ）

A．变大     B．变小     C．先变大后变小     D．先变小后变大

4．若实数m，n满足，则关于的最值，结论正确的是（    ）

A．最小值为8     B．最大值为8     C．最小值为4     D．最大值为4

5．已知函数，选项中的，则结论不正确的为（    ）

A．的单调递减区间为

B．的对称中心坐标为

C．的对称轴方程为

D．把图象向右平移，再向上平移1个单位后，所得新函数为奇函数

6．某一机器人每一秒可以前进或后退一步，将该机器人放在数轴的原点处，沿着数轴的正方向按照“先前进3步，再后退2步”的规律进行移动，且每步移动的距离均为1个单位长度，若表示第n秒机器人所在的点在数轴上对应的实数值，规定，且下式中的，则以下选项中结论错误的是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知恰有三个不同的实数x使得成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

8．如图，在正三棱柱中，，用过底面顶点B的平面截此棱柱，与侧棱分别交于点M，N，若为直角三角形，则面积的最小值为（    ）

A．     B．3     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．函数（k为常数，且）．以下结论正确的是（    ）

A．若是首项和公比均为2的等比数列，则成等比数列

B．若是首项和公差均为2的等差数列，则成等比数列

C．若是首项和公比均为2的等比数列，则成等差数列

D．若是首项和公差均为2的等差数列，则成等差数列

10．已知，则结论正确的是（    ）

A．函数有唯一零点

B．存在实数m使得函数有三个以上不同的零点

C．当时，函数恰有三个不同的零点

D．当时，函数恰两个不同的零点

11．已知函数的图象在处的切线方程为，的三个顶点A，B，C在曲线上，且顶点B的位置在顶点A和C之间，则以下结论中正确的是（    ）

A．函数的值域是     B．函数在上单调递增

C．不可能是钝角三角形     D．

12．设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若的面积为，则以下结论中正确的是（    ）

A．取不到最小值2     B．的最大值为4

C．角C的最大值为     D．的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列是等和数列，且，公和为3，则这个数列的前n项和得计算公式为_____________．

14．已知函数，若恒成立，则t的取值范围是_____________．

15．已知实数x，y，z满足，则的取值范围为_____________．

16．如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，D，E分别为的中点，与底面所成角为，二面角的正切值为，则几何体的体积为_____________；四棱锥的外接球的表面积为_____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数．

（1）当时，函数在上的最大值为2，最小值为0，求实数m的取值范围；

（2）若函数在区间上单调递增，则求实数a的取值范围．

18．（12分）已知各项均不为零的数列的前n项的和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足的前n项和为，证明．

19．（12分）如图，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求面积的最大值；

（2）若边上的点D满足，求线段长的最大值．

20．（12分）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．

（1）求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；

（2）在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用表示，问：的数学期望能否超过3？

21．（12分）如图，在棱长为a的正方体中，点P为线段上的一个动点，连接．

（1）求证：平面；

（2）求点P到平面的距离；

（3）求二面角的余弦值．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在上恰有两个极值点，且设极大值和极小值分别为M，m，求的取值范围．

