2023-2024学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中质量调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中质量调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可确定答案.
【详解】命题“，”为特称命题，
其否定为全称命题：，，
故选：B.
2．下列函数中值域为[0，+∞)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案
【详解】解：对于A，由于，且对于任意的,所以此函数的值域为，符合题意；
对于B，是反比例函数，图象是位于二、四象限的双曲线，以轴为渐近线，值域为，不合题意；
对于C， 是一次函数，图象是斜率为5的直线，值域为R，不合题意；
对于D，由于，所以，是开口向上的抛物线，最小值是1，没有最大值，此函数的值域为，不合题意，
故选：A
【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于基础题,要注意结合函数的图象和性质求值域.
3．已知都是正实数，且，下列运算一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】采用举例方式分析ACD，根据指数幂的运算法则判断B，由此分析出结果.
【详解】A．当时，，故错误；
B．根据指数幂的运算性质可知：同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B正确；
C．当，时，，故错误；
D．当时，，故错误，
故选：B.
4．已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
5．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解.
【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以，
若，则为开口向上的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
若，则为开口向下的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
综上可知：或，即实数k的取值范围是.
故答案为：
6．已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【详解】①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，

，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
7．在下列选项中，满足p与q等价的是（ ）
A．已知实数x，p：和q：
B．已知实数x、y，p：和q：
C．已知实数a、b，p：和q：
D．已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，p：和q：
【答案】C
【分析】根据题意知，是的充要条件，根据不等式的性质，方程的解法，不等式的性质，一元二次不等式的解法，分别进行判断即可.
【详解】p与q等价的意思就是是的充要条件，
对于A，对于p：若，则或，而对于q：，
故是的必要不充分条件，不符合题意；
对于B，对于p：若，则且，
对于q：若，则或，
故是的充分不必要条件，不符合题意；
对于C，对于p：若，则且不全为零，
而对于q：表示不全为零，则有成立，
故是的充要条件，符合题意；
对于D，已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，
对于q：若，则不一定成立，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例.
对于p：由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，故由推不出，
故是的既不充分也不必要条件，不符合题意.
故选：C
8．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.
【详解】因为，所以其对应图象为B,
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】取可判断AB选项；利用指数幂的运算性质可判断C选项；利用对数的换底公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，，A错；
对于B选项，当时，有意义，无意义，B错；
对于C选项，若，则，，
因为，故，C对；
对于D选项，若，由换底公式可得，D对.
故选：CD.
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数与函数表示同一个函数
C．函数的值域为
D．已知在上是增函数，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用抽象函数的定义域的性质求解判断A，利用相等函数的概念判断B，利用换元法求值域判断C，根据函数单调性列不等式组求解判断D.
【详解】对于A：已知函数的定义域为，所以对有，
所以，即函数的定义域为，正确；
对于B：虽说函数与函数的定义域都是R，
但是它们解析式不同，所以它们不是同一个函数，错误；
对于C：，由，得，所以函数的定义域为，
令，则，，所以，
又函数在上单调递增，所以当时函数取得最小值，最小值为，
故函数的值域为，正确；
对于D：由题意，，在中，函数单调递增，
所以，解得，则实数a的取值范围是，正确.
故选：ACD
11．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B我们把集合，叫作集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（ ）
A．已知，，则
B．已知，，则
C．如果，那么
D．已知全集U、集合A、集合B关系如下图中所示，则
【答案】BCD
【分析】根据集合的新定义，结合集合的交集、并集和补集的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由差集定义可知：
选项A：由集合，则，故A 错误；
选项B：集合，则，故B正确；
选项C：若,则对于任意,都有,所以,即,故C正确；
选项D:由题设中全集U、集合A,B的关系图可知，根据集合的新定义，集合所表示的区域即为集合表示的区域,即,故D正确；
故选：BCD.
12．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．的解集为
B．的最小值为
C．不等式的解集为
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】根据一元二次不等式的解法求得，对选项进行分析，结合一元二次不等式、二次函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】，
由于，所以不等式的解集为，C选项错误，
所以，
A选项，，
解得，即不等式的解集为，A选项正确.
