2022-2023学年江苏省常州市金坛区高三上学期12月阶段性质量检测二数学试题（含解析）

常州市金坛区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量检测二

数学

注意事项：

1.本试题由选择题､填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，请务必将自己的校名､班级､姓名､学号填写在答题纸上规定的地方

3.所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效.

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A.    B.    C.    D.

2.已知（其中为虚数单位，），是纯虚数，则（）

A.1    B.    C.    D.2

3.已知，若非零向量满足，则（）

A.    B.10    C.3    D.

4.已知，则的大小关系是（）

A.    B.

C.    D.

5.函数的图象如图所示，则以下结论不正确的是（）

A.

B.

C.在上的零点之和为

D.最大值点到相邻的最小值点的距离为

6.已知非零实数满足，则以下不等关系一定成立的是（）

A.    B.

C.    D.

7.函数定义域为，且是（）

A.偶函数，又是周期函数    B.偶函数，但不是周期函数

C.奇函数，又是周期函数    D.奇函数，但不是周期函数

8.已知函数的定义域为，且函数在定义域内的图象是连续不间断的，，，当时，，若，则在以下四个取值中，实数不能取的值为（）

A.    C.3    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某小区通过开设公益讲座以提高居民的环境保护意识，为了解讲座的效果，随机抽取10位小区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份环境保护的知识问卷，这10位小区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则以下结论正确的是（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数大于

B.讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前问卷答题的正确率的极差

C.讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差

D.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

10.已知直线与平面，能使得的充分条件是（）

A.    B.

C.    D.

11.如图，椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心设椭圆与椭圆的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则以下结论中正确的是（）

A.    B.

C.    D.

12.如图，在中，，若为外接圆的圆心，且，则以下结论中正确的是（）

C.外接圆的面积为    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知成等比数列，且其公比，若在数列中删掉某一项之后，得到的新数列（顺序不变）成等差数列，则满足题意的公比的所有取值之积为__________.

14.已知函数，则__________；若当时，，则的最小值是__________.

15.已知函数在定义域内恒满足，且，则的值为__________.

16.在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列和满足：，其中且

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和

18.（12分）在中，角所对应的边分别为，且

（1）若角的大小成等差数列，证明：为直角三角形；

（2）若角的大小成等比数列，求角的大小.

19.（12分）如图，为三棱锥的高，，在棱上，且

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

20.（12分）汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素，我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业快速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破100万辆；

（2）为了了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.

①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，若将样品中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求取何值时，最大

附：若为样本点，为回归直线

则.

21.（12分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为2，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线和直线的斜率之积为定值；

（3）求与面积之和的最小值.

22.（12分）已知函数和有相同的最大值.

（1）求实数的值；

（2）证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

常州市金坛区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量检测二

数学

答案与解析

一､选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】或，选C

2.【答案】B

【解析】

纯虚数，则选B.

3.【答案】A

【解析】设，

，选A.

4.【答案】D

【解析】，

，选D.

5.【答案】D

【解析】，

，

对，不选.

恒成立，B对，不选.

，则，则

时时，时，，

对，不选.

最大值点到相邻得最小值点的距离为错，选D.

6.【答案】CD

【解析】，则，

错.

而对，

对，选CD.

7.【答案】A

【解析】，则关于对称，，则关于对称，关于对称，为偶函数，选A.

8.【答案】D

【解析】令时，，

在

为奇函数，

，

选D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABC

【解析】讲座前问卷答题的正确率排序为，

，中位数对.

讲座前极差，讲座后极差对.

讲座后，D错.

讲座前极差较大，方差较大，C对，选ABC.

10.【答案】BC

【解析】错；，B对.

对，，D错，选BC.

11.【答案】ACD

【解析】对.

对.

错.

对，选ACD.

12.【答案】ABD

【解析】对.

对

，

，C错.

，

对，选.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】1

【解析】，剔除，则，舍

剔除

舍或或.

剔除，则，

舍或

剔除，则舍，.

14.【答案】；

【解析】，

在

15.【答案】

【解析】.

16.【答案】；

【解析】如图补成一个正方体.

设正方体的边长为，则，

最小截面半径，

正四面体内切球和外接球的：半径之比为.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】

（1）成首项为3，公差为2的等差数列，

（2），而，

成首项为1，公比为的等比数列，，

①

②

①-②

.

18.【解析】

（1）

.

若成等差数列，则，

而，此时，

为直角三角形.

（2）若大小成等比数列，则

而

.

19.【解析】

（1）延长交于点，由平面，得，

，

，

设

由平面平面

平面.

（2）如图建系，，

设平面和平面的一个法向量分别为

设二面角平面角为，

20.【解析】

（1）

，令

最早在年能突破100万辆.

（2）①当时，女性车主中有名购置新能源汽车

购置新能源汽车人中女性占：.

而该地区2023年购置新能源汽车人数为：

女性车主人数大约有万人

②

令

在上；上

在时取最大值，即时，最大.

21.【解析】

（1），椭圆的方程为：.

（2）设直线的方程为：

方程，同理

为定值.

（3）法一：巧用基本不等式

，当且仅当时取“

法二

当且仅当时取“.

22.【解析】

（1）

当时，显然无最小值，舍去.

当时，令在上；上

，

，令

当时，当时，

.

（2）在上；

在上上，

.

当时，；当时，在上，

在上有唯一的零点

当时，无零点.

综上，存在唯一的使，

即与有唯一的交点，

令，构造，

显然与单调性相同，且在上有一个零点，另一个零点为，

构造与单调性相同，

且，

一个零点为，另一个零点.

故存在直线与和共有三个不同的交点，.

且由，而有在，

且由，而，由在上，，

由，

从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.