金坛区2022年秋学期高三年级阶段性质量检测一

数学

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】，∴，即，即或

时，，满足条件；时，不可取，∴，选B．

2．【答案】C

【解析】命题p真，则，∴；q为真，则或2

∴q是p的必要不充分条件，选C．

3．【答案】D

【解析】，

对称轴，∴在，，选D．

4．【答案】A

【解析】，则，∴

当且仅当，即，即时取“=”，∴有最小值8，选A．

5．【答案】B

【解析】

即的单调减区间为

即，∴的对称中心，B错，选B．

6．【答案】D

【解析】由题意，

，

以此类推：

，∴D错，选D．

7．【答案】B

【解析】方法一：，∴，令

在

有三个零点，，选B．

方法二：秒杀法

恒过

时，只有一个交点，舍去；

时，，从范围形式上看只能选B．

选：B．

8．【答案】B

【解析】方法一：如图所示建系．

∴，设，∴，

，，，∴，即

∴，∴

，选B．

方法二：不妨设，

∴

显然，∴必为一条直角边，不妨设

∴为斜边，∴

∴

（，时取“=”）

选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】BC

【解析】对于A，是等比数列，，∴既不是等差也不是等比数列，A错．

对于B，是等差数列，，∴，为等比数列，B对．

对于C，，∴为等差数列，C对．

对于D，，∴既不是等差也不是等比数列，D错．

选：BC．

10．【答案】ACD

【解析】时，，有且仅有一个零点，

时，没有零点，∴有且仅有一个零点，A对．

，则或m，其中有且仅有一个零点，至多有两个零点

∴不存在m使得有三个以上零点，B错．

时，有且仅有三个零点，C对．

时，有且仅有两个零点，D对，选ACD．

11．【答案】ABD

【解析】，∴，

时，；

时，；时，

∴的值域为，A对．

，令，

且，，∴在，B对．

，∴B是钝角，则为钝角三角形，C错．

，则，∴，∴

∴，D对，选ABD．

12．【答案】BCD

【解析】，∴

，∴

，∴

，即时，可取到，，A错．

，∴，B对．

，∴，∴，C对．

，D对．

选BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】由题意，

n为偶数时，

，n为奇数时，为偶数，时也成立

∴

14．【答案】

【解析】，∴．

当时，不等式恒成立；当时，，∴，综上：．

15．【答案】

【解析】，∴，则

，则，∴，即

，则，∴，即

∴．

16．【答案】；

【解析】方法一：

过作，垂足为M，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，①

与底面所成角为，∴与底面所成角为，

即，∴，过作，垂足为N

∵平面平面，平面平面平面

∴平面，②

由①②知，，∴平面，

以B为坐标原点建系，如图所示，

则

设平面的一个法向量为

则，∴，不妨设，则，，

，平面的一个法向量

∵二面角的正切值为，则余弦值为

∴，∴，∴

∴．

取中点P，则，∴四边形的外接圆圆心为P，半径为2

设四棱锥外接球半径为R，则，∴

．

方法二：∵平面平面，平面平面，

平面平面，∴平面，∴

∵与底面所成角为，∴与底面所成角为，过作于点F

过F作于点G，连接，∴且

，而，∴，

而，∴，∴，

，

∴．

四边形为等腰梯形，平面

取中点M，则，过M作平面，

∴外球球心O在上，由

∴．

故应填：；．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）当时，

显然在上；上，，令

∴

（2）对恒成立，．

18．【解析】

（1）∵，①

时，，②

①-②，而，∴也满足上式

∴．对恒成立，∴成首项为4，公比为4的等比数列，∴．

（2）∵，∴

∴，①

，②

①-②

∴．

19．【解析】

（1），∴

∴（当且仅当时取“=”）

（2）由

∴

而，∴

令，，令，

而为锐角三角形，∴

∴，∵

当且仅当时取“=”，∴．

20．【解析】

（1）抽取一辆电动车为绿色的概率为，∴4辆电动车至少有3辆是绿色的概率

．

（2）的所有可能取值为0，1，2…，n

，∴的分布列如下：

记，①

∴，②

①-②

∴，∴的数学期望不能超过3．

21．【解析】

（1）证明：连接，可得

∵平面平面

∴平面平面，∵平面，∴平面．

（2）∵平面，∴求到平面的距离h

，∴．

（3）求的平面角的余弦值，如图建系．

则，

∴

设平面和平面的一个法向量分别为，

∴

，显然为锐解

∴．

22．【解析】

（1）当时，，，

切点，∴在处的切线方程为

（2），在上；上，∴

若，则，∴在上，不可能有两个极值点，舍去

若，则，∴在上，也不可能有两个极值点，舍去

若，由，，知在和

上各有一个零点，且在上；上；上

∴

∴

令，

∴

∵在上；上，∴

，∴

∴的取值范围为．