B选项，，令，
的开口向上，对称轴为，
所以当时，取得最小值为，B选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：AB
三、填空题
13．的解集为
【答案】
【分析】利用移项, 通分, 转化整式不等式求解即可.
【详解】由, 可得, 即,
所以,
解得,
所以原不等式的解集为.
故答案为: .
14．
【答案】11
【分析】根据指对运算公式求解.
【详解】
故答案为：11
15．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是
【答案】
【分析】按分类讨论，注意利用的单调性和奇偶性求和的解.
【详解】因为为偶函数，所以，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增.
由题意，当时，，则无意义，故
当时，等价于，
因为函数在上单调递增，故在的解为；
当时，等价于，等价于，
所以，解得；
综上，的解集为.
故答案为：.
16．已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】由等式变形得，利用1的妙用，结合基本不等式求出的最小值，进而得出关于的不等式，求解即可.
【详解】由于正数满足，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16，
若不等式恒成立，则，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集为R，集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件充分必要性．
①；②；③．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】先求集合A，B，，再由得到a的不等式，解得即可；
结合利用充分必要条件的定义逐一判定．
【详解】解：集合，
所以，
集合，
若，
只需，
所以．
由可知的充要条件是，
选择，则结论是既不充分也不必要条件；
选择，则结论是必要不充分条件；
选择，则结论是充分不必要条件．
【点睛】关键点睛，利用集合关系求参数范围，求集合A，B，，再由得到a的不等式，进而利用的范围，判定充分必要条件，属于中档题．
18．证明不等式
（1）已知，证明：
（2）设，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）将展开利用基本不等式即可证明；
（2）再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1），
当且仅当即时等号成立；
（2）因为
所以

当且仅当，， 时等号成立.
【点睛】关键点点睛：第一个不等式是常见类型展开即可，第二问关键点是将不等式整理变形，
即可用基本不等式证明.
19．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若在上有最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1) （2）..
【解析】（1）令，则，得到，再根据是定义在上的奇函数求解.
（2）结合（1）的结论，作出函数的图象,结合图象分，，讨论求解.
【详解】（1）令，则.
所以.
又是定义在上的奇函数，
所以，
且.
所以
（2）结合（1）的结论，作出函数的图象如下：
当时，，
所以在区间上有最大值，满足题意；
当时，在区间上无最大值，不满足题意；
当时，易得在区间上有最大值，满足题意.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析出当时，时取得最大值，当时，时取得最大值，从而得到b的分类标准.
20．某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：
①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；
②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.
（1）设定价为（）元，净收入为元，求关于的表达式；
（2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？
【答案】（1）；（2）每张票价定为22元时净收入最多，最大值为8330元.
【分析】（1）根据的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．
【详解】（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入
必须高于成本支出，
，票价最低为6元，
票价不超过10元时：
，的整数），
票价高于10元时：
，
，
解得：，
，的整数）；
所以
（2）对于，的整数），
时：最大为4250元，
对于，的整数）；
当时，最大，
票价定为22元时：净收入最多为8330元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据的范围得到函数的解析式是解题的关键．
21．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求出，的最小值．
解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值．
(1)老师请你模仿例题，研究，上的最小值：
（提示：）
(2)研究：若在上的最小值恰是的最大值，试求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将变形为，根据求解.
（2）将变形为，根据求得最小值为，再解不等式即可.
【详解】（1）由，知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，知
当且仅当时，取到最小值；
由题可知，从而且有，
解得或，
故实数m的取值范围为.
22．对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，
(1)请证明：函数（）不存在“理想区间”；
(2)已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；
(3)如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明；
（2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可；
（3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由为上的增函数，则有，
所以，所以，无解，
所以（）不存在“理想区间”；
（2）记是函数的一个“理想区间”（），
由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为，
所以在上必为增函数，令，
所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“理想区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
则，，即m，n（）是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，
所以或，
而由韦达定理知，，
所以，
其中或，所以当时，取得最大值.