江苏省常州市金坛区2023-2024学年高一上学期期中质量调研数学试卷

这是一份江苏省常州市金坛区2023-2024学年高一上学期期中质量调研数学试卷，共10页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。

2023.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题：，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．下列函数中值域为的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知a，s，t都是正实数，且，下列运算一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知a，b，，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，，，则，．
A．1B．2C．3D．4
7．在下列选项中，满足p与q等价的是（ ）
A．已知实数x，p：和q：
B．已知实数x、y，p：和q：
C．已知实数a、b，p：和q：
D．已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，P：和q：
8．在函数，的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数与函数表示同一个函数
C．函数的值域为
D．已知在上是增函数，则实数a的取值范围是
11．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B我们把集合，叫作集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（ ）
A．已知，，则
B．已知，，则
C．如果，那么
D．已知全集、集合A、集合B关系如右图中所示，则
12．已知关于x的不等式（）的解集为，则（ ）
A．的解集为
B．的最小值为
C．不等式（）的解集为
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的解集为 ．
14． ．
15．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ．
16．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知全集为R，集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）．
①；②；③．
18．（本题满分12分）
（1）已知a，，求证：；
（2）设a，b，c，x，，求证：．
19．（本题满分12分）
已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若在上有最大值，求实数b的取值范围．
20．（本题满分12分）
某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：
①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；
②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出．
（1）设定价为x（）元，净收入为y元，求y关于x的表达式；
（2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？
21．（本题满分12分）
某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求出，的最小值．
解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值．
（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值：
（提示：）
（2）研究：若在上的最小值恰是的最大值，试求实数m的取值范围．
22．（本题满分12分）
对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“理想区间”，
（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；
（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；
（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值．
2023年秋学期高一期中性质量调研
数学试题参考答案
2023.11
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B2．A3．B4．B5．D6．C7．C8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．CD10．ACD11．BCD12．AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．1115．16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解】
（1）集合，
所以，
集合，
若，
只需，
所以．
（2）由（1）可知的充要条件是，
选择①，则结论是既不充分也不必要条件；
选择②，则结论是必要不充分条件；
选择③，则结论是充分不必要条件．
18．【解】
（1），
当且仅当即时等号成立；
（2）因为a，b，c，x，
所以
当且仅当，，时等号成立．
19．【解】
（1）令，则．所以．
又是定义在R上的奇函数，所以，
且．
所以．
（2）结合（1）的结论，作出函数的图象如下：
当时，，
所以，在区间上有最大值，满足题意；
当时，，在区间上无最大值，不满足题意；
当时，易得，在区间上有最大值，满足题意．
综上，实数b的取值范围为．
20．【解】
（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，
∴，
∴票价最低为6元，
票价不超过10元时：
，（的整数），
票价高于10元时：
，
∵，
解得：，
∴，（的整数）；
所以
（2）对于，（的整数），
时：y最大为4250元，
对于，（的整数）；
当时，y最大，
∴票价定为22元时：净收入最多为8830元．
21．【解】
（1）由，
知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，
知
当且仅当时，取到最小值；
由题可知，从而且有，
知或
故实数m的取值范围为
22．【解】
（1）证明：由为上的增函数，则有，
∴，无解，
∴（）不存在“理想区间”；
（2）记是函数的一个“理想区间”（），
由及此时函数值域为，可知
而其对称轴为，
∴在上必为增函数，
令，
∴，
∴，故该函数有唯一一个“理想区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“理想区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，，
即m，n（）是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，
∴或，
而由韦达定理知，，
所以，
其中或，
所以当时，取得最大值．